Давайте згадаємо, про що ми говорили в кількох останніх розділах. Фізику коливальних рухів дуже легко затемнити математикою. Насправді ж тут фізика дуже проста, і якщо на хвилину забути математику, то ми побачимо, що розуміємо майже все, що відбувається в коливальній системі. По-перше, якщо ми маємо справу тільки з пружинкою і вантажиком, то легко зрозуміти, чому система коливається — це наслідок інерції. Ми відтягнули масу вниз, а сила тягне її назад; настає момент, коли сила дорівнює нулю, але вантажик не може зупинитися миттєво: у нього є імпульс, який змушує його рухатися. Тепер пружинка тягне вантажик в інший бік, вантажик починає рухатися туди й сюди. Отже, якби не було тертя, то, безсумнівно, вийшов би коливальний рух, і так воно й є насправді. Але достатньо незначного тертя, щоб розмах наступних коливань став меншим, ніж раніше.
Що станеться потім, після багатьох циклів? Це залежить від характеру і величини тертя. Припустімо, що ми придумали такий пристрій, що при зміні амплітуди сила тертя виявляється пропорційною іншим силам — інерції і натягу. Інакше кажучи, при малих коливаннях тертя слабше, ніж при коливаннях з великою амплітудою. Зазвичай сила тертя такою властивістю не володіє, тож можна припустити, що в нашому випадку діють сили тертя особливого роду — сили, пропорційні швидкості; тоді для великих коливань ці сили будуть більшими, а для малих — меншими. Якщо в нас саме такий вид тертя, то наприкінці кожного циклу система перебуватиме в тих самих умовах, що й на початку циклу, тільки всього буде менше. Усі сили будуть меншими в тих самих пропорціях: сила пружинки трохи ослабне, інерційні ефекти будуть меншими. Адже тепер і прискорення вантажика будуть меншими, і сила тертя ослабне (про це ми подбали, створюючи наш пристрій). Якби ми мали справу з такими силами тертя, то побачили б, що кожне коливання в точності повторює перше, тільки амплітуда його стала меншою. Якщо після першого циклу амплітуда становила, наприклад, 90% початкової, то після другого циклу вона дорівнюватиме 90% від 90% і т. д., тобто розмах коливань після кожного циклу зменшується в однакове число разів. Крива, що поводиться таким чином,— це експоненційна функція. Вона змінюється в однакове число разів на будь-яких інтервалах однакової довжини. Інакше кажучи, якщо відношення амплітуди одного циклу до амплітуди попереднього дорівнює а, то таке саме відношення для другого циклу дорівнює а2, потім а3 і т. д. Таким чином, амплітуда коливань після n циклів дорівнює
Зображення
Але, звичайно, n~t, тому загальний розв'язок буде добутком якоїсь періодичної функції sin ωt або cos ωt на амплітуду, яка поводиться приблизно як bt. Якщо b додатне і менше одиниці, то його можна записати у вигляді e-c. Ось чому розв'язок задачі про коливання з урахуванням тертя виглядатиме приблизно як exp(—ct)cos ωt. Це дуже просто.
Що станеться, якщо тертя не буде таким штучним; наприклад, звичайне тертя об стіл, коли сила тертя стала за величиною, не залежить від розмаху коливань і змінює свій напрямок кожні півперіоду? Тоді рівняння руху стануть нелінійними; розв'язати їх важко, тому доведеться вдатися до описаного в розд. 2 чисельного розв'язку або розглядати окремо кожну половину періоду. Найпотужнішим, звичайно, є чисельний метод; з його допомогою можна розв'язати будь-яке рівняння. Математичний аналіз використовується лише для розв'язання простих задач.
Треба сказати, що математичний аналіз загалом не такий уже й могутній засіб дослідження; з його допомогою можна розв'язати лише найпростіші можливі рівняння. Щойно рівняння трохи ускладнюється, його вже не можна розв'язати аналітично. Чисельний же метод, з яким ми познайомилися на початку курсу, дозволяє розв'язати будь-яке рівняння, що становить фізичний інтерес.
Підемо далі. Що можна сказати про резонансну криву? Як пояснити резонанс? Уявімо спочатку, що тертя немає і ми маємо справу з чимось, що може коливатися саме по собі. Якщо підштовхувати маятник щоразу, коли він проходить повз нас, то дуже скоро маятник почне розгойдуватися, як божевільний. А що станеться, якщо ми заплющимо очі і, не стежачи за маятником, почнемо штовхати його з довільною частотою, з якою забажаємо? Іноді наші поштовхи, потрапляючи не в ритм, будуть уповільнювати маятник. Але коли нам пощастить знайти правильний темп, кожен поштовх досягатиме маятника в потрібний момент, і він підніматиметься все вище, вище і вище. Таким чином, якщо не буде тертя, то для залежності амплітуди від частоти зовнішньої сили ми отримаємо криву, яка виглядає, як суцільна лінія на фіг. 25.5. Якісно ми зрозуміли резонансну криву; щоб знайти її точні обриси, мабуть, доведеться вдатися до допомоги математики. Крива прямує до нескінченності, якщо ω->ω0, де ω0— власна частота осцилятора.
Припустіть, що існує слабке тертя. Тоді при незначних відхиленнях осцилятора вплив тертя позначається слабо, і резонансна крива віддалік від максимуму не змінюється. Однак поблизу резонансу крива вже не йде в нескінченність, а просто піднімається вище, ніж в інших місцях. Коли амплітуда коливань досягає максимуму, робота, здійснена нами в момент поштовху, повністю компенсує втрати енергії на тертя за період. Таким чином, вершина кривої закруглена, і вона вже не йде в нескінченність. Що більше тертя, то більше згладжена вершина кривої. Хтось може сказати: «Я думав, що ширини резонансних кривих залежать від тертя». Так можна подумати, тому що резонансні криві малюють, беручи за одиницю масштабу вершину кривої. Однак якщо намалювати всі криві в одному масштабі (це прояснить справу більше, ніж вивчення математичних виразів), то виявиться, що тертя зрізає вершину кривої! Якщо тертя мале, ми можемо піднятися високо по резонансній кривій; коли тертя згладить криву, ми на тому самому інтервалі частот піднімаємося на меншу висоту, і це створює відчуття ширини. Таким чином, що вищий пік кривої, то ближче до максимуму точки, де висота кривої дорівнює половині максимуму.
Нарешті, подумаймо, що станеться при дуже великому терті. Зрозуміло, що, якщо тертя дуже велике, система взагалі не осцилює. Енергії пружинки ледь-ледь вистачить на боротьбу із силами тертя, і вантажик повільно повзтиме до положення рівноваги.
Підемо далі. Що можна сказати про резонансну криву? Як пояснити резонанс? Уявімо спочатку, що тертя немає і ми маємо справу з чимось, що може коливатися саме по собі. Якщо підштовхувати маятник щоразу, коли він проходить повз нас, то дуже скоро маятник почне розгойдуватися, як божевільний. А що станеться, якщо ми заплющимо очі і, не стежачи за маятником, почнемо штовхати його з довільною частотою, з якою забажаємо? Іноді наші поштовхи, потрапляючи не в ритм, будуть уповільнювати маятник. Але коли нам пощастить знайти правильний темп, кожен поштовх досягатиме маятника в потрібний момент, і він підніматиметься все вище, вище і вище. Таким чином, якщо не буде тертя, то для залежності амплітуди від частоти зовнішньої сили ми отримаємо криву, яка виглядає, як суцільна лінія на фіг. 25.5. Якісно ми зрозуміли резонансну криву; щоб знайти її точні обриси, мабуть, доведеться вдатися до допомоги математики. Крива прямує до нескінченності, якщо ω->ω0, де ω0— власна частота осцилятора.
Припустіть, що існує слабке тертя. Тоді при незначних відхиленнях осцилятора вплив тертя позначається слабо, і резонансна крива віддалік від максимуму не змінюється. Однак поблизу резонансу крива вже не йде в нескінченність, а просто піднімається вище, ніж в інших місцях. Коли амплітуда коливань досягає максимуму, робота, здійснена нами в момент поштовху, повністю компенсує втрати енергії на тертя за період. Таким чином, вершина кривої закруглена, і вона вже не йде в нескінченність. Що більше тертя, то більше згладжена вершина кривої. Хтось може сказати: «Я думав, що ширини резонансних кривих залежать від тертя». Так можна подумати, тому що резонансні криві малюють, беручи за одиницю масштабу вершину кривої. Однак якщо намалювати всі криві в одному масштабі (це прояснить справу більше, ніж вивчення математичних виразів), то виявиться, що тертя зрізає вершину кривої! Якщо тертя мале, ми можемо піднятися високо по резонансній кривій; коли тертя згладить криву, ми на тому самому інтервалі частот піднімаємося на меншу висоту, і це створює відчуття ширини. Таким чином, що вищий пік кривої, то ближче до максимуму точки, де висота кривої дорівнює половині максимуму.
Нарешті, подумаймо, що станеться при дуже великому терті. Зрозуміло, що, якщо тертя дуже велике, система взагалі не осцилює. Енергії пружинки ледь-ледь вистачить на боротьбу із силами тертя, і вантажик повільно повзтиме до положення рівноваги.