Аналогії у фізиці

Продовжуючи огляд, зауважимо, що маси і пружинки — це не єдині лінійні системи; є й інші. Зокрема, існують електричні системи (їх називають лінійними колами), повністю аналогічні механічним системам. Ми не намагалися до кінця з'ясувати, чому кожна частина електричного кола працює так, а не інакше; це нам ще важко зрозуміти. Можна просто повірити, що ту чи іншу поведінку кожного елемента кола можна підтвердити експериментально. Візьмемо для прикладу найпростіший пристрій. Прикладемо до шматка дроту (опору) різницю потенціалів V. Це означає, що якщо від одного кінця дроту до іншого проходить заряд q, то при цьому здійснюється робота qV. Що вища різниця потенціалів, то більша робота здійснюється при «падінні» заряду з високопотенціального кінця дроту на низькопотенціальний. Заряди, проходячи з одного кінця дроту на інший, виділяють енергію. Але зарядам не так уже й просто плисти вздовж дроту: атоми дроту чинять опір потоку, і цей опір підпорядковується закону, справедливому майже для всіх звичайних матеріалів: струм I пропорційний прикладеній до дроту різниці потенціалів. Інакше кажучи, число зарядів, що проходять через дріт за 1 с, пропорційне силі, з якою їх штовхають:

Коефіцієнт R називають опором, а саме рівняння— законом Ома. Одиниця опору — ом; він дорівнює відношенню одного вольта (1 в) до одного ампера (1 а). У механічних пристроях дуже важко відшукати силу тертя, пропорційну швидкості, а в електричних колах — це справа звичайна, і закон Ома справедливий для більшості металів із дуже високою точністю. Нас цікавить, чи багато здійснюється роботи за 1 с при проходженні зарядів по дроту (цю ж величину можна назвати втратою потужності або енергією, що виділяється зарядами)? Щоб прогнати заряд q через різницю потенціалів V, треба здійснити роботу qV; таким чином, робота за 1 с дорівнює V(dq/dt), або VI. Цей вираз можна записати інакше: IR*I=I²R. Цю величину називають тепловими втратами; внаслідок закону збереження енергії, таку кількість теплоти виробляє за 1 с опір дроту. Ця теплота розжарює дріт електричної лампи. У механічних пристроїв є, звичайно, й інші цікаві властивості, наприклад такі, як маса (інерція). В електричних колах, виявляється, теж існують аналоги інерції. Можна побудувати прилад, який називають індуктором, а властивість, якою він володіє, має назву індуктивність. Струм, що потрапляє в такий прилад, не хоче зупинятися. Щоб змінити струм, до цього приладу потрібно прикласти різницю потенціалів. Якщо приладом тече постійний струм, то падіння потенціалів немає. Кола з постійним струмом нічого «не знають» про індуктивність; ефекти індуктивності виявляються тільки при змінах струму. Рівняння, що описує ці ефекти, говорить;

а індуктивність вимірюється в одиницях, які називаються генрі (гн). Прикладена до приладу з індуктивністю в 1 гн різниця потенціалів в 1 в змінює струм на 1 а/с. Рівняння (25.12), якщо хочете,— електричний аналог закону Ньютона: V відповідає F, L відповідає m, а I— швидкості! Усі наступні рівняння, що описують обидві системи, виводяться однаково, тому що ми просто можемо замінити букви в рівнянні для однієї системи і отримати рівняння для іншої системи; будь-яке виведення, зроблене при вивченні однієї системи, буде правильним і для іншої системи. Який електричний пристрій відповідає пружинці, в якій сила пропорційна розтягу? Якщо почати з F = kx і замінити F на V, a х на q, то отримаємо V=αq. Ми вже знаємо, що такий пристрій існує; більше того, це єдиний із трьох елементів кола, роботу якого ми розуміємо. Ми вже знайомилися з парою паралельних пластинок і виявили, що якщо зарядити пластинки рівними, але протилежними за знаком зарядами, то поле між пластинками буде пропорційне величині заряду. Робота, що здійснюється при перенесенні одиничного заряду через щілину від однієї пластинки до іншої, прямо пропорційна заряду пластинок. Ця робота слугує визначенням різниці потенціалів і дорівнює лінійному інтегралу електричного поля від однієї пластинки до іншої. З історично усталених причин сталу пропорційності називають не С, а 1/С, тобто

Одиниця ємності називається фарадою (ф); заряд в 1 кулон, розміщений на кожній пластинці конденсатора ємністю в 1 ф, створює різницю потенціалів в 1 в. Ось усі потрібні аналогії. Тепер можна, замінивши m на L, q на х і т. д., написати рівняння для резонансного кола

Усе, що ми знаємо про рівняння (25.14), можна застосувати і до рівняння (25.15). Переноситься кожен наслідок; аналогів так багато, що з їхньою допомогою можна зробити чудові речі. Припустімо, що ми натрапили на дуже складну механічну систему: є не одна маса на пружинці, а багато мас на багатьох пружинках, і все це переплутано. Що нам робити? Розв'язувати рівняння? Можна й так. Але спробуймо зібрати електричне коло, яке описуватиметься тими самими рівняннями, що й механічний пристрій! Якщо ми зібралися аналізувати рух маси на пружинці, чому б нам не зібрати коло, в якому індуктивність пропорційна масі, опір пропорційний mγ, 1/С пропорційне k? Тоді електричне коло, звичайно, буде точним аналогом механічного пристрою в тому сенсі, що будь-який відгук q на V (V відповідає діючій силі) точно відповідає відгуку х на силу! Переплутавши в колі велику кількість опорів, індуктивностей і ємностей, можна отримати коло, що імітує найскладнішу механічну систему. Що в цьому доброго? Кожна задача, механічна чи електрична, така сама важка (або легка), як і інша: адже вони точно еквівалентні. Відкриття електрики не допомогло розв'язати математичні рівняння, але річ у тому, що завжди легше зібрати електричне коло і змінювати його параметри. Припустімо, що ми побудували автомобіль і хочемо дізнатися, сильно чи його трястиме на вибоїнах. Зберемо електричне коло, в якому індуктивності скажуть нам про інерцію коліс, про пружність коліс дадуть уявлення ємності, опори замінять амортизатори і т. д. Врешті-решт ми замінимо елементами кола всі частини автомобіля. Тепер справа за вибоїнами. Добре, подамо на схему напругу від генератора — він зможе зобразити будь-яку вибоїну; вимірюючи заряд на відповідному конденсаторі, ми отримуємо уявлення про розгойдування колеса. Виміривши заряд (це зробити легко), ми вирішимо, що автомобіль трясе занадто сильно. Треба щось зробити. Чи то послабити амортизатори, чи то підсилити їх. Невже доведеться переробляти автомобіль, знову перевіряти, як його трясе, а потім знову переробляти? Ні! Просто потрібно повернути ручку опору: опір номер 10 — це амортизатор номер 3; так можна підсилити амортизацію. Трясе ще сильніше — не страшно, ми послабимо амортизатори. Все одно трясе. Змінимо пружність пружини (ручка номер 17). Так ми все налагодження здійснимо за допомогою електрики, багаторазовим поворотом ручок.
Ось вам аналогова обчислювальна машина. Так називають пристрої, які імітують задачі, що нас цікавлять, описувані тими самими рівняннями, але зовсім іншої природи. Ці пристрої легко побудувати, на них легко провести вимірювання, налагодити їх, і... розібрати!