Перейдімо тепер до іншої цікавої проблеми. Припустімо, що нам задано якусь зовнішню силу Fa(наприклад, періодичну силу з частотою ω=ωα, але наші висновки будуть правильні для будь-якої залежності сили від часу) і ми знайшли рух, що відповідає цій силі (перехідні рухи можна враховувати чи не враховувати, це неважливо). Припустімо, що ми розв'язали ще одну задачу — знайшли рух у випадку дії сили Fb. Після цього припустімо, що хтось вбіг у кімнату і сказав: «На контрольній задають задачу із силою Fa+Fb. Що нам робити?» Звичайно, ми розв'яжемо цю задачу — адже ми одразу виявимо одну чудову властивість: сума розв'язків хa і хb, які отримують у тому випадку, якщо брати сили окремо, буде розв'язком нової задачі. Для цього треба тільки згадати про (25.3):
Зображення
Це приклад того, що називають принципом суперпозиції для лінійних систем, і це дуже важлива річ. Справа стоїть так: якщо ми зможемо подати складну силу у вигляді суми кількох простіших сил і зможемо розв'язати рівняння для кожної сили окремо, то ми зможемо розв'язати і початкове рівняння, тому що для цього треба просто об'єднати шматки розв'язку так само, як ми об'єднували окремі сили, щоб отримати повну силу (фіг. 25.1).
Ще один приклад принципу суперпозиції. У розд. 12 (вип. 1) йшлося про один із найважливіших фактів, що випливають із законів електрики. Якщо нам задано розподіл зарядів qa, можна знайти електричне поле Еа, породжуване цими зарядами в точці Р. Інший розподіл зарядів qb породжує в цій же точці поле Еb. Обидва ці розподіли, діючи разом, породять у точці Р поле Е, яке являє собою суму полів Еa і Еb. Інакше кажучи, поле, що відповідає сукупності багатьох зарядів,— це векторна сума полів, що відповідають окремим зарядам. Аналогія з попереднім прикладом впадає в очі: адже якщо ми знаємо результат дії окремих сил, то відгук на силу, яка є сумою цих сил, буде сумою окремих відгуків.
Зображення
Щоб придумати ще один приклад принципу суперпозиції, запитайте себе, як вам вдається настроїти свій радіоприймач на певну радіостанцію, хоча одночасно працює дуже багато станцій. Сигнали радіостанцій — це коливні електричні поля дуже високої частоти, що діють на антену радіоприймача. Амплітуда цих коливань, щоправда, змінюється, її модулює голос диктора, але швидкість цих змін дуже мала, і про це поки можна забути. Коли ви чуєте: «Станція працює на частоті 780 кілогерц», це означає, що частота випромінюваного антеною радіостанції електромагнітного поля дорівнює 780 000 коливань за секунду, і це поле з точно такою самою частотою розгойдує електрони в антені вашого приймача. Але ж водночас поблизу може працювати й інша радіостанція на іншій частоті, скажімо, на частоті 550 кгц. Ця станція теж розгойдує електрони вашої антени. Як же відокремлюються сигнали, що надходять у приймач із частотою 780 кгц, від сигналів, що мають частоту 550 кгц? Адже ви не чули голосів обох дикторів одночасно.
Перша частина електричного кола радіоприймача — це лінійне коло. За принципом суперпозиції її відгук на електричне поле Fa+Fb дорівнює хa+хb. З усього виходить, що нам доведеться слухати обох дикторів одразу. Але згадаймо, що в резонансному колі крива відгуку х на одиничну силу F залежить від частоти приблизно так, як це зображено на фіг. 25.3. У колі з дуже великим значенням Q відгук має дуже гострий максимум. Припустімо, що обидві станції мають приблизно однакову потужність, тому обидві сили мають приблизно однакову амплітуду. Відгук дорівнює сумі відгуків хa і хb, але на фіг. 25.3 хa величезний, а хb дуже малий. Таким чином, хоча обидва сигнали однакові за силою, у приймачі вони проходять через гостро резонансне коло, налаштоване на частоту ωa (частоту передач однієї зі станцій), і відгук на цю частоту (станцію) значно більший за відгук на всі інші. Тому, попри те що на антену діють обидва сигнали, повний відгук майже цілком складений із частоти ωa, і ми можемо вибрати ту станцію, яку забажаємо.
Кілька слів про механізм настроювання. Як ми настроюємо радіоприймач? Ми змінювали частоту ω0, змінюючи L або С кола, тому що частота кола залежить від комбінації L і С. Більшість радіоприймачів влаштовано так, що в них змінюється значення С. Обертаючи ручку настроювання приймача, ми змінюємо власну частоту кола. Нехай якомусь положенню ручки відповідає частота ωc; якщо немає радіостанцій, що працюють на цій частоті, приймач мовчить. Ви продовжуєте змінювати ємність С кола, поки не збудуєте криву відгуку з резонансом на частоті ωb, тоді ви почуєте іншу станцію. Ось так і настроюється радіоприймач; уся справа в принципі суперпозиції в поєднанні з резонансним відгуком.
Причина справедливості принципу суперпозиції в електриці полягає в тому, що основні закони електрики, які визначають електричне поле (рівняння Максвелла), — це лінійні диференціальні рівняння, що мають властивість (25.3). Силам у цих рівняннях відповідають заряди, що породжують електричне поле, а рівняння, які визначають електричне поле за заданими зарядами,— лінійні рівняння.
Щоб закінчити обговорення, давайте подумаємо, як діяти при аналізі лінійних задач із заданою силою, коли сила дуже складно залежить від часу. Можна діяти по-різному, але є два особливо зручні загальні методи розв'язання таких задач. Перший метод: припустімо, що ми можемо розв'язати задачу в деяких окремих випадках, наприклад у випадку синусоїдальних сил різних частот. Розв'язувати лінійні рівняння в таких випадках — дитяча забавка. Нехай нам і трапився цей «дитячий» випадок. Тепер постає питання, чи не можна подати будь-яку силу у вигляді суми двох або більше «дитячих» сил? Ми вже показали на фіг. 25.1 доволі хитру залежність сили від часу; якщо туди додати ще кілька синусоїд, то результуюча крива виглядатиме ще складніше. Таким чином, простенькі «дитячі» сили можуть породити дуже складну силу. Правильне і зворотне: практично кожна крива може бути подана у вигляді нескінченної суми синусоїдальних хвиль різної довжини хвилі (або частоти). Таким чином, ми знаємо, як подати задану силу F у вигляді синусоїдальних хвиль, тому розв'язок х можна подати у вигляді суми F синусоїдальних хвиль, кожна з яких множиться на ефективне відношення х до F. Такий метод розв'язання називають методом перетворення Фур'є, або аналізом (розкладанням) Фур'є. Ми не будемо зараз робити такого розкладання; поки що досить самої ідеї.
Дуже цікавий інший спосіб розв'язання складних задач. Припустімо, що хтось після великих розумових зусиль розв'язав задану нам задачу у випадку однієї окремої сили — імпульсної. Сила раптово і швидко діє на систему, потім вимикається, і все знову спокійно. Нам тепер достатньо розв'язати таку задачу лише у випадку одиничної сили, потім множенням на відповідне число ми зможемо отримати будь-які сили. Ми знаємо, що осцилятор відгукується на імпульсну силу згасаючими коливаннями. А як бути у випадку іншої сили, наприклад сили, зображеної на фіг. 25.4?
Таку силу можна подати у вигляді послідовних ударів молотком. Спочатку всюди стоїть тиша, потім хтось бере в руки молоток і раптово лунають рівномірні удари — удар, удар, удар, удар, ... і знову все тихо. Інакше кажучи, безперервно діючу силу можна подати у вигляді ряду послідовних імпульсів, що швидко йдуть один за одним. Ми знаємо наслідки одного імпульсу, а наслідком серії імпульсів буде ряд згасаючих коливань; намалюйте криву коливань для першого імпульсу, потім, трохи відступивши, такі самі криві для другого імпульсу, третього і т. д. Потім складіть усі криві. Таким чином математично можна подати повний розв'язок у випадку довільної сили, якщо можна розв'язати задачу для імпульсу. Відповідь для будь-якої сили можна отримати шляхом інтегрування. Це метод функції Гріна. Функція Гріна — це відгук системи на окремий імпульс, а метод функції Гріна — це метод аналізу дії сили сумуванням відгуків на імпульси.
Фізичні принципи, що лежать в основі обох методів, дуже прості; вони просто напрошуються, якщо зрозуміти зміст лінійного рівняння, але математичні методи містять доволі складні інтегрування і т. д.; ми мало підготовлені, щоб прямо атакувати ці методи. До цього ви ще повернетеся, коли наб'єте руку в математиці. Але сама ідея методів, справді, дуже проста.
Нарешті, скажемо ще, чому лінійні системи такі важливі. Відповідь проста: тому що ми вміємо розв'язувати лінійні рівняння! Тому більшу частину часу ми будемо розв'язувати лінійні задачі. Друга (і головна) причина полягає в тому, що основні закони фізики часто лінійні. Наприклад, рівняння Максвелла для законів електромагнетизму — лінійні рівняння. Великі закони квантової механіки, наскільки вони нам відомі, теж зводяться до лінійних рівнянь. Ось чому ми приділяємо стільки часу лінійним рівнянням: якщо ми зрозуміли лінійні рівняння, ми готові в принципі розуміти дуже багато речей. Згадаємо ще інші ситуації, коли виникають лінійні рівняння. Коли відхилення малі, багато функцій можна наближено замінити лінійними. Наприклад, точне рівняння руху маятника говорить
Перша частина електричного кола радіоприймача — це лінійне коло. За принципом суперпозиції її відгук на електричне поле Fa+Fb дорівнює хa+хb. З усього виходить, що нам доведеться слухати обох дикторів одразу. Але згадаймо, що в резонансному колі крива відгуку х на одиничну силу F залежить від частоти приблизно так, як це зображено на фіг. 25.3. У колі з дуже великим значенням Q відгук має дуже гострий максимум. Припустімо, що обидві станції мають приблизно однакову потужність, тому обидві сили мають приблизно однакову амплітуду. Відгук дорівнює сумі відгуків хa і хb, але на фіг. 25.3 хa величезний, а хb дуже малий. Таким чином, хоча обидва сигнали однакові за силою, у приймачі вони проходять через гостро резонансне коло, налаштоване на частоту ωa (частоту передач однієї зі станцій), і відгук на цю частоту (станцію) значно більший за відгук на всі інші. Тому, попри те що на антену діють обидва сигнали, повний відгук майже цілком складений із частоти ωa, і ми можемо вибрати ту станцію, яку забажаємо.
Кілька слів про механізм настроювання. Як ми настроюємо радіоприймач? Ми змінювали частоту ω0, змінюючи L або С кола, тому що частота кола залежить від комбінації L і С. Більшість радіоприймачів влаштовано так, що в них змінюється значення С. Обертаючи ручку настроювання приймача, ми змінюємо власну частоту кола. Нехай якомусь положенню ручки відповідає частота ωc; якщо немає радіостанцій, що працюють на цій частоті, приймач мовчить. Ви продовжуєте змінювати ємність С кола, поки не збудуєте криву відгуку з резонансом на частоті ωb, тоді ви почуєте іншу станцію. Ось так і настроюється радіоприймач; уся справа в принципі суперпозиції в поєднанні з резонансним відгуком.
Причина справедливості принципу суперпозиції в електриці полягає в тому, що основні закони електрики, які визначають електричне поле (рівняння Максвелла), — це лінійні диференціальні рівняння, що мають властивість (25.3). Силам у цих рівняннях відповідають заряди, що породжують електричне поле, а рівняння, які визначають електричне поле за заданими зарядами,— лінійні рівняння.
Щоб закінчити обговорення, давайте подумаємо, як діяти при аналізі лінійних задач із заданою силою, коли сила дуже складно залежить від часу. Можна діяти по-різному, але є два особливо зручні загальні методи розв'язання таких задач. Перший метод: припустімо, що ми можемо розв'язати задачу в деяких окремих випадках, наприклад у випадку синусоїдальних сил різних частот. Розв'язувати лінійні рівняння в таких випадках — дитяча забавка. Нехай нам і трапився цей «дитячий» випадок. Тепер постає питання, чи не можна подати будь-яку силу у вигляді суми двох або більше «дитячих» сил? Ми вже показали на фіг. 25.1 доволі хитру залежність сили від часу; якщо туди додати ще кілька синусоїд, то результуюча крива виглядатиме ще складніше. Таким чином, простенькі «дитячі» сили можуть породити дуже складну силу. Правильне і зворотне: практично кожна крива може бути подана у вигляді нескінченної суми синусоїдальних хвиль різної довжини хвилі (або частоти). Таким чином, ми знаємо, як подати задану силу F у вигляді синусоїдальних хвиль, тому розв'язок х можна подати у вигляді суми F синусоїдальних хвиль, кожна з яких множиться на ефективне відношення х до F. Такий метод розв'язання називають методом перетворення Фур'є, або аналізом (розкладанням) Фур'є. Ми не будемо зараз робити такого розкладання; поки що досить самої ідеї.
Дуже цікавий інший спосіб розв'язання складних задач. Припустімо, що хтось після великих розумових зусиль розв'язав задану нам задачу у випадку однієї окремої сили — імпульсної. Сила раптово і швидко діє на систему, потім вимикається, і все знову спокійно. Нам тепер достатньо розв'язати таку задачу лише у випадку одиничної сили, потім множенням на відповідне число ми зможемо отримати будь-які сили. Ми знаємо, що осцилятор відгукується на імпульсну силу згасаючими коливаннями. А як бути у випадку іншої сили, наприклад сили, зображеної на фіг. 25.4?
Таку силу можна подати у вигляді послідовних ударів молотком. Спочатку всюди стоїть тиша, потім хтось бере в руки молоток і раптово лунають рівномірні удари — удар, удар, удар, удар, ... і знову все тихо. Інакше кажучи, безперервно діючу силу можна подати у вигляді ряду послідовних імпульсів, що швидко йдуть один за одним. Ми знаємо наслідки одного імпульсу, а наслідком серії імпульсів буде ряд згасаючих коливань; намалюйте криву коливань для першого імпульсу, потім, трохи відступивши, такі самі криві для другого імпульсу, третього і т. д. Потім складіть усі криві. Таким чином математично можна подати повний розв'язок у випадку довільної сили, якщо можна розв'язати задачу для імпульсу. Відповідь для будь-якої сили можна отримати шляхом інтегрування. Це метод функції Гріна. Функція Гріна — це відгук системи на окремий імпульс, а метод функції Гріна — це метод аналізу дії сили сумуванням відгуків на імпульси.
Фізичні принципи, що лежать в основі обох методів, дуже прості; вони просто напрошуються, якщо зрозуміти зміст лінійного рівняння, але математичні методи містять доволі складні інтегрування і т. д.; ми мало підготовлені, щоб прямо атакувати ці методи. До цього ви ще повернетеся, коли наб'єте руку в математиці. Але сама ідея методів, справді, дуже проста.Нарешті, скажемо ще, чому лінійні системи такі важливі. Відповідь проста: тому що ми вміємо розв'язувати лінійні рівняння! Тому більшу частину часу ми будемо розв'язувати лінійні задачі. Друга (і головна) причина полягає в тому, що основні закони фізики часто лінійні. Наприклад, рівняння Максвелла для законів електромагнетизму — лінійні рівняння. Великі закони квантової механіки, наскільки вони нам відомі, теж зводяться до лінійних рівнянь. Ось чому ми приділяємо стільки часу лінійним рівнянням: якщо ми зрозуміли лінійні рівняння, ми готові в принципі розуміти дуже багато речей. Згадаємо ще інші ситуації, коли виникають лінійні рівняння. Коли відхилення малі, багато функцій можна наближено замінити лінійними. Наприклад, точне рівняння руху маятника говорить
Зображення
Це рівняння розв'язується за допомогою еліптичних функцій, але легше розв'язати його чисельно, як ми це робили в розд. 9 (вип. 1) під час вивчення ньютонових законів руху. Більшість нелінійних рівнянь взагалі можна розв'язати лише чисельно. Для малих кутів sin θ практично дорівнює θ, і в цьому випадку можна перейти до лінійного рівняння. На цьому прикладі можна зрозуміти, що є багато обставин, за яких малі ефекти лінійні (тут це відхилення маятника на малі кути). Інший приклад: якщо на пружині гойдається невеликий вантажик, сила пропорційна розтягу пружини. Якщо сильно потягнути за пружину, вона може і порватися, отже, у цьому випадку сила зовсім інакше залежить від відстані! Лінійні рівняння дуже важливі. Вони настільки важливі, що фізики та інженери, мабуть, половину свого часу витрачають на розв'язання лінійних рівнянь.