Тепер ми вже можемо описати, чим визначається «якість» музичного тону. Вона визначається відносною кількістю різних гармонік, тобто відносними величинами a і b. Тон, що містить лише першу гармоніку, називається «чистим», а тон з кількома сильними гармоніками називається «багатим». Скрипка дає гармоніки в одній пропорції, а гобой — в іншій.
Можна «виготовити» різні музичні тони, якщо підключити до гучномовця кілька «осциляторів». (Осцилятор зазвичай дає приблизно чисті прості гармонічні коливання.) Як частоти осциляторів ми виберемо ω, 2ω, 3ω і т. д. Приладнавши до кожного осцилятора регулятор гучності, можна змішувати гармоніки в будь-якій бажаній пропорції і тим самим створювати звуки різної якості. Приблизно так працює електричний орган. Клавіші вибирають частоту основного осцилятора, а педалі контролюють відносну пропорцію різних гармонік. За допомогою цих регуляторів можна змусити орган звучати як флейту, або як гобой, або як скрипку.
Цікаво, що для отримання такого «штучного» звуку немає жодної потреби розділяти осцилятори на «синусні» і «косинусні» — для кожної частоти нам достатньо лише одного осцилятора. Наше вухо не дуже чутливе до відносної фази гармонік. Воно сприймає «синусну» і «косинусну» частини частоти в цілому. Тому наш аналіз точніший, ніж це потрібно для пояснення суб'єктивної сторони музики. Однак реакція мікрофона або іншого фізичного приладу все ж таки залежить від фази, і наш повний аналіз для таких випадків просто необхідний.
«Якість» розмовної мови визначається голосними звуками. Форма рота визначає частоти власних гармонік коливань звуку в ньому. Деякі з цих гармонік збуджуються звуковими хвилями від голосових зв'язок. Таким способом відбувається посилення одних гармонік порівняно з іншими. Коли ми змінюємо форму рота, ми даємо перевагу гармонікам різних частот над іншими. Завдяки цьому ефекту, наприклад, є різниця між звуком «о—о—о» і звуком «а—а—а».
Усім відомо, що кожен голосний звук, скажімо «о—о—о», коли ми говоримо чи співаємо, завжди схожий сам на себе як при високих, так і при низьких частотах. Виходячи з описаного нами механізму, ми б очікували, що коли ми відкриваємо рот і вимовляємо звук «а—а—а», то тим самим ми виділяємо якісь певні частоти, які не повинні змінитися при підвищенні голосу. Таким чином, зі зміною висоти відношення важливих гармонік до основного тону, тобто те, що ми називаємо «якістю», має нібито змінюватися. Очевидно, механізм, за допомогою якого ми впізнаємо звуки мови, ґрунтується не на співвідношенні різних гармонік.
Що ж можна тепер сказати про відкриття Піфагора? Ми розуміємо, що основні частоти двох струн, довжини яких відносяться як 2:3, теж будуть відноситися як 3:2. Але чому ж разом вони «приємно звучать»? Розгадку, вочевидь, потрібно шукати в частотах гармонік. Друга гармоніка короткої струни матиме ту саму частоту, що й третя гармоніка довгої струни. (Легко показати або просто повірити, що, зачепивши струну, ми збуджуємо кілька сильних нижніх гармонік.)
Вочевидь, справедливе таке правило: ноти звучать гармонійно, коли в них є гармоніки з однаковою частотою. Ноти дисонують, якщо їхні вищі гармоніки мають частоти, близькі одна до одної, але достатньо відмінні, щоб між ними виникали швидкі биття. Однак чому биття звучать неприємно і чому унісон вищих гармонік звучить приємно, ми не вміємо ні визначити, ні описати. Виходячи з наших знань, ми не можемо сказати, що має приємно звучати, так само як, наприклад, що має приємно пахнути. Іншими словами, наше розуміння цього явища не йде далі простого твердження, що коли ноти звучать в унісон, то це приємно. Але звідси, крім властивості гармонії в музиці, нам нічого більше не вивести.
Гармонійні співвідношення, які ми щойно описали, легко перевірити, провівши нескладний дослід на фортепіано. Давайте позначимо три послідовні ноти до в середині клавіатури через до, до` і до", а три послідовні ноти соль, розташовані безпосередньо вище них, через соль, соль` і соль". Основні гармоніки при цьому матимуть такі відносні частоти:
Можна «виготовити» різні музичні тони, якщо підключити до гучномовця кілька «осциляторів». (Осцилятор зазвичай дає приблизно чисті прості гармонічні коливання.) Як частоти осциляторів ми виберемо ω, 2ω, 3ω і т. д. Приладнавши до кожного осцилятора регулятор гучності, можна змішувати гармоніки в будь-якій бажаній пропорції і тим самим створювати звуки різної якості. Приблизно так працює електричний орган. Клавіші вибирають частоту основного осцилятора, а педалі контролюють відносну пропорцію різних гармонік. За допомогою цих регуляторів можна змусити орган звучати як флейту, або як гобой, або як скрипку.
Цікаво, що для отримання такого «штучного» звуку немає жодної потреби розділяти осцилятори на «синусні» і «косинусні» — для кожної частоти нам достатньо лише одного осцилятора. Наше вухо не дуже чутливе до відносної фази гармонік. Воно сприймає «синусну» і «косинусну» частини частоти в цілому. Тому наш аналіз точніший, ніж це потрібно для пояснення суб'єктивної сторони музики. Однак реакція мікрофона або іншого фізичного приладу все ж таки залежить від фази, і наш повний аналіз для таких випадків просто необхідний.
«Якість» розмовної мови визначається голосними звуками. Форма рота визначає частоти власних гармонік коливань звуку в ньому. Деякі з цих гармонік збуджуються звуковими хвилями від голосових зв'язок. Таким способом відбувається посилення одних гармонік порівняно з іншими. Коли ми змінюємо форму рота, ми даємо перевагу гармонікам різних частот над іншими. Завдяки цьому ефекту, наприклад, є різниця між звуком «о—о—о» і звуком «а—а—а».
Усім відомо, що кожен голосний звук, скажімо «о—о—о», коли ми говоримо чи співаємо, завжди схожий сам на себе як при високих, так і при низьких частотах. Виходячи з описаного нами механізму, ми б очікували, що коли ми відкриваємо рот і вимовляємо звук «а—а—а», то тим самим ми виділяємо якісь певні частоти, які не повинні змінитися при підвищенні голосу. Таким чином, зі зміною висоти відношення важливих гармонік до основного тону, тобто те, що ми називаємо «якістю», має нібито змінюватися. Очевидно, механізм, за допомогою якого ми впізнаємо звуки мови, ґрунтується не на співвідношенні різних гармонік.
Що ж можна тепер сказати про відкриття Піфагора? Ми розуміємо, що основні частоти двох струн, довжини яких відносяться як 2:3, теж будуть відноситися як 3:2. Але чому ж разом вони «приємно звучать»? Розгадку, вочевидь, потрібно шукати в частотах гармонік. Друга гармоніка короткої струни матиме ту саму частоту, що й третя гармоніка довгої струни. (Легко показати або просто повірити, що, зачепивши струну, ми збуджуємо кілька сильних нижніх гармонік.)
Вочевидь, справедливе таке правило: ноти звучать гармонійно, коли в них є гармоніки з однаковою частотою. Ноти дисонують, якщо їхні вищі гармоніки мають частоти, близькі одна до одної, але достатньо відмінні, щоб між ними виникали швидкі биття. Однак чому биття звучать неприємно і чому унісон вищих гармонік звучить приємно, ми не вміємо ні визначити, ні описати. Виходячи з наших знань, ми не можемо сказати, що має приємно звучати, так само як, наприклад, що має приємно пахнути. Іншими словами, наше розуміння цього явища не йде далі простого твердження, що коли ноти звучать в унісон, то це приємно. Але звідси, крім властивості гармонії в музиці, нам нічого більше не вивести.
Гармонійні співвідношення, які ми щойно описали, легко перевірити, провівши нескладний дослід на фортепіано. Давайте позначимо три послідовні ноти до в середині клавіатури через до, до` і до", а три послідовні ноти соль, розташовані безпосередньо вище них, через соль, соль` і соль". Основні гармоніки при цьому матимуть такі відносні частоти:
Зображення
Ось як можна продемонструвати ці гармонійні співвідношення. Давайте повільно натиснемо клавішу до` так, щоб вона не зазвучала, але щоб демпфер піднявся. Якщо тепер натиснути до, то разом з основною гармонікою буде збуджена і друга гармоніка, яка збудить основну гармоніку струни до`. Якщо тепер відпустити клавішу до (залишаючи натиснутою клавішу до`), то демпфер заглушить струну до, і ми можемо почути, як завмирає тихий звук струни до`. Точно так само третя гармоніка до може викликати звучання струни соль` або шоста гармоніка до (яка звучить набагато тихіше) може викликати коливання основної гармоніки струни соль".
Зовсім інший результат вийде, якщо ми спочатку тихенько натиснемо соль, а потім вдаримо по клавіші до`. Третя гармоніка до` відповідатиме четвертій гармоніці соль, так що буде збуджена лише четверта гармоніка соль. Ми можемо почути (якщо слухати дуже уважно) звук соль", який на дві октави вищий, ніж соль, яку ми натиснули! Можна вигадати ще дуже багато комбінацій цієї гри.
Заразом зазначимо, що мажорний лад можна просто визначити умовою, що кожен з трьох мажорних акордів (фа— ля—до), (до—мі—соль) і (соль—сі-бемоль—ре) являє собою послідовність тонів із відношенням частот (4:5:6). Ці відношення і той факт, що в октаві (до—до`, соль—соль` і т. д.) частоти відносяться як 1 : 2, визначають в «ідеальному» випадку весь стрій, який називається «натуральним, або піфагорійським строєм». Але зазвичай клавішні інструменти типу фортепіано не налаштовуються таким чином, а влаштовується невелика «підтасовка», так що для всіх можливих початкових тонів відношення частот лише приблизно правильне. При такому строї, названому «темперованим», октава (для якої відношення частот, як і раніше, дорівнює 1 : 2) ділиться на 12 рівних інтервалів, так що відношення частот для кожного інтервалу дорівнює (2)1/2. Для квінти відношення частот буде вже не 3/2, а (2)7/12 = 1,499, але для більшості людей воно достатньо близьке до 3/2*.
Отже, ми встановили правила милозвучності через збіг гармонік. Може, цей збіг і є причиною милозвучності? Хтось стверджував, що два абсолютно чистих тони, тобто ретельно очищених від вищих гармонік, не дають відчуття милозвучності чи немилозвучності (дисонансу), коли їхні частоти рівні або приблизно рівні очікуваному відношенню. (Це дуже складний експеримент, оскільки приготувати чисті тони дуже важко з причин, які ми побачимо далі.) Ми не можемо з упевненістю сказати, чи порівнює вухо гармоніки, чи займається арифметикою, коли ми вирішуємо, що звук нам подобається.
* В основі поділу октави на 12 ступенів лежить відкриття Піфагора. Він брав струну, затискав її посередині й отримував звук на октаву вищий, ніж звук незатиснутої струни. Потім половину струни він знову затискав посередині й отримував звук ще на октаву вищий і т. д. Точно так само, затискаючи послідовно струну на 1/3 довжини, він щоразу отримував звук вищий на квінту. І ось виявилося, що 12 квінт майже точно вкладаються на інтервалі в 7 октав [тобто 27≈(3/2)12]. Якщо ж тепер від кожної квінти відкласти ціле число октав угору і вниз, то кожна початкова октава поділиться на 12 частин. Так виник піфагорійський стрій. Однак біда в тому, що 12 квінт лише приблизно дорівнюють 7 октавам, тому в різних місцях діапазону «драбинки» виходили нерівними. При розвитку мелодії ці неточності накопичувалися і виникали неприємні для вуха інтервали, так звані «вовки», які страшенно дошкуляли музикантам. Іноді справа доходила до курйозів. Розповідають, що відомий композитор Жак Рамо зумів так спритно видобувати з органа «вовчі» звуки, що одного разу, бажаючи відмовитися від посади церковного органіста, довів своєю «грою» святих отців до жаху й переконав їх у своїй «бездарності». Багато сил було витрачено на вигнання «вовків». Цим, зокрема, безуспішно займалися такі уми, як Кеплер і Ейлер. Однак зробити це вдалося не фізику й не математику, а органісту Андреасу Веркмейстеру. Його рішення геніально просте: він відмовився від чистих квінт, укоротивши їх якраз настільки, щоб дюжина вмістилася в 7 октав, і несумісне поєдналося, а «вовки» зникли. Так виник сучасний темперований стрій.— Прим. ред.
Зовсім інший результат вийде, якщо ми спочатку тихенько натиснемо соль, а потім вдаримо по клавіші до`. Третя гармоніка до` відповідатиме четвертій гармоніці соль, так що буде збуджена лише четверта гармоніка соль. Ми можемо почути (якщо слухати дуже уважно) звук соль", який на дві октави вищий, ніж соль, яку ми натиснули! Можна вигадати ще дуже багато комбінацій цієї гри.
Заразом зазначимо, що мажорний лад можна просто визначити умовою, що кожен з трьох мажорних акордів (фа— ля—до), (до—мі—соль) і (соль—сі-бемоль—ре) являє собою послідовність тонів із відношенням частот (4:5:6). Ці відношення і той факт, що в октаві (до—до`, соль—соль` і т. д.) частоти відносяться як 1 : 2, визначають в «ідеальному» випадку весь стрій, який називається «натуральним, або піфагорійським строєм». Але зазвичай клавішні інструменти типу фортепіано не налаштовуються таким чином, а влаштовується невелика «підтасовка», так що для всіх можливих початкових тонів відношення частот лише приблизно правильне. При такому строї, названому «темперованим», октава (для якої відношення частот, як і раніше, дорівнює 1 : 2) ділиться на 12 рівних інтервалів, так що відношення частот для кожного інтервалу дорівнює (2)1/2. Для квінти відношення частот буде вже не 3/2, а (2)7/12 = 1,499, але для більшості людей воно достатньо близьке до 3/2*.
Отже, ми встановили правила милозвучності через збіг гармонік. Може, цей збіг і є причиною милозвучності? Хтось стверджував, що два абсолютно чистих тони, тобто ретельно очищених від вищих гармонік, не дають відчуття милозвучності чи немилозвучності (дисонансу), коли їхні частоти рівні або приблизно рівні очікуваному відношенню. (Це дуже складний експеримент, оскільки приготувати чисті тони дуже важко з причин, які ми побачимо далі.) Ми не можемо з упевненістю сказати, чи порівнює вухо гармоніки, чи займається арифметикою, коли ми вирішуємо, що звук нам подобається.
* В основі поділу октави на 12 ступенів лежить відкриття Піфагора. Він брав струну, затискав її посередині й отримував звук на октаву вищий, ніж звук незатиснутої струни. Потім половину струни він знову затискав посередині й отримував звук ще на октаву вищий і т. д. Точно так само, затискаючи послідовно струну на 1/3 довжини, він щоразу отримував звук вищий на квінту. І ось виявилося, що 12 квінт майже точно вкладаються на інтервалі в 7 октав [тобто 27≈(3/2)12]. Якщо ж тепер від кожної квінти відкласти ціле число октав угору і вниз, то кожна початкова октава поділиться на 12 частин. Так виник піфагорійський стрій. Однак біда в тому, що 12 квінт лише приблизно дорівнюють 7 октавам, тому в різних місцях діапазону «драбинки» виходили нерівними. При розвитку мелодії ці неточності накопичувалися і виникали неприємні для вуха інтервали, так звані «вовки», які страшенно дошкуляли музикантам. Іноді справа доходила до курйозів. Розповідають, що відомий композитор Жак Рамо зумів так спритно видобувати з органа «вовчі» звуки, що одного разу, бажаючи відмовитися від посади церковного органіста, довів своєю «грою» святих отців до жаху й переконав їх у своїй «бездарності». Багато сил було витрачено на вигнання «вовків». Цим, зокрема, безуспішно займалися такі уми, як Кеплер і Ейлер. Однак зробити це вдалося не фізику й не математику, а органісту Андреасу Веркмейстеру. Його рішення геніально просте: він відмовився від чистих квінт, укоротивши їх якраз настільки, щоб дюжина вмістилася в 7 октав, і несумісне поєдналося, а «вовки» зникли. Так виник сучасний темперований стрій.— Прим. ред.