Теорема про енергію

Енергія  хвилі  пропорційна квадрату її  амплітуди. Для складної хвилі енергія за один період пропорційна ^T₀∫f²(t) dt. Цю енергію можна пов'язати з коефіцієнтами Фур'є

Після розкриття квадрата в правій частині ми отримаємо суму всіляких перехресних членів типу a₅cos5ωt  b₇ cos 7ωt. Однак вище ми вже показали [рівняння (50.11) і (50.12)], що інтеграли від усіх таких членів за один період дорівнюють нулю, так що залишаться лише квадратні члени, подібні a²₅cos²5ωt. Інтеграл від будь-якого квадрата косинуса або синуса за один період дорівнює Т/2, так що отримуємо

Це рівняння називають «теоремою про енергію», яка говорить, що повна енергія хвилі дорівнює просто сумі енергій усіх її фур'є-компонент. Застосовуючи, наприклад, цю теорему до ряду (50.19), ми отримуємо

оскільки [f(t)]² = 1. Таким чином ми дізналися, що сума квадратів обернених непарних чисел дорівнює π²/8. Точно так само, виписавши спочатку ряд Фур'є для функції і використавши потім теорему про енергію, можна довести  результат,  який знадобився  нам в розд. 45, тобто що 1 + 1/2⁴ + 1/3⁴+ ... дорівнює π⁴/90.