Припустімо тепер, що нас цікавить інтенсивність хвилі, описуваної рівнянням (48.7). Щоб знайти її, потрібно взяти квадрат абсолютної величини або правої, або лівої частини цього рівняння. Візьмімо ліву частину. Інтенсивність при цьому дорівнюватиме
Зображення
Бачите, інтенсивність зростає і спадає з частотою ω1—ω2, змінюючись у межах між (A1 + A2)2 і (A1—А2)2. Якщо А1 ≠ А2, то мінімальна інтенсивність не дорівнює нулю.
Ті самі результати можна отримати і іншим шляхом—за допомогою схем, подібних до фіг. 48.2. Зобразимо одну з хвиль у вигляді вектора довжиною А1 у комплексній площині, що обертається з кутовою швидкістю ω1. Другу хвилю зобразимо іншим вектором, довжина якого A2, а кутова швидкість обертання ω2. Якщо ці частоти точно рівні між собою, то ми отримаємо вектор, що обертається, довжина якого весь час стала. Так що інтенсивність у цьому випадку буде весь час сталою фіксованою величиною. Якщо, однак, частоти хоч трохи відрізняються одна від одної, то ці два вектори обертатимуться з різними швидкостями.
На фіг. 48.3 показано, як виглядає вся картина «з точки зору» вектора A1exp(iω1t). Ми бачимо, що вектор A2 повільно «відвертається» від вектора A1, так що амплітуда, яку отримуємо при додаванні цих векторів, спочатку велика, а потім, коли другий вектор зовсім «відвернеться» в інший бік, тобто коли кут між ними стане 180°, вона буде особливо малою, і т. д. Вектор крутиться, амплітуда суми векторів стає то більшою, то меншою, а інтенсивність пульсує. Ідея порівняно проста, і її можна реалізувати безліччю різних способів. Цей ефект дуже легко спостерігати експериментально. Можна встановити, наприклад, два гучномовці, кожен з яких з'єднаний зі своїм генератором коливань і може давати свій власний тон. Таким чином, ми приймаємо один сигнал від першого джерела, а інший сигнал від другого. Якщо частоти цих сигналів точно однакові, то в результаті в кожній точці простору вийде ефект певної сили. Але якщо генератори трохи розладнати, то ми почуємо деякі зміни інтенсивності. Що більше ми розладнуємо генератори, то швидшими будуть зміни сили звуку. Однак вуху стає важко стежити за змінами, швидкість яких перевищує 10 коливань за секунду або щось близько цього.
Той самий ефект можна спостерігати і на осцилографі, який просто показує суму струмів двох генераторів. Якщо частота пульсацій порівняно мала, то ми просто бачимо, як на екрані перед нами проходять синусоїдальні хвилі, амплітуда яких пульсує, але якщо зробити пульсації швидшими, то ми побачимо щось схоже на те, що показано на фіг. 48.1. У міру збільшення різниці між частотами «вершини» зближуються все більше й більше. Якщо амплітуди не рівні одна одній, якщо ми один сигнал зробимо слабшим за інший, то утворюється хвиля, амплітуда якої, як і очікується, ніколи не стає рівною нулю. Все виходить так, як потрібно, незалежно від того, електрика це чи звук.
Але можливе й зворотне явище! У радіопередачі використовують так звану амплітудну модуляцію (АМ). Ось як це робиться. Радіопередавач збуджує електричні коливання дуже високої частоти. Для радіомовлення, наприклад, використовується частота 800 кгц. Якщо ввімкнено цей несучий сигнал, то передавач випромінюватиме хвилі з частотою 800 000 коливань за секунду, причому амплітуда їх стала. Інформація ж (часто цілком некорисна, на кшталт того, яку марку автомобіля вам слід придбати) передається таким чином: коли хтось говорить у мікрофон, амплітуда несучого сигналу змінюється «в ногу» з коливаннями звуку, що приходить у мікрофон.
Візьмемо найпростіший з точки зору математики випадок, коли співачка бере бездоганну ноту з бездоганним синусоїдальним коливанням голосових зв'язок, причому виходить сигнал, сила якого змінюється, як це показано на фіг. 48.4. Зміни чутної частоти приймаються потім приймачем; ми позбуваємося несучої хвилі і дивимося просто на «обгортку», яка являє собою коливання голосових зв'язок, або звук голосу співачки. Гучномовець же створює коливання тієї самої частоти в повітрі, і в принципі слухач не може виявити різниці між справжнім голосом співачки і передачею, чутною по радіо. Насправді ж через деякі спотворення та інші найтонші ефекти можна все ж визначити, чуємо ми радіо чи «живий» голос співачки; в інших же відношеннях все відбувається так, як ми описали.
Ті самі результати можна отримати і іншим шляхом—за допомогою схем, подібних до фіг. 48.2. Зобразимо одну з хвиль у вигляді вектора довжиною А1 у комплексній площині, що обертається з кутовою швидкістю ω1. Другу хвилю зобразимо іншим вектором, довжина якого A2, а кутова швидкість обертання ω2. Якщо ці частоти точно рівні між собою, то ми отримаємо вектор, що обертається, довжина якого весь час стала. Так що інтенсивність у цьому випадку буде весь час сталою фіксованою величиною. Якщо, однак, частоти хоч трохи відрізняються одна від одної, то ці два вектори обертатимуться з різними швидкостями.
На фіг. 48.3 показано, як виглядає вся картина «з точки зору» вектора A1exp(iω1t). Ми бачимо, що вектор A2 повільно «відвертається» від вектора A1, так що амплітуда, яку отримуємо при додаванні цих векторів, спочатку велика, а потім, коли другий вектор зовсім «відвернеться» в інший бік, тобто коли кут між ними стане 180°, вона буде особливо малою, і т. д. Вектор крутиться, амплітуда суми векторів стає то більшою, то меншою, а інтенсивність пульсує. Ідея порівняно проста, і її можна реалізувати безліччю різних способів. Цей ефект дуже легко спостерігати експериментально. Можна встановити, наприклад, два гучномовці, кожен з яких з'єднаний зі своїм генератором коливань і може давати свій власний тон. Таким чином, ми приймаємо один сигнал від першого джерела, а інший сигнал від другого. Якщо частоти цих сигналів точно однакові, то в результаті в кожній точці простору вийде ефект певної сили. Але якщо генератори трохи розладнати, то ми почуємо деякі зміни інтенсивності. Що більше ми розладнуємо генератори, то швидшими будуть зміни сили звуку. Однак вуху стає важко стежити за змінами, швидкість яких перевищує 10 коливань за секунду або щось близько цього.Той самий ефект можна спостерігати і на осцилографі, який просто показує суму струмів двох генераторів. Якщо частота пульсацій порівняно мала, то ми просто бачимо, як на екрані перед нами проходять синусоїдальні хвилі, амплітуда яких пульсує, але якщо зробити пульсації швидшими, то ми побачимо щось схоже на те, що показано на фіг. 48.1. У міру збільшення різниці між частотами «вершини» зближуються все більше й більше. Якщо амплітуди не рівні одна одній, якщо ми один сигнал зробимо слабшим за інший, то утворюється хвиля, амплітуда якої, як і очікується, ніколи не стає рівною нулю. Все виходить так, як потрібно, незалежно від того, електрика це чи звук.
Але можливе й зворотне явище! У радіопередачі використовують так звану амплітудну модуляцію (АМ). Ось як це робиться. Радіопередавач збуджує електричні коливання дуже високої частоти. Для радіомовлення, наприклад, використовується частота 800 кгц. Якщо ввімкнено цей несучий сигнал, то передавач випромінюватиме хвилі з частотою 800 000 коливань за секунду, причому амплітуда їх стала. Інформація ж (часто цілком некорисна, на кшталт того, яку марку автомобіля вам слід придбати) передається таким чином: коли хтось говорить у мікрофон, амплітуда несучого сигналу змінюється «в ногу» з коливаннями звуку, що приходить у мікрофон.
Візьмемо найпростіший з точки зору математики випадок, коли співачка бере бездоганну ноту з бездоганним синусоїдальним коливанням голосових зв'язок, причому виходить сигнал, сила якого змінюється, як це показано на фіг. 48.4. Зміни чутної частоти приймаються потім приймачем; ми позбуваємося несучої хвилі і дивимося просто на «обгортку», яка являє собою коливання голосових зв'язок, або звук голосу співачки. Гучномовець же створює коливання тієї самої частоти в повітрі, і в принципі слухач не може виявити різниці між справжнім голосом співачки і передачею, чутною по радіо. Насправді ж через деякі спотворення та інші найтонші ефекти можна все ж визначити, чуємо ми радіо чи «живий» голос співачки; в інших же відношеннях все відбувається так, як ми описали.