Отражатели в ядерных реакторах конструируются, как правило, из того же материала, который служит в качестве основного замедлителя в их активных зонах.
До сих пор речь шла о гипотетическом отражателе бесконечной толщины. Но, разумеется, никому не придёт в голову оснащать активную зону реактора отражателем, скажем, двухметровой толщины ради сокращения её размеров на 5 -10 см. Здравомыслящий человек постарается вначале выяснить, как зависит dэ от толщины отражателя, а затем уже станет думать, стоит ли овчинка выделки.
Особенно важен ответ на вопрос об эффективной толщине отражателя для транспортных реакторов, где выигрыш в размере активной зоны на 20 см оборачивается уменьшением веса всей установки на десятки тонн.
То, что эффективность действия отражателя (которая оценивается величиной dэ) зависит от толщины отражателя (П0), очевидно. В самом деле, если активная зона лишена отражателя (П0 = 0), то δэ = 0; если же активная зона окружена отражателем бесконечной толщины, то нужно ожидать, что при отражателе такой толщины значение эффективной добавки будет иметь наибольшую величину (δэmax); при промежуточных значениях П0 должна существовать какая-то зависимость эффективной добавки от толщины отражателя из данного материала - δэ = f (П0).
Предположим, имеются две критические активные зоны одинакового состава - без отражателя и с отражателем конечной толщины П0.
В обоих случаях для среды активной зоны, а во втором случае - и для среды отражателя, можно записать волновое уравнение Гельмгольца, для которого по конкретным (критическим) размерам и диффузионным характеристикам сред можно составить граничные условия, затем решить эти уравнения, найти в обоих случаях величины геометрического параметра активных зон и критические размеры их без отражателя и с отражателем. Разница критических полуразмеров первой и второй активных зон и даст величину эффективной добавки δэ(По1) при конкретной толщине отражателя По1.
С некоторыми допущениями эта задача решается не только в численном, но и в общем аналитическом виде, давая возможность получить следующее выражение:
δэ(П0) = (Σtr0/Σtrаз) L0th(П0/L0), (9.2.3)
где: Σtrаз и Σtr0, см-1 - величины транспортных макросечений сред активной зоны и отражателя соответственно;
L0, см - длина диффузии в отражателе.
Прежде всего отметим, что величина эффективной добавки пропорциональна величине гиперболического тангенса от относительной (т.е. выраженной в длинах диффузии L0) толщины отражателя.
Напомним, что собой представляет функция гиперболического тангенса.
Самое простое её выражение - выражение через экспоненциальные функции того же аргумента:
th x = (ex - e-x) / (ex + e-x) (9.2.4)
Наглядное представление об этой функции даёт её график:
До сих пор речь шла о гипотетическом отражателе бесконечной толщины. Но, разумеется, никому не придёт в голову оснащать активную зону реактора отражателем, скажем, двухметровой толщины ради сокращения её размеров на 5 -10 см. Здравомыслящий человек постарается вначале выяснить, как зависит dэ от толщины отражателя, а затем уже станет думать, стоит ли овчинка выделки.
Особенно важен ответ на вопрос об эффективной толщине отражателя для транспортных реакторов, где выигрыш в размере активной зоны на 20 см оборачивается уменьшением веса всей установки на десятки тонн.
То, что эффективность действия отражателя (которая оценивается величиной dэ) зависит от толщины отражателя (П0), очевидно. В самом деле, если активная зона лишена отражателя (П0 = 0), то δэ = 0; если же активная зона окружена отражателем бесконечной толщины, то нужно ожидать, что при отражателе такой толщины значение эффективной добавки будет иметь наибольшую величину (δэmax); при промежуточных значениях П0 должна существовать какая-то зависимость эффективной добавки от толщины отражателя из данного материала - δэ = f (П0).
Предположим, имеются две критические активные зоны одинакового состава - без отражателя и с отражателем конечной толщины П0.
В обоих случаях для среды активной зоны, а во втором случае - и для среды отражателя, можно записать волновое уравнение Гельмгольца, для которого по конкретным (критическим) размерам и диффузионным характеристикам сред можно составить граничные условия, затем решить эти уравнения, найти в обоих случаях величины геометрического параметра активных зон и критические размеры их без отражателя и с отражателем. Разница критических полуразмеров первой и второй активных зон и даст величину эффективной добавки δэ(По1) при конкретной толщине отражателя По1.
С некоторыми допущениями эта задача решается не только в численном, но и в общем аналитическом виде, давая возможность получить следующее выражение:
δэ(П0) = (Σtr0/Σtrаз) L0th(П0/L0), (9.2.3)
где: Σtrаз и Σtr0, см-1 - величины транспортных макросечений сред активной зоны и отражателя соответственно;
L0, см - длина диффузии в отражателе.
Прежде всего отметим, что величина эффективной добавки пропорциональна величине гиперболического тангенса от относительной (т.е. выраженной в длинах диффузии L0) толщины отражателя.
Напомним, что собой представляет функция гиперболического тангенса.
Самое простое её выражение - выражение через экспоненциальные функции того же аргумента:
th x = (ex - e-x) / (ex + e-x) (9.2.4)
Наглядное представление об этой функции даёт её график:
Изображение
Как видим, гиперболический тангенс - функция монотонная и возрастающая; с ростом х она асимптотически устремляется к своему предельному значению - единице. Но заметим, что практически (с менее чем 4%-ной погрешностью) она приближается к своему пределу уже при x = 2 (th2 ≈ 0.964).
Теперь о зависимости δэ(П0). Понятно, что если построить график δэ по оси абсцисс в единицах длины диффузии в отражателе (т.е. в относительных единицах П0/L0), то этот график, по существу, повторит кривую гиперболического тангенса в ином масштабе по оси dэ. Асимптотическим пределом величины δэ при П0/L0 → ∞ будет значение:
Теперь о зависимости δэ(П0). Понятно, что если построить график δэ по оси абсцисс в единицах длины диффузии в отражателе (т.е. в относительных единицах П0/L0), то этот график, по существу, повторит кривую гиперболического тангенса в ином масштабе по оси dэ. Асимптотическим пределом величины δэ при П0/L0 → ∞ будет значение:
Изображение
Вид этого графика свидетельствует о том, что величина эффективной добавки на 96.4% достигает своего предела уже при толщине отражателя:
П0 ≈ 2L0.
Практический вопрос: стоит ли увеличивать толщину отражателя более этого значения, зная при этом, что уменьшение критических размеров активной зоны на 1 см достанется ценой увеличения массы самого отражателя приблизительно на 650 кг и массы корпуса ВВЭР - на 1300 кг?
Наверное - не стоит.
Эффективной толщиной отражателя из заданного материала называется его толщина, при которой отражатель по своим свойствам практически идентичен бесконечно толстому отражателю из этого материала.
Найденная величина:
Пэф ≈ 2L0 (9.2.6)
и есть эффективная толщина отражателя в диффузионном приближении.
В диффузионно-возрастном приближении эффективная толщина отражателя считается равной полутора длинам миграции нейтронов в активной зоне:
Пэф ≈ 1.5 Mаз = 1.5 √(Lаз2 + τаз ) (9.2.7)
Расчёты по обеим формулам дают приблизительно одинаковые результаты. Считая, что у разогретого ВВЭР длина диффузии в водном отражателе L0 ≈ 5.5 см, можно получить представление об эффективной толщине отражателя в реальных ВВЭР, равной приблизительно 10 ÷ 11 см. Такие же расчёты для реактора с графитовым отражателем дают значение эффективной толщины отражателя приблизительно 0.94 м (в реакторе РБМК-1000 фактическая толщина отражателя – 1 м).
П0 ≈ 2L0.
Практический вопрос: стоит ли увеличивать толщину отражателя более этого значения, зная при этом, что уменьшение критических размеров активной зоны на 1 см достанется ценой увеличения массы самого отражателя приблизительно на 650 кг и массы корпуса ВВЭР - на 1300 кг?
Наверное - не стоит.
Эффективной толщиной отражателя из заданного материала называется его толщина, при которой отражатель по своим свойствам практически идентичен бесконечно толстому отражателю из этого материала.
Найденная величина:
Пэф ≈ 2L0 (9.2.6)
и есть эффективная толщина отражателя в диффузионном приближении.
В диффузионно-возрастном приближении эффективная толщина отражателя считается равной полутора длинам миграции нейтронов в активной зоне:
Пэф ≈ 1.5 Mаз = 1.5 √(Lаз2 + τаз ) (9.2.7)
Расчёты по обеим формулам дают приблизительно одинаковые результаты. Считая, что у разогретого ВВЭР длина диффузии в водном отражателе L0 ≈ 5.5 см, можно получить представление об эффективной толщине отражателя в реальных ВВЭР, равной приблизительно 10 ÷ 11 см. Такие же расчёты для реактора с графитовым отражателем дают значение эффективной толщины отражателя приблизительно 0.94 м (в реакторе РБМК-1000 фактическая толщина отражателя – 1 м).