Відбивачі в ядерних реакторах конструюють, як правило, з того самого матеріалу, що править за основний сповільнювач в їхніх активних зонах.
Досі мова йшла про гіпотетичний відбивач нескінченної товщини. Але, звісно, нікому не спаде на думку споряджати активну зону реактора відбивачем, скажімо, двометрової товщини задля скорочення її розмірів на 5 -10 см. Розсудлива людина постарається спершу з'ясувати, як залежить dе від товщини відбивача, а вже потім думатиме, чи варта овчинка вичинки.
Особливо важлива відповідь на запитання про ефективну товщину відбивача для транспортних реакторів, де виграш у розмірі активної зони на 20 см обертається зменшенням ваги всієї установки на десятки тонн.
Те, що ефективність дії відбивача (яку оцінюють величиною dе) залежить від товщини відбивача (П0), очевидно. Справді, якщо активна зона позбавлена відбивача (П0 = 0), то δе = 0; якщо ж активну зону оточено відбивачем нескінченної товщини, то слід чекати, що за відбивача такої товщини значення ефективної добавки матиме найбільшу величину (δеmax); за проміжних значень П0 має існувати якась залежність ефективної добавки від товщини відбивача з даного матеріалу - δе = f (П0).
Припустимо, є дві критичні активні зони однакового складу - без відбивача і з відбивачем скінченної товщини П0.
В обох випадках для середовища активної зони, а в другому випадку - і для середовища відбивача, можна записати хвильове рівняння Гельмгольца, для якого за конкретними (критичними) розмірами і дифузійними характеристиками середовищ можна скласти граничні умови, потім розв'язати ці рівняння, знайти в обох випадках величини геометричного параметра активних зон і критичні розміри їх без відбивача і з відбивачем. Різниця критичних напіврозмірів першої й другої активних зон і дасть величину ефективної добавки δе(По1) за конкретної товщини відбивача По1.
З деякими припущеннями ця задача розв'язується не лише в числовому, а й у загальному аналітичному вигляді, даючи змогу отримати такий вираз:
δе(П0) = (Σtr0/Σtrаз) L0th(П0/L0), (9.2.3)
де: Σtrаз і Σtr0, см-1 - величини транспортних макроперерізів середовищ активної зони і відбивача відповідно;
L0, см - довжина дифузії у відбивачі.
Насамперед зазначимо, що величина ефективної добавки пропорційна величині гіперболічного тангенса від відносної (тобто вираженої в довжинах дифузії L0) товщини відбивача.
Нагадаємо, що являє собою функція гіперболічного тангенса.
Найпростіший її вираз - вираз через експоненціальні функції того самого аргументу:
th x = (ex - e-x) / (ex + e-x) (9.2.4)
Наочне уявлення про цю функцію дає її графік:
Досі мова йшла про гіпотетичний відбивач нескінченної товщини. Але, звісно, нікому не спаде на думку споряджати активну зону реактора відбивачем, скажімо, двометрової товщини задля скорочення її розмірів на 5 -10 см. Розсудлива людина постарається спершу з'ясувати, як залежить dе від товщини відбивача, а вже потім думатиме, чи варта овчинка вичинки.
Особливо важлива відповідь на запитання про ефективну товщину відбивача для транспортних реакторів, де виграш у розмірі активної зони на 20 см обертається зменшенням ваги всієї установки на десятки тонн.
Те, що ефективність дії відбивача (яку оцінюють величиною dе) залежить від товщини відбивача (П0), очевидно. Справді, якщо активна зона позбавлена відбивача (П0 = 0), то δе = 0; якщо ж активну зону оточено відбивачем нескінченної товщини, то слід чекати, що за відбивача такої товщини значення ефективної добавки матиме найбільшу величину (δеmax); за проміжних значень П0 має існувати якась залежність ефективної добавки від товщини відбивача з даного матеріалу - δе = f (П0).
Припустимо, є дві критичні активні зони однакового складу - без відбивача і з відбивачем скінченної товщини П0.
В обох випадках для середовища активної зони, а в другому випадку - і для середовища відбивача, можна записати хвильове рівняння Гельмгольца, для якого за конкретними (критичними) розмірами і дифузійними характеристиками середовищ можна скласти граничні умови, потім розв'язати ці рівняння, знайти в обох випадках величини геометричного параметра активних зон і критичні розміри їх без відбивача і з відбивачем. Різниця критичних напіврозмірів першої й другої активних зон і дасть величину ефективної добавки δе(По1) за конкретної товщини відбивача По1.
З деякими припущеннями ця задача розв'язується не лише в числовому, а й у загальному аналітичному вигляді, даючи змогу отримати такий вираз:
δе(П0) = (Σtr0/Σtrаз) L0th(П0/L0), (9.2.3)
де: Σtrаз і Σtr0, см-1 - величини транспортних макроперерізів середовищ активної зони і відбивача відповідно;
L0, см - довжина дифузії у відбивачі.
Насамперед зазначимо, що величина ефективної добавки пропорційна величині гіперболічного тангенса від відносної (тобто вираженої в довжинах дифузії L0) товщини відбивача.
Нагадаємо, що являє собою функція гіперболічного тангенса.
Найпростіший її вираз - вираз через експоненціальні функції того самого аргументу:
th x = (ex - e-x) / (ex + e-x) (9.2.4)
Наочне уявлення про цю функцію дає її графік:
Зображення
Як бачимо, гіперболічний тангенс - функція монотонна і зростаюча; зі зростанням х вона асимптотично прямує до своєї граничної величини - одиниці. Але зауважимо, що практично (з похибкою менш як 4%) вона наближається до своєї границі вже за x = 2 (th2 ≈ 0.964).
Тепер про залежність δе(П0). Зрозуміло, що якщо побудувати графік δе по осі абсцис в одиницях довжини дифузії у відбивачі (тобто у відносних одиницях П0/L0), то цей графік, по суті, повторить криву гіперболічного тангенса в іншому масштабі по осі dе. Асимптотичною границею величини δе за П0/L0 → ∞ буде значення:
Тепер про залежність δе(П0). Зрозуміло, що якщо побудувати графік δе по осі абсцис в одиницях довжини дифузії у відбивачі (тобто у відносних одиницях П0/L0), то цей графік, по суті, повторить криву гіперболічного тангенса в іншому масштабі по осі dе. Асимптотичною границею величини δе за П0/L0 → ∞ буде значення:
Зображення
Вигляд цього графіка свідчить, що величина ефективної добавки на 96.4% досягає своєї границі вже за товщини відбивача:
П0 ≈ 2L0.
Практичне запитання: чи варто збільшувати товщину відбивача понад це значення, знаючи при цьому, що зменшення критичних розмірів активної зони на 1 см дістанеться ціною збільшення маси самого відбивача приблизно на 650 кг і маси корпусу ВВЕР - на 1300 кг?
Напевно - не варто.
Ефективною товщиною відбивача із заданого матеріалу називається його товщина, за якої відбивач за своїми властивостями практично ідентичний нескінченно товстому відбивачу з цього матеріалу.
Знайдена величина:
Пеф ≈ 2L0 (9.2.6)
і є ефективна товщина відбивача в дифузійному наближенні.
У дифузійно-віковому наближенні ефективну товщину відбивача вважають рівною півтора довжини міграції нейтронів в активній зоні:
Пеф ≈ 1.5 Mаз = 1.5 √(Lаз2 + τаз ) (9.2.7)
Розрахунки за обома формулами дають приблизно однакові результати. Вважаючи, що в розігрітого ВВЕР довжина дифузії у водяному відбивачі L0 ≈ 5.5 см, можна дістати уявлення про ефективну товщину відбивача в реальних ВВЕР, що дорівнює приблизно 10 ÷ 11 см. Такі самі розрахунки для реактора з графітовим відбивачем дають значення ефективної товщини відбивача приблизно 0.94 м (у реакторі РБМК-1000 фактична товщина відбивача – 1 м).
П0 ≈ 2L0.
Практичне запитання: чи варто збільшувати товщину відбивача понад це значення, знаючи при цьому, що зменшення критичних розмірів активної зони на 1 см дістанеться ціною збільшення маси самого відбивача приблизно на 650 кг і маси корпусу ВВЕР - на 1300 кг?
Напевно - не варто.
Ефективною товщиною відбивача із заданого матеріалу називається його товщина, за якої відбивач за своїми властивостями практично ідентичний нескінченно товстому відбивачу з цього матеріалу.
Знайдена величина:
Пеф ≈ 2L0 (9.2.6)
і є ефективна товщина відбивача в дифузійному наближенні.
У дифузійно-віковому наближенні ефективну товщину відбивача вважають рівною півтора довжини міграції нейтронів в активній зоні:
Пеф ≈ 1.5 Mаз = 1.5 √(Lаз2 + τаз ) (9.2.7)
Розрахунки за обома формулами дають приблизно однакові результати. Вважаючи, що в розігрітого ВВЕР довжина дифузії у водяному відбивачі L0 ≈ 5.5 см, можна дістати уявлення про ефективну товщину відбивача в реальних ВВЕР, що дорівнює приблизно 10 ÷ 11 см. Такі самі розрахунки для реактора з графітовим відбивачем дають значення ефективної товщини відбивача приблизно 0.94 м (у реакторі РБМК-1000 фактична товщина відбивача – 1 м).