Скорость волн в волноводе

Та скорость волн, о которой мы пока говорили,— это фазовая скорость, т. е. скорость узлов волны; она есть функция частоты. Если подставить (24.17) в (24.18), то можно написать

Для частот выше граничной (для которых бегущая волна существует) ω_c/ω меньше единицы, v_фаз—действительное число, большее скорости света. Мы уже видели в гл. 48 (вып. 4), что фазовые скорости, большие скорости света, возможны, потому что это просто движутся узлы волн, а не энергия и не информация. Чтобы узнать, как быстро движутся сигналы, надо подсчитать быстроту всплесков или модуляций, вызываемых интерференцией волн одной частоты с одной или несколькими волнами слегка иных частот [см. гл. 48 (вып. 4)]. Скорость огибающей такой группы волн мы назвали волновой скоростью; это не ω/k, a dω/dk:

Дифференцируя (24.17) по ω и переворачивая, чтобы получить dω/dk, получаем

Это меньше скорости света.
 
Среднее геометрическое между v_фаз и v_гр в точности равно с — скорости света:

Это любопытно, ведь сходное соотношение мы встречали и в квантовой механике. У частицы с любой скоростью (даже у релятивистской) импульс p и энергия U связаны соотношением

а это очень похоже на (24.17). . . Интересно, не правда ли? Групповая скорость волн — это также скорость, с какой энергия передается по трубе. Если вам нужно найти поток энергии сквозь волновод, надо умножить плотность энергии на групповую скорость. Если среднее квадратичное электрическое поле равно Е₀, то средняя плотность электрической энергии равна ε₀E₀²/2. Кроме этого, часть энергии связана с магнитным полем. Мы не будем здесь это доказывать, но в любой полости или трубе магнитная и электрическая энергии равны между собой, так что полная плотность электромагнитной энергии равна ε₀E₀². А мощность dU/dt, передаваемая волноводом, поэтому равна

(Позже мы рассмотрим другой, более общий способ вычисления потока энергии.)