12.1.1. Используя один из простейших приёмов математической физики, величину эффективного коэффициента размножения нейтронов в реакторе можно представить как сумму двух слагаемых, каждое из которых словно бы отдельно ответственно за размножение мгновенных и запаздывающих нейтронов:
kэ = kэ - kэ βэ + kэβэ = kэ (1 - βэ) + kэβэ = kэм + kэз , (12.2)
где kэм = kэ ( 1 - βэ ) - произведение эффективного коэффициента размножения на долю выхода мгновенных нейтронов, называемое коэффициентом размножения на мгновенных нейтронах, а
kэз = kэ βэ - произведение эффективного коэффициента размножения на эффективную долю выхода запаздывающих нейтронов, называемое коэффициентом размножения на запаздывающих нейтронах.
Величина βэ - в обоих случаях - это суммарная эффективная доля выхода запаздывающих нейтронов всех групп (мы рассматриваем приближение с шестью группами запаздывающих нейтронов).
Аналогично понятию избыточного коэффициента размножения (δkэ = kэ -1) вводится понятие избыточного коэффициента размножения на мгновенных нейтронах, величина которого будет равна:
δkэм = kэм - 1 = kэ (1 - βэ) - 1 = kэ - 1 - kэβэ = δkэ - kэβэ ≈ ρ - βэ , (12.3)
так как при kэ ≈ 1 величина δkэ ≈ ρ , а kэβэ ≈ βэ .
Обособленное рассмотрение размножения на мгновенных нейтронах даёт возможность первое слагаемое правой части (12.1) записать сразу, без вывода, используя известное нам элементарное уравнение кинетики реактора, в котором следует произвести лишь формальную замену: вместо δkэ - подставить величину δkэм ≈ ρ - βэ , а вместо среднего времени жизни поколения нейтронов - подставить l - время жизни мгновенных нейтронов, то есть
dnм/dt = [(ρ - βэ) / l] n(t) (12.4)
Примечание. Из (12.3), строго говоря, следует, что
δkэм = δkэ - kэβэ = kэ [(δkэ / kэ) - βэ] = kэ (ρ - βэ) ,
но, как уже неоднократно отмечалось, величина kэ в практике управления реальными энергетическими реакторами мало когда отличается от единицы более чем на 0.002, поэтому величина kэ без заметного ущерба для точности может быть принята равной единице
Второе слагаемое в правой части (12.1.1) - скорость изменения плотности тепловых нейтронов, полученных в результате замедления запаздывающих нейтронов dnз /dt. Эта величина находится из простых рассуждений.
Предположим, что реальная концентрация ядер-предшественников запаздывающих нейтронов i-ой группы в рассматриваемый момент времени равна Ci. Это означает, что в единичном объёме активной зоны будет происходить β-распад этих предшественников со скоростью λiCi ( где λi - постоянная β-распада предшественников i-ой группы. Это, в свою очередь, означает, что в этом единичном объёме ежесекундно будут образовываться λiCi ядер-излучателей запаздывающих нейтронов этой группы, а, поскольку каждое ядро-излучатель практически без запаздывания испускает один запаздывающий нейтрон, величина λiCi является ещё и мгновенным значением скорости образования быстрых запаздывающих нейтронов i-ой группы.
Если бы эти быстрые запаздывающие нейтроны со стопроцентной достоверностью избегали утечки и резонансного захвата при замедлении, то в каждом единичном объёме активной зоны в среднем из них рождалось бы столько же тепловых нейтронов за 1 с, но если учесть, что из всех их только (pз φ)-ая часть остаётся в активной зоне, то фактически в каждом единичном объёме активной зоны ежесекундно будет рождаться λiCi pз φ тепловых нейтронов, получаемых из запаздывающих нейтронов i-ой группы. Общая же скорость генерации тепловых нейтронов из запаздывающих нейтронов всех шести групп будет равна
kэ = kэ - kэ βэ + kэβэ = kэ (1 - βэ) + kэβэ = kэм + kэз , (12.2)
где kэм = kэ ( 1 - βэ ) - произведение эффективного коэффициента размножения на долю выхода мгновенных нейтронов, называемое коэффициентом размножения на мгновенных нейтронах, а
kэз = kэ βэ - произведение эффективного коэффициента размножения на эффективную долю выхода запаздывающих нейтронов, называемое коэффициентом размножения на запаздывающих нейтронах.
Величина βэ - в обоих случаях - это суммарная эффективная доля выхода запаздывающих нейтронов всех групп (мы рассматриваем приближение с шестью группами запаздывающих нейтронов).
Аналогично понятию избыточного коэффициента размножения (δkэ = kэ -1) вводится понятие избыточного коэффициента размножения на мгновенных нейтронах, величина которого будет равна:
δkэм = kэм - 1 = kэ (1 - βэ) - 1 = kэ - 1 - kэβэ = δkэ - kэβэ ≈ ρ - βэ , (12.3)
так как при kэ ≈ 1 величина δkэ ≈ ρ , а kэβэ ≈ βэ .
Обособленное рассмотрение размножения на мгновенных нейтронах даёт возможность первое слагаемое правой части (12.1) записать сразу, без вывода, используя известное нам элементарное уравнение кинетики реактора, в котором следует произвести лишь формальную замену: вместо δkэ - подставить величину δkэм ≈ ρ - βэ , а вместо среднего времени жизни поколения нейтронов - подставить l - время жизни мгновенных нейтронов, то есть
dnм/dt = [(ρ - βэ) / l] n(t) (12.4)
Примечание. Из (12.3), строго говоря, следует, что
δkэм = δkэ - kэβэ = kэ [(δkэ / kэ) - βэ] = kэ (ρ - βэ) ,
но, как уже неоднократно отмечалось, величина kэ в практике управления реальными энергетическими реакторами мало когда отличается от единицы более чем на 0.002, поэтому величина kэ без заметного ущерба для точности может быть принята равной единице
Второе слагаемое в правой части (12.1.1) - скорость изменения плотности тепловых нейтронов, полученных в результате замедления запаздывающих нейтронов dnз /dt. Эта величина находится из простых рассуждений.
Предположим, что реальная концентрация ядер-предшественников запаздывающих нейтронов i-ой группы в рассматриваемый момент времени равна Ci. Это означает, что в единичном объёме активной зоны будет происходить β-распад этих предшественников со скоростью λiCi ( где λi - постоянная β-распада предшественников i-ой группы. Это, в свою очередь, означает, что в этом единичном объёме ежесекундно будут образовываться λiCi ядер-излучателей запаздывающих нейтронов этой группы, а, поскольку каждое ядро-излучатель практически без запаздывания испускает один запаздывающий нейтрон, величина λiCi является ещё и мгновенным значением скорости образования быстрых запаздывающих нейтронов i-ой группы.
Если бы эти быстрые запаздывающие нейтроны со стопроцентной достоверностью избегали утечки и резонансного захвата при замедлении, то в каждом единичном объёме активной зоны в среднем из них рождалось бы столько же тепловых нейтронов за 1 с, но если учесть, что из всех их только (pз φ)-ая часть остаётся в активной зоне, то фактически в каждом единичном объёме активной зоны ежесекундно будет рождаться λiCi pз φ тепловых нейтронов, получаемых из запаздывающих нейтронов i-ой группы. Общая же скорость генерации тепловых нейтронов из запаздывающих нейтронов всех шести групп будет равна
Изображение
где обозначенная малым символом (ci) величина ci = Ci pзφ , (12.6)
называется эффективной концентрацией предшественников i-ой группы. Эта величина, введенная в обиход из соображений чистого удобства (компактности записи), имеет смысл некоторой условной эквивалентной концентрации тех же предшественников, из которых ежесекундно получалось бы реальное количество тепловых запаздывающих нейтронов i-ой группы в случае, когда утечка и резонансный захват замедляющихся нейтронов в реакторе отсутствовали бы.
Таким образом, с учётом выражений (12.5) и (12.4) исходное уравнение для скорости изменения плотности нейтронов в реакторе (12.1) приобретает вид:
называется эффективной концентрацией предшественников i-ой группы. Эта величина, введенная в обиход из соображений чистого удобства (компактности записи), имеет смысл некоторой условной эквивалентной концентрации тех же предшественников, из которых ежесекундно получалось бы реальное количество тепловых запаздывающих нейтронов i-ой группы в случае, когда утечка и резонансный захват замедляющихся нейтронов в реакторе отсутствовали бы.
Таким образом, с учётом выражений (12.5) и (12.4) исходное уравнение для скорости изменения плотности нейтронов в реакторе (12.1) приобретает вид:
Изображение
Это уравнение является неопределённым, так как, кроме основной неизвестной функции n(t) оно содержит ещё шесть неизвестных функций - временных зависимостей эффективных концентраций предшественников запаздывающих нейтронов всех шести групп. Поэтому для того, чтобы получить конкретное решение, необходимо замкнуть систему, то есть присоединить к (12.7) ещё, как минимум, шесть дифференциальных уравнений, в которых функции ci(t) фигурировали бы независимым от уравнения (12.7) образом.