12.1.1. Використовуючи один із найпростіших прийомів математичної фізики, величину ефективного коефіцієнта розмноження нейтронів у реакторі можна подати як суму двох доданків, кожен з яких ніби окремо відповідає за розмноження миттєвих і запізнілих нейтронів:
kе = kе - kе βе + kеβе = kе (1 - βе) + kеβе = kем + kез , (12.2)
де kем = kе ( 1 - βе ) - добуток ефективного коефіцієнта розмноження на частку виходу миттєвих нейтронів, що називається коефіцієнтом розмноження на миттєвих нейтронах, а
kез = kе βе - добуток ефективного коефіцієнта розмноження на ефективну частку виходу запізнілих нейтронів, що називається коефіцієнтом розмноження на запізнілих нейтронах.
Величина βе - в обох випадках - це сумарна ефективна частка виходу запізнілих нейтронів усіх груп (ми розглядаємо наближення з шістьма групами запізнілих нейтронів).
Аналогічно поняттю надлишкового коефіцієнта розмноження (δkе = kе -1) вводиться поняття надлишкового коефіцієнта розмноження на миттєвих нейтронах, величина якого дорівнюватиме:
δkем = kем - 1 = kе (1 - βе) - 1 = kе - 1 - kеβе = δkе - kеβе ≈ ρ - βе , (12.3)
оскільки при kе ≈ 1 величина δkе ≈ ρ , а kеβе ≈ βе .
Окремий розгляд розмноження на миттєвих нейтронах дає змогу перший доданок правої частини (12.1) записати одразу, без виведення, використавши відоме нам елементарне рівняння кінетики реактора, у якому слід зробити лише формальну заміну: замість δkе - підставити величину δkем ≈ ρ - βе , а замість середнього часу життя покоління нейтронів - підставити l - час життя миттєвих нейтронів, тобто
dnм/dt = [(ρ - βе) / l] n(t) (12.4)
Примітка. З (12.3), строго кажучи, випливає, що
δkем = δkе - kеβе = kе [(δkе / kе) - βе] = kе (ρ - βе) ,
але, як уже неодноразово зазначалося, величина kе у практиці керування реальними енергетичними реакторами рідко коли відрізняється від одиниці більш ніж на 0.002, тому величину kе без помітної шкоди для точності можна прийняти рівною одиниці
Другий доданок у правій частині (12.1.1) - швидкість зміни густини теплових нейтронів, отриманих у результаті сповільнення запізнілих нейтронів dnз /dt. Ця величина знаходиться з простих міркувань.
Припустімо, що реальна концентрація ядер-попередників запізнілих нейтронів i-ї групи в розглядуваний момент часу дорівнює Ci. Це означає, що в одиничному об'ємі активної зони відбуватиметься β-розпад цих попередників зі швидкістю λiCi ( де λi - стала β-розпаду попередників i-ї групи. Це, у свою чергу, означає, що в цьому одиничному об'ємі щосекунди утворюватимуться λiCi ядер-випромінювачів запізнілих нейтронів цієї групи, а оскільки кожне ядро-випромінювач практично без запізнення випускає один запізнілий нейтрон, величина λiCi є ще й миттєвим значенням швидкості утворення швидких запізнілих нейтронів i-ї групи.
Якби ці швидкі запізнілі нейтрони зі стовідсотковою достовірністю уникали витоку і резонансного захоплення під час сповільнення, то в кожному одиничному об'ємі активної зони в середньому з них народжувалося б стільки ж теплових нейтронів за 1 с, але якщо врахувати, що з усіх них лише (pз φ)-а частина залишається в активній зоні, то фактично в кожному одиничному об'ємі активної зони щосекунди народжуватиметься λiCi pз φ теплових нейтронів, одержуваних із запізнілих нейтронів i-ї групи. Загальна ж швидкість генерації теплових нейтронів із запізнілих нейтронів усіх шести груп дорівнюватиме
kе = kе - kе βе + kеβе = kе (1 - βе) + kеβе = kем + kез , (12.2)
де kем = kе ( 1 - βе ) - добуток ефективного коефіцієнта розмноження на частку виходу миттєвих нейтронів, що називається коефіцієнтом розмноження на миттєвих нейтронах, а
kез = kе βе - добуток ефективного коефіцієнта розмноження на ефективну частку виходу запізнілих нейтронів, що називається коефіцієнтом розмноження на запізнілих нейтронах.
Величина βе - в обох випадках - це сумарна ефективна частка виходу запізнілих нейтронів усіх груп (ми розглядаємо наближення з шістьма групами запізнілих нейтронів).
Аналогічно поняттю надлишкового коефіцієнта розмноження (δkе = kе -1) вводиться поняття надлишкового коефіцієнта розмноження на миттєвих нейтронах, величина якого дорівнюватиме:
δkем = kем - 1 = kе (1 - βе) - 1 = kе - 1 - kеβе = δkе - kеβе ≈ ρ - βе , (12.3)
оскільки при kе ≈ 1 величина δkе ≈ ρ , а kеβе ≈ βе .
Окремий розгляд розмноження на миттєвих нейтронах дає змогу перший доданок правої частини (12.1) записати одразу, без виведення, використавши відоме нам елементарне рівняння кінетики реактора, у якому слід зробити лише формальну заміну: замість δkе - підставити величину δkем ≈ ρ - βе , а замість середнього часу життя покоління нейтронів - підставити l - час життя миттєвих нейтронів, тобто
dnм/dt = [(ρ - βе) / l] n(t) (12.4)
Примітка. З (12.3), строго кажучи, випливає, що
δkем = δkе - kеβе = kе [(δkе / kе) - βе] = kе (ρ - βе) ,
але, як уже неодноразово зазначалося, величина kе у практиці керування реальними енергетичними реакторами рідко коли відрізняється від одиниці більш ніж на 0.002, тому величину kе без помітної шкоди для точності можна прийняти рівною одиниці
Другий доданок у правій частині (12.1.1) - швидкість зміни густини теплових нейтронів, отриманих у результаті сповільнення запізнілих нейтронів dnз /dt. Ця величина знаходиться з простих міркувань.
Припустімо, що реальна концентрація ядер-попередників запізнілих нейтронів i-ї групи в розглядуваний момент часу дорівнює Ci. Це означає, що в одиничному об'ємі активної зони відбуватиметься β-розпад цих попередників зі швидкістю λiCi ( де λi - стала β-розпаду попередників i-ї групи. Це, у свою чергу, означає, що в цьому одиничному об'ємі щосекунди утворюватимуться λiCi ядер-випромінювачів запізнілих нейтронів цієї групи, а оскільки кожне ядро-випромінювач практично без запізнення випускає один запізнілий нейтрон, величина λiCi є ще й миттєвим значенням швидкості утворення швидких запізнілих нейтронів i-ї групи.
Якби ці швидкі запізнілі нейтрони зі стовідсотковою достовірністю уникали витоку і резонансного захоплення під час сповільнення, то в кожному одиничному об'ємі активної зони в середньому з них народжувалося б стільки ж теплових нейтронів за 1 с, але якщо врахувати, що з усіх них лише (pз φ)-а частина залишається в активній зоні, то фактично в кожному одиничному об'ємі активної зони щосекунди народжуватиметься λiCi pз φ теплових нейтронів, одержуваних із запізнілих нейтронів i-ї групи. Загальна ж швидкість генерації теплових нейтронів із запізнілих нейтронів усіх шести груп дорівнюватиме
Зображення
де позначена малим символом (ci) величина ci = Ci pзφ , (12.6)
називається ефективною концентрацією попередників i-ї групи. Ця величина, введена в ужиток із міркувань суто зручності (компактності запису), має зміст деякої умовної еквівалентної концентрації тих самих попередників, з яких щосекунди одержувалася б реальна кількість теплових запізнілих нейтронів i-ї групи в разі, коли витік і резонансне захоплення нейтронів, що сповільнюються, у реакторі були б відсутні.
Таким чином, з урахуванням виразів (12.5) і (12.4) початкове рівняння для швидкості зміни густини нейтронів у реакторі (12.1) набирає вигляду:
називається ефективною концентрацією попередників i-ї групи. Ця величина, введена в ужиток із міркувань суто зручності (компактності запису), має зміст деякої умовної еквівалентної концентрації тих самих попередників, з яких щосекунди одержувалася б реальна кількість теплових запізнілих нейтронів i-ї групи в разі, коли витік і резонансне захоплення нейтронів, що сповільнюються, у реакторі були б відсутні.
Таким чином, з урахуванням виразів (12.5) і (12.4) початкове рівняння для швидкості зміни густини нейтронів у реакторі (12.1) набирає вигляду:
Зображення
Це рівняння є невизначеним, оскільки, крім основної невідомої функції n(t), воно містить ще шість невідомих функцій - часових залежностей ефективних концентрацій попередників запізнілих нейтронів усіх шести груп. Тому для того, щоб отримати конкретний розв'язок, необхідно замкнути систему, тобто приєднати до (12.7) ще, як мінімум, шість диференціальних рівнянь, у яких функції ci(t) фігурували б незалежно від рівняння (12.7).