а ) Рівняння зворотних годин як характеристичне рівняння системи диференціальних рівнянь кінетики реактора. Розгорнутий вигляд рівняння зворотних годин:
Зображення
свідчить про те, що це - алгебраїчне рівняння сьомого степеня відносно Т. Щоб зрозуміти це, досить подумки уявити, що вийде в чисельнику виразу правої частини рівняння після зведення його до спільного знаменника: сьомий степінь рівняння стає очевидним. А це означає, що рівняння зворотних годин у найзагальнішому випадку повинне мати сім коренів.
У розділі математики “Розв'язання диференціальних рівнянь” говориться, що вигляд, величини і знаки коренів характеристичного рівняння визначають вигляд розв'язку диференціальних рівнянь. Зокрема, якщо характеристичне рівняння має дійсні корені, то розв'язок диференціального рівняння (або системи диференціальних рівнянь) має експоненціальний вигляд. Це спонукає нас узятися за аналіз коренів рівняння зворотних годин.
Але спочатку слід уточнити одну немаловажну деталь: шукаючи від самого початку саме експоненціальний розв'язок для диференціального рівняння зміни густини нейтронів у вигляді однієї експоненти - n(t) = n0 exp (t / T), - ми мимоволі зробили невеликий прорахунок, який слід виправити по ходу справи. Якщо рівняння зворотних годин має сім коренів, то загальний розв'язок системи диференціальних рівнянь кінетики реактора буде не однією експонентою, а становитиме собою суму семи експонент, показники яких визначаються величинами цих семи коренів рівняння зворотних годин: n(t) = A0exp(t/T0) + A1exp(t/T1) + A2exp(t/T2) + A3exp(t/T3) + A4exp(t/T4) + A5exp(t/T5) + A6exp(t/T6)
або в стислішій формі:
У розділі математики “Розв'язання диференціальних рівнянь” говориться, що вигляд, величини і знаки коренів характеристичного рівняння визначають вигляд розв'язку диференціальних рівнянь. Зокрема, якщо характеристичне рівняння має дійсні корені, то розв'язок диференціального рівняння (або системи диференціальних рівнянь) має експоненціальний вигляд. Це спонукає нас узятися за аналіз коренів рівняння зворотних годин.
Але спочатку слід уточнити одну немаловажну деталь: шукаючи від самого початку саме експоненціальний розв'язок для диференціального рівняння зміни густини нейтронів у вигляді однієї експоненти - n(t) = n0 exp (t / T), - ми мимоволі зробили невеликий прорахунок, який слід виправити по ходу справи. Якщо рівняння зворотних годин має сім коренів, то загальний розв'язок системи диференціальних рівнянь кінетики реактора буде не однією експонентою, а становитиме собою суму семи експонент, показники яких визначаються величинами цих семи коренів рівняння зворотних годин: n(t) = A0exp(t/T0) + A1exp(t/T1) + A2exp(t/T2) + A3exp(t/T3) + A4exp(t/T4) + A5exp(t/T5) + A6exp(t/T6)
або в стислішій формі:
Зображення
де T0, T1, T2, ... , T6 - значення семи коренів рівняння зворотних годин, а A0, A1, A2, ... , A6 - величини сталих інтегрування, які знаходять шляхом підстановки в загальний розв'язок (12.19) конкретних початкових умов.
Знаки коренів рівняння зворотних годин найнаочніше видно, якщо показати його розв'язок у графічному вигляді (див. рис.12.3).
Знаки коренів рівняння зворотних годин найнаочніше видно, якщо показати його розв'язок у графічному вигляді (див. рис.12.3).
Зображення
Рис. 12.3. Графік залежності коренів рівняння зворотних годин при додатних і від'ємних реактивностях різної величини.
На цьому графіку показано розв'язок рівняння зворотних годин залежно не від величини самого періоду T, а від оберненої йому величини 1/T: так зручніше виконувати розв'язання рівняння аналітично.
Як бачимо, функція ρ = f (1/T) має шість точок розриву (другого роду), і саме завдяки цій розривності окремі корені рівняння зворотних годин відображаються на графіку досить наочно: області зміни кожного із семи коренів по осі 1/T лежать між відповідними точками розриву; наприклад, нульовий зворотний корінь 1/T0 лежить правіше від першої точки розриву (- λ1), перший зворотний корінь 1/T1 - між першою і другою точками розриву (-λ1 і -λ2), другий зворотний корінь 1/T2 - між другою і третьою точками розриву (-λ2 і -λ3 ) і так далі; значення останнього, сьомого, зворотного кореня 1/T7 - розташовуються лівіше від останньої, шостої, точки розриву (-λ6).
При цьому знаки всіх семи коренів рівняння зворотних годин визначаються найнаочнішим чином: у точках перетину відповідних ділянок графіка з горизонтальною прямою, що відтинає на осі ординат розглядуване значення реактивності ρ.
З графіка видно, що, якщо величина реактивності, яку повідомлено реактору, додатна, то нульовий зворотний корінь 1/T0 , а, отже, і сам корінь T0, - додатний (бо розташований у правій півплощині, правіше від осі О - ρ). Решта шість коренів (T1 ÷ T6) рівняння зворотних годин - від'ємні (лежать у лівій півплощині). Якщо ж величина реактивності, яку повідомлено реактору, від'ємна, то всі сім коренів рівняння зворотних годин від'ємні (лежать у лівій, від'ємній, півплощині).Що стосується величин самих коренів, то вони, як випливає з графіка, визначаються лише величиною реактивності ρ, яку повідомлено реактору.
Тепер про знаки сталих інтегрування (A0 ÷ A6). Тут не наводиться повне (і дуже громіздке) аналітичне виведення загального виразу для будь-якої зі сталих інтегрування, який має вигляд:
На цьому графіку показано розв'язок рівняння зворотних годин залежно не від величини самого періоду T, а від оберненої йому величини 1/T: так зручніше виконувати розв'язання рівняння аналітично.
Як бачимо, функція ρ = f (1/T) має шість точок розриву (другого роду), і саме завдяки цій розривності окремі корені рівняння зворотних годин відображаються на графіку досить наочно: області зміни кожного із семи коренів по осі 1/T лежать між відповідними точками розриву; наприклад, нульовий зворотний корінь 1/T0 лежить правіше від першої точки розриву (- λ1), перший зворотний корінь 1/T1 - між першою і другою точками розриву (-λ1 і -λ2), другий зворотний корінь 1/T2 - між другою і третьою точками розриву (-λ2 і -λ3 ) і так далі; значення останнього, сьомого, зворотного кореня 1/T7 - розташовуються лівіше від останньої, шостої, точки розриву (-λ6).
При цьому знаки всіх семи коренів рівняння зворотних годин визначаються найнаочнішим чином: у точках перетину відповідних ділянок графіка з горизонтальною прямою, що відтинає на осі ординат розглядуване значення реактивності ρ.
З графіка видно, що, якщо величина реактивності, яку повідомлено реактору, додатна, то нульовий зворотний корінь 1/T0 , а, отже, і сам корінь T0, - додатний (бо розташований у правій півплощині, правіше від осі О - ρ). Решта шість коренів (T1 ÷ T6) рівняння зворотних годин - від'ємні (лежать у лівій півплощині). Якщо ж величина реактивності, яку повідомлено реактору, від'ємна, то всі сім коренів рівняння зворотних годин від'ємні (лежать у лівій, від'ємній, півплощині).Що стосується величин самих коренів, то вони, як випливає з графіка, визначаються лише величиною реактивності ρ, яку повідомлено реактору.
Тепер про знаки сталих інтегрування (A0 ÷ A6). Тут не наводиться повне (і дуже громіздке) аналітичне виведення загального виразу для будь-якої зі сталих інтегрування, який має вигляд:
Зображення
Квадрат виразу в дужках під знаком суми, незалежно від знака кореня Ti , завжди має додатний знак, і, оскільки всі решта величин знаменника додатні, то весь знаменник (12.20) - завжди додатний. А раз так, то знак сталої інтегрування Ai завжди визначається знаком добутку ρTi у чисельнику правої частини цього виразу. Тобто, якщо нульовий корінь T0 при ρ > 0, як говорилося вище, додатний (T0 > 0), то добуток ρT0 > 0, а, отже, A0 > 0. При від'ємній же величині реактивності (ρ < 0) добуток від'ємного нульового кореня T0 на від'ємну величину реактивності ρ дає додатну величину добутку ρT0, і, отже, величина нульової сталої інтегрування матиме додатний знак. Провівши такий мікроаналіз з усіма величинами сталих інтегрування, можна дійти загального висновку:
при ρ>0: T0 > 0 і A0 > 0, а решта коренів (T1÷T6)<0 і (A1÷A6) < 0 (12.21)
при ρ<0: усі 7 коренів (T0÷T6)<0, а сталі інтегрування (A0÷A6)>0 (12.22)
б) Самостійне практичне значення розв'язку рівняння зворотних годин.
Аналіз знаків коренів рівняння зворотних годин і сталих інтегрування безумовно важливий, оскільки він дає змогу виявити якісну структуру і дати фізичне тлумачення характеру перехідних процесів при повідомленні реактору реактивності того чи іншого знака.
Але значення рівняння зворотних годин не вичерпується лише цим. Забігаючи трохи наперед, зауважимо, що із семи коренів рівняння зворотних годин старший корінь T0 (старший - у математичному розумінні цього слова, тобто - найбільший за величиною) має просте фізичне тлумачення: це - той самий усталений період, що визначає “суто експоненціальну” зміну густини нейтронів у реакторі в розвиненій стадії перехідного процесу n(t). (Чому це так, стане ясно трохи згодом).
Цю величину усталеного періоду, як уже говорилося, легко виміряти практично за допомогою найзвичайнішого секундоміра. Разом із тим, величина усталеного періоду (T0) для конкретного реактора у розглядуваний момент кампанії визначається лише величиною реактивності ρ, повідомленої реактору, отже, рівняння зворотних годин для конкретного реактора (з конкретною величиною βе) встановлює жорсткий однозначний взаємозв'язок величин реактивності ρ і усталеного періоду T0 (або ρ - з величиною усталеного періоду подвоєння потужності реактора T2, яка, як ми знаємо, пропорційна величині усталеного періоду T0).
А це означає, що за величиною виміряного усталеного періоду подвоєння потужності можна знаходити величину реактивності, повідомленої реактору, і, навпаки, - за величиною реактивності, повідомленої реактору, можна передбачати, з яким усталеним періодом подвоєння відбуватиметься усталений розгін (або спад) потужності ядерного реактора. Це, погодьтеся, практично дуже важливо для оператора реакторної установки. Цей взаємозв'язок можна занести в програму комп'ютера, можна виразити у формі таблиці або у формі графіка.
при ρ>0: T0 > 0 і A0 > 0, а решта коренів (T1÷T6)<0 і (A1÷A6) < 0 (12.21)
при ρ<0: усі 7 коренів (T0÷T6)<0, а сталі інтегрування (A0÷A6)>0 (12.22)
б) Самостійне практичне значення розв'язку рівняння зворотних годин.
Аналіз знаків коренів рівняння зворотних годин і сталих інтегрування безумовно важливий, оскільки він дає змогу виявити якісну структуру і дати фізичне тлумачення характеру перехідних процесів при повідомленні реактору реактивності того чи іншого знака.
Але значення рівняння зворотних годин не вичерпується лише цим. Забігаючи трохи наперед, зауважимо, що із семи коренів рівняння зворотних годин старший корінь T0 (старший - у математичному розумінні цього слова, тобто - найбільший за величиною) має просте фізичне тлумачення: це - той самий усталений період, що визначає “суто експоненціальну” зміну густини нейтронів у реакторі в розвиненій стадії перехідного процесу n(t). (Чому це так, стане ясно трохи згодом).
Цю величину усталеного періоду, як уже говорилося, легко виміряти практично за допомогою найзвичайнішого секундоміра. Разом із тим, величина усталеного періоду (T0) для конкретного реактора у розглядуваний момент кампанії визначається лише величиною реактивності ρ, повідомленої реактору, отже, рівняння зворотних годин для конкретного реактора (з конкретною величиною βе) встановлює жорсткий однозначний взаємозв'язок величин реактивності ρ і усталеного періоду T0 (або ρ - з величиною усталеного періоду подвоєння потужності реактора T2, яка, як ми знаємо, пропорційна величині усталеного періоду T0).
А це означає, що за величиною виміряного усталеного періоду подвоєння потужності можна знаходити величину реактивності, повідомленої реактору, і, навпаки, - за величиною реактивності, повідомленої реактору, можна передбачати, з яким усталеним періодом подвоєння відбуватиметься усталений розгін (або спад) потужності ядерного реактора. Це, погодьтеся, практично дуже важливо для оператора реакторної установки. Цей взаємозв'язок можна занести в програму комп'ютера, можна виразити у формі таблиці або у формі графіка.
Зображення
Рис. 12.2. Дві наочні форми взаємозв'язку реактивності реактора ρ і усталеного періоду подвоєння потужності реактора T2 , що випливають з розв'язку рівняння зворотних годин.
Користуючись наведеними таблицею або графіком, оператор має змогу швидко оцінити величину реактивності реактора за виміряним періодом подвоєння потужності або передбачити величину усталеного періоду розгону реактора за величиною реактивності, яку він збирається повідомити реактору.
Користуючись наведеними таблицею або графіком, оператор має змогу швидко оцінити величину реактивності реактора за виміряним періодом подвоєння потужності або передбачити величину усталеного періоду розгону реактора за величиною реактивності, яку він збирається повідомити реактору.