Главная >> Фейнмановские лекции по физике >> Том 7 >> Глава 41. Течение «мокрой» воды

Вязкость

В предыдущей главе мы говорили о поведении воды,   пренебрегая  при  этом   эффектами вязкости. Теперь же мне хотелось бы обсудить, как вязкость влияет на течение жидкости. Рассмотрим реальное поведение жидкости. Я опишу  качественно, как ведет себя жидкость в самых разных условиях, так чтобы вы получше прочувствовали эту  науку. И  хотя  вы  увидите сложные  уравнения  и  услышите  о трудных вещах,   наша  цель совсем не в том, чтобы изучить все тонкости. Цель этой главы скорее «общеобразовательная»,  просто я хочу  дать вам  некоторое   понятие о  том,  как  устроен мир.  Однако здесь все же есть один пункт, который стоит того, чтобы его выучить: полезно знать простое  определение   вязкости. С   него мы и начнем. Все же остальное предназначено для вашего удовольствия.
 
В предыдущей главе мы нашли, что законы движения жидкости  содержатся  в  уравнении

В нашем приближении «сухой» воды мы отбрасывали последнее слагаемое, так что всеми эффектами вязкости мы пренебрегали. Кроме того, мы иногда делали еще дополнительное приближение, считая жидкость несжимаемой, и при этом получали дополнительное уравнение:

Это приближение часто оказывается вполне приличным, особенно когда скорость потока много меньше скорости звука. Но в реальных жидкостях мы почти никогда не можем пренебречь внутренним трением, называемым нами вязкостью; большинство интересных вещей в поведении жидкости так или иначе связано именно с этим свойством. Так, мы узнали, что циркуляция «сухой» воды никогда не изменяется: если ее не было вначале, то она никогда и не появится. Но в то же время мы повседневно сталкиваемся с циркуляцией в жидкости. Так что нашу теорию надо подправить.
 
Начнем с важного экспериментального факта. Когда мы занимались потоком «сухой» воды, обтекающей какой-то предмет или текущей мимо него, т. е. так называемым «потенциальным потоком», у нас не было причин запретить воде иметь составляющую скорости, тангенциальную к поверхности предмета; только нормальная компонента должна была быть равна нулю. Мы не принимали во внимание возможность возникновения сил сдвига между жидкостью и твердым телом. А вот оказывается, хотя это далеко и не очевидно, что во всех случаях, где это было проверено экспериментально, скорость жидкости на поверхности твердого тела в точности равна нулю. Вы замечали, конечно, что лопасти вентилятора собирают на себя тонкий слой пыли, и это несмотря на то, что они вращаются в воздухе. Тот же эффект можно наблюдать даже в больших аэродинамических трубах. Почему же пыль не сдувается воздухом? Несмотря на то что лопасти вентилятора быстро вращаются в воздухе, скорость воздуха относительно них, измеренная непосредственно на их поверхности, равна нулю, так что поток воздуха не возмущает даже мельчайших пылинок. Мы должны модифицировать теорию так, чтобы она согласовалась с тем экспериментальным фактом, что во всех обычных жидкостях молекулы, находящиеся рядом с поверхностью, имеют нулевую  скорость (относительно поверхности).

Сначала мы характеризовали жидкость так, что если приложить к ней напряжение сдвига, то, сколь бы мало оно ни было, жидкость «поддается» и течет. В статическом случае никаких напряжений сдвига нет. Однако, когда равновесия еще нет, в момент, когда вы давите на жидкость, силы сдвига вполне могут быть. Вязкость как раз и описывает эти силы, возникающие в движущейся жидкости. Чтобы измерить силы сдвига в процессе движения жидкости, рассмотрим такой эксперимент. Предположим, что имеются две плоские твердые пластины, между которыми находится вода (фиг. 41.1), причем одна из пластин неподвижна, тогда как другая движется параллельно ей с малой скоростью v₀. Если вы будете измерять силу, требуемую для поддержания движения верхней пластины, то найдете, что она пропорциональна площади пластины и отношению v₀/d, где d — расстояние между пластинами. Таким образом,  напряжение сдвига F/A пропорционально  v₀/d:

Коэффициент пропорциональности η называется коэффициентом вязкости.
 
Если перед нами более сложный случай, то мы всегда можем рассмотреть в воде небольшой плоский прямоугольный объем, грани которого параллельны потоку (фиг. 41.2). Силы в этом объеме определяются выражением

Далее, ∂v_x/∂y представляет скорость изменения деформаций сдвига, определенных нами в гл. 38, так что силы в жидкости пропорциональны  скорости изменения деформаций  сдвига.
 
В общем  случае мы пишем

При равномерном вращении жидкости производная ∂v_x/∂y равна ∂v_y/∂x с обратным знаком, a S_xy будет равна нулю, как это и требуется, ибо в равномерно  вращающейся жидкости напряжения отсутствуют. (Подобную же вещь мы проделывали в гл. 39 при определении е_xy.)  Разумеется, для S_yz и S_zx тоже есть соответствующие выражения.
 
В качестве примера применения этих идей рассмотрим движение жидкости между двумя коаксиальными цилиндрами. Пусть радиус внутреннего цилиндра равен а, его скорость будет v_a, а радиус внешнего цилиндра пусть будет b, а скорость равна v_b (фиг. 41.3). Возникает вопрос, каково распределение скоростей между цилиндрами? Чтобы ответить на него, начнем с получения формулы для вязкого сдвига в жидкости на расстоянии r от оси. Из симметрии задачи можно предположить, что поток всегда тангенциален и что его величина зависит только от r; v=v(r). Если мы понаблюдаем за соринкой в воде, расположенной на расстоянии r от оси, то ее координаты как функции времени будут

где ω = v/r. При этом х- и y-компоненты скорости равны

Из формулы (41.3) получаем

Для точек с у = 0  имеем  дω/ду = 0,  а x (дω/дх)  будет равно r (dω/dr). Так что в этих точках

(Разумно думать, что величина S должна зависеть от ∂ω/∂r, когда ω не изменяется с r, жидкость находится в состоянии равномерного вращения и напряжения в ней не возникают.)
 
Вычисленное нами напряжение представляет собой тангенциальный сдвиг, одинаковый повсюду вокруг цилиндра. Мы можем получить момент сил, действующий на цилиндрической поверхности радиусом r, путем умножения напряжения сдвига на плечо импульса r и площадь 2πrl:

Поскольку движение воды стационарно и угловое ускорение отсутствует, то полный момент, действующий на цилиндрическую поверхность воды между радиусами r и r + dr, должен быть нулем; иначе говоря, момент сил на расстоянии r должен уравновешиваться равным ему и противоположно направленным моментом сил на расстоянии r + dr, так что τ не должно зависеть от r. Другими словами, r³ (dω/dr) равно некоторой постоянной, скажем А, и

Интегрируя, находим как ω изменяется с r:

Постоянные  А  и  В  должны  определяться  из условия, что ω = ω_a в точке r = а, а ω = ω_b в точке  r = b.   Тогда находим

Таким образом, ω как функция r нам известна, а стало быть, известно и v = ωr.
 
Если же нам нужно определить момент сил, то его можно получить из выражений (41.7) и (41.8):

Он пропорционален относительной угловой скорости двух цилиндров. Имеется стандартный прибор для измерения коэффициентов  вязкости, который устроен следующим образом: один из цилиндров (скажем, внешний) посажен на ось, но удерживается в неподвижном состоянии пружинным динамометром, который измеряет действующий на него момент сил, а внутренний цилиндр вращается с постоянной угловой скоростью. Коэффициент вязкости определяется при этом из формулы (41.11).
 
Из определения коэффициента вязкости вы видите, что η измеряется в ньютон·сек/м². Для воды при 20° С

Часто удобнее бывает пользоваться удельной вязкостью, которая равна η, деленной на плотность ρ. При этом величины удельных вязкостей воды и воздуха сравнимы:

Обычно вязкость очень сильно зависит от температуры. Например, для воды непосредственно над точкой замерзания отношение η/ρ в 1,8 больше, чем при 20° С.

СМОТРИТЕ ТАКЖЕ: