Главная >> Техника быстрого счета

Способ дополнений для умножения чисел, близких к 10ⁿ; 2*10ⁿ; A*10ⁿ

Пусть мы имеем два числа X и Y и их дополнения а и Ь до 10ⁿ; X=10ⁿ-a; Y=10ⁿ-b.
Тогда X*Y = (10ⁿ - а)*(10ⁿ - Ь) = (10ⁿ - а - Ь)*10ⁿ + + а*Ь = (Х-Ь) * 10ⁿ + a*b = (Y - а) * 10ⁿ + а*Ь.
Если а и b малы, это может существенно упростить наши вычисления.

Пример:
94 * 97:
0) n= 2(т.е. 10²); а = 100 - 94 = 6; b = 100-97 = 3;
1) Из любого сомножителя вычитаем дополнение другого сомножителя:
94 - (100 - 97) = 97 - (100 - 94) = 91;
2) Находим произведение дополнений: 3*6 = 18;
3) К итогу п.1 прибавим итог п.2, с учетом разрядности. В данном случае:
94 * 97 = 91 * 100 + 18 = 9118.

Произведения дополнений могут занимать меньше или больше, чем n позиций:
99 * 98 = (98 - 1) * 100 + 1 *2 = 9700 + 2 = 9702; 87 * 92 = (87 - 8) * 100 + 13*8 = 7900 +104 = 8004; 115 * 107= [115 - (-7)]* 100 + (-15)*(-7) = = 12200+ 105= 12305.

Дополнения могут иметь разные знаки :
105 * 97= [97-(-5)]* 100+ (-5)* 3 = 10200 - 15= 10185;
1009 * 998 = 1007 * 1000 + (-9)*2 = 1006982;

В ряде случаев этот способ становится легкоприменимым после простейшей подготовки исходных сомножителей:
1003 * 97 = (1003 * 970) : 10 = (973000-90) : 10= 97291;
0,997 * 0,998 = 10^-6 *(997*998) = 0,995006;
0,996 * 0,98 = 10^-6 * (996*980) = 0,976080.

Однако как быть, если числа близки к А*10ⁿ, где А - целое > 1 ? (Легко показать, что при X = А*10ⁿ -а; Y = А*10ⁿ - b получается X*Y = (X - b)* A*10ⁿ + ab = = (Y -a)*A*10ⁿ + ab).
В этом случае порядок действий лишь незначительно дополняется.

Пример:
198 * 197
1) Находим дополнение каждого из сомножителей до ближайшего числа А*10ⁿ = 200, здесь это 2 и 3;
2) из какого-либо сомножителя вычитаем дополнение другого сомножителя: 198 - 3= 197 -2 = 195;
3) полученный итог (п. 2) умножаем на А: 195 * 2 = 390;
4) к итогу (п. 3) алгебраически (с учетом знака) и разрядности (n) добавляем произведение дополнений:
198 * 197 = 390 * 100 + 2*3 = 39000 + 6 = 39006.

Применение способа может быть интересно и для двузначных чисел:

Пример:
61 * 83
1) А = 6; n= 1; а= 1; b = 23;
2) (83-(-1)) * 6 = 84 * 6 = 504;
3) 504 * 10 + (-1)*(-23) = 5040 + 23 = 5063.

А вот 71 * 69 или 111 * 89 и т.п. лучше все же вычислять по другой формуле: (а+Ь) * (а-Ь) = а² - b². то есть как 70²-1. Конечно, многие задачи устного счета можно решить несколькими способами. Увидеть наиболее подходящий из них - обычно задача творческая.

СМОТРИТЕ ТАКЖЕ: