Главная >> Фейнмановские лекции по физике >> Том 4 >> Глава 50. Гармоники Теорема об энергии
Энергия волны пропорциональна квадрату ее амплитуды. Для сложной волны энергия за один период пропорциональна T0∫f2(t) dt. Эту энергию можно связать с коэффициентами Фурье
После раскрытия квадрата в правой части мы получим сумму всевозможных перекрестных членов типа a5cos5ωt b7 cos 7ωt. Однако выше мы уже показали [уравнения (50.11) и (50.12)], что интегралы от всех таких членов по одному периоду равны нулю, гак что останутся только квадратные члены, подобные a25cos25ωt. Интеграл от любого квадрата косинуса или синуса по одному периоду равен Т/2, так что получаем
Это уравнение называют «теоремой об энергии», которая говорит, что полная энергия волны равна просто сумме энергий всех ее фурье-компонент. Применяя, например, эту теорему к ряду (50.19), мы получаем
поскольку [f(t)]2 = 1. Таким образом мы узнали, что сумма квадратов обратных нечетных чисел равна π2/8. Точно так же, выписав сначала ряд Фурье для функции и используя затем теорему об энергии, можно доказать результат, понадобившийся нам в гл. 45, т. е. что 1 + 1/24 + 1/34+ ... равно π4/90.
СМОТРИТЕ ТАКЖЕ:
Социальные комментарии Cackle
|