Решение уравнения возраста

Уравнение возраста является дифференциальным уравнением второго порядка в частных производных, по­этому для получения конкретного его решения для условий активной зоны реактора необходимо указать пару начальных условий. В качестве послед­них можно использовать две упомянутых выше частности:
 
- при E = E₀      τ(E₀) = 0     и q*(r, 0) = q_f*;
- при E = E_с      τ(E_c) = t_т    и q*(r,t_т) = q_т*.
 
Предположим, что решение уравнения возраста найдено в виде произ­ведения двух функций:
 
q*(r,τ) = T(τ) R(r),                                                 (5.4.3)
 
одна из которых T(τ) является функцией только возраста τ, а дру­гая R(r) - функцией только координат r.
Если (5.4.3) - решение уравнения (5.4.2), то, будучи подставлен­ным в (5.4.2), оно должно обращать последнее в тождество. Выполним эту подстановку, для чего найдём вначале выражения для dq*/dτ и ♥²q*:
 
dq*/dτ = R dT/dt,                                          (5.4.4)
 
так как функция R переменной τ не содержит, а это значит, что при частном дифференцировании к ней можно относиться как к постоянной ве­личине. Аналогично рассуждая,

так как функция T не содержит координат r.
Итак, подстановка (5.4.4) и (5.4.5) в (5.4.2) даёт тождество:

Задумавшись о том, когда может быть так, что две разные функции различных аргументов всегда тождественно равны друг другу при различ­ных значениях этих аргументов, мы должны однозначно ответить так, как ответил Э.Ферми: это может быть только в том случае, если обе эти функции - есть постоянная величина.
 
Более того, связывая функцию (1/T)dT/dτ с физическим смыслом за­висимости плотности замедления q* от возраста t, можно сказать, что эта постоянная величина (обозначим ее - B²) должна иметь обязательно отрицательный знак, т.к. функция плотности замедления q*(t) не может быть возрастающей функцией с увеличением возраста нейтронов (иначе это противоречило бы физическому смыслу: число нейтронов поколения  в процессе их замедления может либо оставаться постоянным (в непоглощающей среде), либо убывать (за счёт поглощения и утечки), но никак не возрастать).
 
Поскольку B² - присущая реактору величина, её принято называть параметром реактора.


С учётом принятого обозначения упомянутой постоянной величины тож­дество (5.4.6) можно переписать в виде двух отдельных равенств:                                                

Уравнение (5.4.7) представляет собой энергетическую часть решения уравнения возраста,  в то время как уравнение (5.4.8) - пространствен­ная его часть.


Общее решение дифференциального уравнения (5.4.7) имеет вид:
 
T = T₀ exp(-B²τ),
 
где T₀ - некоторое значение функции T при τ = 0.
 
Следовательно, плотность замедления q* в соответствии с выражени­ем (5.4.3) будет равна:
 
q* = RT = RT₀exp(-B²τ)                                    (5.4.9)
 
Используя для (5.4.9) первое граничное условие, имеем: q_f* = RT₀         (5.4.10)
 
Но величину q_f* - скорости генерации нейтронов деления - можно получить и из общих рассуждений, исходя из среднего значения плотности потока тепловых нейтронов в активной зоне реактора.
Если Σ_a - среднее по объёму активной зоны макросечение поглощения тепловых нейтронов, а Ф - средняя по её объёму плотность по­тока тепловых нейтронов, то:
- Σ_aФ - это средняя по объёму активной зоны скорость поглощения тепловых нейтронов в  ней,  а
- Σ_aФθ - это средняя по объёму активной зоны скорость поглощения тепловых нейтронов делящимися под действием тепловых нейтронов ядрами, а
- ΣaФθη - средняя по объёму активной зоны скорость генерации ней­тронов деления, полученных в делениях ядер топлива под действием теп­ловых нейтронов, а
- Σ_aФθηε - средняя скорость генерации всех нейтронов деления, по­лученных в делениях топлива нейтронами всех энергий; это и есть иско­мая нами величина q_f* =   Σ_aФθηε  = Σ_aФk_∞ / φ.
Сравнивая последнее выражение с (5.4.10), имеем:
 
k_∞ Σ_aФ/φ = RT₀,             откуда             R = k_∞ Σ_aФ/(T₀φ)                         (5.4.11)
 
Таким образом, общее решение (5.4.9) с учётом найденной величины функции R (5.4.11) будет иметь вид:
 
q* = RT₀exp(-B²τ) = (1/φ) k_∞ Σ_aФ  exp(-B²τ)                     (5.4.12)
 
Выражение (5.4.12) - есть общее решение уравнения возраста Ферми, дающее величину плотности замедления q* при любом произвольном значе­нии возраста t. Из второго начального условия для плотности замедления тепловых нейтронов это выражение приобретает частный вид средней по объёму активной зоны скорости генерации тепловых нейтронов:
 
q_т* = (1/φ) k_∞ Σ_aФ  exp (-B²τ_т)                                              (5.4.13)
 
Напомним, что до сих пор речь велась о плотности замедления в иде­альной непоглощающей замедляющиеся нейтроны среде.  Подставляя найден­ную величину q_т* в формулу  (5.4.1), имеем:
 
q_т = q_т*φ = k_∞Σ_aФ exp (- B²τ_т)                                 (5.4.14)
 
- выражение для скорости генерации тепловых нейтронов в реальной активной зоне с резонансными поглотителями замедляющихся нейтронов.