Рівняння віку є диференціальним рівнянням другого порядку в частинних похідних, тому для одержання його конкретного розв'язку для умов активної зони реактора необхідно вказати пару початкових умов. Як останні можна використати дві згадані вище окремі умови:
- при E = E0 τ(E0) = 0 і q*(r, 0) = qf*;
- при E = Eс τ(Ec) = tт і q*(r,tт) = qт*.
Припустимо, що розв'язок рівняння віку знайдено у вигляді добутку двох функцій:
q*(r,τ) = T(τ) R(r), (5.4.3)
одна з яких T(τ) є функцією лише віку τ, а друга R(r) - функцією лише координат r.
Якщо (5.4.3) - розв'язок рівняння (5.4.2), то, будучи підставленим у (5.4.2), воно має обернути останнє в тотожність. Виконаймо цю підстановку, для чого знайдемо спочатку вирази для dq*/dτ і ♥2q*:
dq*/dτ = R dT/dt, (5.4.4)
бо функція R змінної τ не містить, а це означає, що при частинному диференціюванні до неї можна ставитися як до сталої величини. Аналогічно міркуючи,
- при E = E0 τ(E0) = 0 і q*(r, 0) = qf*;
- при E = Eс τ(Ec) = tт і q*(r,tт) = qт*.
Припустимо, що розв'язок рівняння віку знайдено у вигляді добутку двох функцій:
q*(r,τ) = T(τ) R(r), (5.4.3)
одна з яких T(τ) є функцією лише віку τ, а друга R(r) - функцією лише координат r.
Якщо (5.4.3) - розв'язок рівняння (5.4.2), то, будучи підставленим у (5.4.2), воно має обернути останнє в тотожність. Виконаймо цю підстановку, для чого знайдемо спочатку вирази для dq*/dτ і ♥2q*:
dq*/dτ = R dT/dt, (5.4.4)
бо функція R змінної τ не містить, а це означає, що при частинному диференціюванні до неї можна ставитися як до сталої величини. Аналогічно міркуючи,
Зображення
бо функція T не містить координат r.
Отже, підстановка (5.4.4) і (5.4.5) у (5.4.2) дає тотожність:
Отже, підстановка (5.4.4) і (5.4.5) у (5.4.2) дає тотожність:
Зображення
Замислившись над тим, коли може бути так, що дві різні функції різних аргументів завжди тотожно рівні одна одній при різних значеннях цих аргументів, ми повинні однозначно відповісти так, як відповів Е.Фермі: це може бути лише тоді, коли обидві ці функції - є стала величина.
Більше того, пов'язуючи функцію (1/T)dT/dτ з фізичним змістом залежності густини сповільнення q* від віку t, можна сказати, що ця стала величина (позначимо її - B2) повинна мати обов'язково від'ємний знак, бо функція густини сповільнення q*(t) не може бути зростаючою функцією зі збільшенням віку нейтронів (інакше це суперечило б фізичному змістові: кількість нейтронів покоління в процесі їх сповільнення може або залишатися сталою (в середовищі, що не поглинає), або спадати (через поглинання і витік), але ніяк не зростати).
Оскільки B2 - притаманна реактору величина, її прийнято називати параметром реактора.
З урахуванням прийнятого позначення згаданої сталої величини тотожність (5.4.6) можна переписати у вигляді двох окремих рівностей:
Більше того, пов'язуючи функцію (1/T)dT/dτ з фізичним змістом залежності густини сповільнення q* від віку t, можна сказати, що ця стала величина (позначимо її - B2) повинна мати обов'язково від'ємний знак, бо функція густини сповільнення q*(t) не може бути зростаючою функцією зі збільшенням віку нейтронів (інакше це суперечило б фізичному змістові: кількість нейтронів покоління в процесі їх сповільнення може або залишатися сталою (в середовищі, що не поглинає), або спадати (через поглинання і витік), але ніяк не зростати).
Оскільки B2 - притаманна реактору величина, її прийнято називати параметром реактора.
З урахуванням прийнятого позначення згаданої сталої величини тотожність (5.4.6) можна переписати у вигляді двох окремих рівностей:
Зображення
Рівняння (5.4.7) являє собою енергетичну частину розв'язку рівняння віку, тоді як рівняння (5.4.8) - його просторову частину.
Загальний розв'язок диференціального рівняння (5.4.7) має вигляд:
T = T0 exp(-B2τ),
де T0 - деяке значення функції T при τ = 0.
Отже, густина сповільнення q* відповідно до виразу (5.4.3) дорівнюватиме:
q* = RT = RT0exp(-B2τ) (5.4.9)
Використовуючи для (5.4.9) першу граничну умову, маємо: qf* = RT0 (5.4.10)
Але величину qf* - швидкості генерації нейтронів поділу - можна дістати і із загальних міркувань, виходячи із середнього значення густини потоку теплових нейтронів в активній зоні реактора.
Якщо Σa - середній за об'ємом активної зони макропереріз поглинання теплових нейтронів, а Ф - середня за її об'ємом густина потоку теплових нейтронів, то:
- ΣaФ - це середня за об'ємом активної зони швидкість поглинання теплових нейтронів у ній, а
- ΣaФθ - це середня за об'ємом активної зони швидкість поглинання теплових нейтронів ядрами, що діляться під дією теплових нейтронів, а
- ΣaФθη - середня за об'ємом активної зони швидкість генерації нейтронів поділу, одержаних у поділах ядер палива під дією теплових нейтронів, а
- ΣaФθηε - середня швидкість генерації всіх нейтронів поділу, одержаних у поділах палива нейтронами всіх енергій; це і є шукана нами величина qf* = ΣaФθηε = ΣaФk∞ / φ.
Порівнюючи останній вираз із (5.4.10), маємо:
k∞ ΣaФ/φ = RT0, звідки R = k∞ ΣaФ/(T0φ) (5.4.11)
Таким чином, загальний розв'язок (5.4.9) з урахуванням знайденої величини функції R (5.4.11) матиме вигляд:
q* = RT0exp(-B2τ) = (1/φ) k∞ ΣaФ exp(-B2τ) (5.4.12)
Вираз (5.4.12) - є загальний розв'язок рівняння віку Фермі, що дає величину густини сповільнення q* при будь-якому довільному значенні віку t. Із другої початкової умови для густини сповільнення теплових нейтронів цей вираз набуває окремого вигляду середньої за об'ємом активної зони швидкості генерації теплових нейтронів:
qт* = (1/φ) k∞ ΣaФ exp (-B2τт) (5.4.13)
Нагадаємо, що досі йшлося про густину сповільнення в ідеальному середовищі, яке не поглинає нейтронів, що сповільнюються. Підставляючи знайдену величину qт* у формулу (5.4.1), маємо:
qт = qт*φ = k∞ΣaФ exp (- B2τт) (5.4.14)
- вираз для швидкості генерації теплових нейтронів у реальній активній зоні з резонансними поглиначами нейтронів, що сповільнюються.
Загальний розв'язок диференціального рівняння (5.4.7) має вигляд:
T = T0 exp(-B2τ),
де T0 - деяке значення функції T при τ = 0.
Отже, густина сповільнення q* відповідно до виразу (5.4.3) дорівнюватиме:
q* = RT = RT0exp(-B2τ) (5.4.9)
Використовуючи для (5.4.9) першу граничну умову, маємо: qf* = RT0 (5.4.10)
Але величину qf* - швидкості генерації нейтронів поділу - можна дістати і із загальних міркувань, виходячи із середнього значення густини потоку теплових нейтронів в активній зоні реактора.
Якщо Σa - середній за об'ємом активної зони макропереріз поглинання теплових нейтронів, а Ф - середня за її об'ємом густина потоку теплових нейтронів, то:
- ΣaФ - це середня за об'ємом активної зони швидкість поглинання теплових нейтронів у ній, а
- ΣaФθ - це середня за об'ємом активної зони швидкість поглинання теплових нейтронів ядрами, що діляться під дією теплових нейтронів, а
- ΣaФθη - середня за об'ємом активної зони швидкість генерації нейтронів поділу, одержаних у поділах ядер палива під дією теплових нейтронів, а
- ΣaФθηε - середня швидкість генерації всіх нейтронів поділу, одержаних у поділах палива нейтронами всіх енергій; це і є шукана нами величина qf* = ΣaФθηε = ΣaФk∞ / φ.
Порівнюючи останній вираз із (5.4.10), маємо:
k∞ ΣaФ/φ = RT0, звідки R = k∞ ΣaФ/(T0φ) (5.4.11)
Таким чином, загальний розв'язок (5.4.9) з урахуванням знайденої величини функції R (5.4.11) матиме вигляд:
q* = RT0exp(-B2τ) = (1/φ) k∞ ΣaФ exp(-B2τ) (5.4.12)
Вираз (5.4.12) - є загальний розв'язок рівняння віку Фермі, що дає величину густини сповільнення q* при будь-якому довільному значенні віку t. Із другої початкової умови для густини сповільнення теплових нейтронів цей вираз набуває окремого вигляду середньої за об'ємом активної зони швидкості генерації теплових нейтронів:
qт* = (1/φ) k∞ ΣaФ exp (-B2τт) (5.4.13)
Нагадаємо, що досі йшлося про густину сповільнення в ідеальному середовищі, яке не поглинає нейтронів, що сповільнюються. Підставляючи знайдену величину qт* у формулу (5.4.1), маємо:
qт = qт*φ = k∞ΣaФ exp (- B2τт) (5.4.14)
- вираз для швидкості генерації теплових нейтронів у реальній активній зоні з резонансними поглиначами нейтронів, що сповільнюються.