Не наводячи виведення, запишемо остаточний вигляд спектра Фермі (з виведенням можна ознайомитися, наприклад, у [8]).
Розподіл густини потоку сповільнюваних нейтронів у непоглинальних середовищах (мається на увазі властивість не поглинати сповільнювані нейтрони, а не теплові) виявляється підпорядкованим закономірності:
Ф(E) = qf/(ξΣsE) (5.6.1)
Цей вираз справедливий як для простого однорідного середовища, так і для складних гомогенних середовищ, що складаються з кількох сортів ядер-сповільнювачів. У цьому випадку у формулу (5.6.1) підставляється сума значень сповільнювальної здатності k компонентів складного середовища:
k
ξΣs = ξ1Σs1 + ξ2Σs2+ ξ3Σs3 + ... + ξkΣsk = Σ(ξiΣsi) (5.6.2)
i=1
Враховуючи класичну залежність кінетичної енергії нейтрона від його швидкості (E = mv2/2) і зв'язок густини потоку та густини нейтронів однакової швидкості
Ф(E) = n(E) v(E) = n(E) √(2E/m) = √(2/m) n(E)E1/2,
вираз для спектра сповільнюваних нейтронів можна записати так:
n(E) = qf √(m/2) /(ξΣs E3/2) (5.6.3)
Таким чином, густина сповільнюваних нейтронів за енергіями в непоглинальному середовищі розподіляється за законом "E-3/2", тобто плавно зростає зі зменшенням енергії нейтронів у процесі їх сповільнення і так само плавно (без стрибків і зламів) переходить при E = Eс у максвеллівський спектр теплових нейтронів (рис.5.9).
Рис.5.9. Межа теплових і сповільнюваних нейтронів - енергія зшивки енергетичних спектрів Максвелла і Фермі (Eс).
Вже зазначалося, що про енергетичний спектр нейтронів у реакторі має сенс говорити лише для критичного реактора, оскільки будь-який енергетичний спектр у поглинальному середовищі має динамічно-рівноважний характер: густина нейтронів будь-якої енергії E підтримується незмінною в часі в будь-якому одиничному об'ємі за рахунок незмінної різниці швидкостей:
- приходу сповільнюваних нейтронів на рівень енергії E з області вищих енергій;
- відходу сповільнюваних нейтронів з рівня енергії E в область нижчих енергій;
- появи в одиничному об'ємі нових нейтронів енергії E за рахунок поділів ядер (якщо такі є в розглядуваному одиничному об'ємі);
- поглинання нейтронів при енергії E (якщо в одиничному об'ємі наявні резонансні поглиначі) та
- витоку нейтронів енергії E з розглядуваного одиничного об'єму (розуміючи під витоком різницю швидкостей відходу й приходу нейтронів з енергією E в цьому одиничному об'ємі).
У межах одногрупового вікового наближення домовилися вважати, що поглинання в діапазоні енергій сповільнення відсутнє, а помітне поглинання сповільнюваних нейтронів у реальних середовищах враховувати за допомогою імовірності уникнення резонансного захоплення (φ). У цьому наближенні середовище активної зони поглинає лише теплові нейтрони. І якщо припускати, що енергетичний спектр теплових нейтронів - максвеллівського типу, величина й положення максимуму на шкалі енергій у ньому явно мають залежати від поглинальної характеристики середовища (Σa) і сповільнювальної здатності середовища (ξΣs) в області енергій переходу від сповільнюваних нейтронів до теплових (тобто в області енергії зшивки Eс) і нижче (тобто в межах самого спектра теплових нейтронів).
Справді, оскільки в тепловій області енергій мікроперерізи поглинання змінюються за законом "1/v" (або "E1/2"), то основне поглинання теплових нейтронів відбувається при нижчих енергіях лівого крила спектра Максвелла; чим вища величина мікроперерізу поглинання активної зони sa (а отже, й Σa), тим більше теплових нейтронів поглинається при E < Eнім, тим більше "виїдання" лівого крила спектра, а це означає, що положення максимуму спектра (що характеризується Eнім - найімовірнішою енергією теплових нейтронів) зі збільшенням поглинальної здатності середовища має зміщуватися праворуч, в область вищих енергій; іншими словами, зі збільшенням поглинальних властивостей середовища енергетичний спектр теплових нейтронів жорсткішає. Але, оскільки положення максимуму в спектрі теплових нейтронів визначає температуру нейтронів Tн (адже Eнім= kTн), то можна висловитися інакше: зі збільшенням поглинальних властивостей середовища підвищується температура нейтронів у ньому. І чим більша величина макроперерізу поглинання середовища (Σa) - тим більше величина температури нейтронів у ньому (Tн) відхиляється від його термодинамічної температури (T) у бік збільшення.
З іншого боку, чим вища величина сповільнювальної здатності середовища (ξΣs), тим з більшою швидкістю поповнюється за рахунок сповільнення нейтронів увесь спектр теплових нейтронів (зокрема й його ліве крило), і тому положення його максимуму, навпаки, зміщується ліворуч, в область нижчих енергій, тобто зі збільшенням сповільнювальної здатності середовища спектр теплових нейтронів м'якшає, і температура теплових нейтронів у середовищі з кращими сповільнювальними властивостями менше відрізняється від термодинамічної температури цього середовища порівняно із середовищем зі слабшими сповільнювальними властивостями.
Таким чином виходить, що температура нейтронів Tн перебуває в прямій залежності від величини Σa середовища активної зони й в оберненій залежності - від ξΣs.
Це дало привід до припущення, що обидві залежності є пропорційними, що дає легку можливість побудувати напівемпіричні залежності для розрахунку температури нейтронів у тепловому реакторі:
Tн = Tз[1 + 1.8 (Σa/ξΣs)] - для уран-водних гомогенних середовищ, і (5.6.4)
Tн = Tз[1 + 0.91(AΣa/Σs)] - для випадків використання інших сповільнювачів (з масовим числом A) (5.6.5)
Таким чином, температура нейтронів у тепловому реакторі - величина, прямо пропорційна термодинамічній температурі активної зони й величині, оберненій до коефіцієнта сповільнення середовища в ній.
Наведені формули отримано, строго кажучи, для гомогенних сумішей палива й сповільнювача, однак із достатньою точністю вони можуть правити й для оцінки температури нейтронів у гетерогенних активних зонах реакторів відповідних типів, для чого в них мають підставлятися середня термодинамічна температура сповільнювача Tз і величини гомогенізованих макроперерізів активної зони Σa і Σs.
*) Гіпотеза щодо пропорційності Tн,Tз і оберненого коефіцієнта сповільнення була б строго доказовою лише в тому разі, якби було строго доведено, що енергетичний спектр теплових нейтронів, як би не деформувало його середовище своїми поглинальними й сповільнювальними властивостями, завжди зберігає максвеллівську форму.
Розмову було присвячено спектру Фермі сповільнюваних нейтронів, але її було зміщено до спектра теплових нейтронів, щоб підкреслити два важливі моменти:
- по-перше, між цими двома енергетичними спектрами в критичному тепловому реакторі існує якийсь поки що нечіткий взаємозв'язок: будь-яка, навіть найменша, зміна в спектрі теплових нейтронів обов'язково має потягти за собою зміну й у спектрі сповільнюваних нейтронів, і, навпаки, зміна у спектрі Фермі має позначитися й на максвеллівському розподілі теплових нейтронів; цей взаємозв'язок можна було б передбачити й без поглибленого екскурсу в спектри, якщо просто по-матеріалістичному увірувати в те, що всією поведінкою сповільнюваних і теплових нейтронів керує одне Середовище, тільки Середовище й виключно Середовище; це Воно, завдяки притаманним йому природним властивостям, єдиним чином, з єдиною закономірністю народжує з певною швидкістю швидкі нейтрони поділу, сповільнює їх із певною (пов'язаною зі швидкістю генерації швидких нейтронів) інтенсивністю, поглинає їх із певною (пов'язаною зі швидкостями генерації та сповільнення) швидкістю й визначає швидкість витоку нейтронів з будь-якого мікрооб'єму,- і вся ця природна зумовленість притаманна нейтронам будь-якої енергії; іншими словами, Середовище в силу своїх природних властивостей і розставляє всі нейтрони за енергіями в єдиний енергетичний спектр, що не є ні спектром Ватта, ні спектром Фермі, ні спектром Максвелла;
- по-друге, хоча спектри Ватта, Фермі й Максвелла і відображають закономірності народження, сповільнення й поглинання нейтронів, зв'язати їх в єдиний аналітичний вираз для єдиного енергетичного спектра реактора не вдається, оскільки спектри Ватта й Максвелла нормовано відповідно на один нейтрон поділу й тепловий нейтрон, а спектр Фермі - взагалі не є нормованим.
Не варто сприймати сказане як критику наявної фізичної теорії реакторів: радше це її чергова проблема, з якою будь-якій людині, пов'язаній з ядерною енергетикою, слід бути знайомою. Бо її розв'язання радикальним чином змінить не лише систему теоретичних уявлень і полегшить їх сприйняття: мають відкритися нові можливості для швидких інженерних розрахунків і аналізу експлуатаційної безпеки будь-яких реакторів.
Поки що ж ми змушені задовольнятися згаданою тріадою енергетичних спектрів і для розрахунків критичних властивостей реакторів користуватися громіздкими (хоч і наближеними) обчисленнями за допомогою ЕОМ.
Розподіл густини потоку сповільнюваних нейтронів у непоглинальних середовищах (мається на увазі властивість не поглинати сповільнювані нейтрони, а не теплові) виявляється підпорядкованим закономірності:
Ф(E) = qf/(ξΣsE) (5.6.1)
Цей вираз справедливий як для простого однорідного середовища, так і для складних гомогенних середовищ, що складаються з кількох сортів ядер-сповільнювачів. У цьому випадку у формулу (5.6.1) підставляється сума значень сповільнювальної здатності k компонентів складного середовища:
k
ξΣs = ξ1Σs1 + ξ2Σs2+ ξ3Σs3 + ... + ξkΣsk = Σ(ξiΣsi) (5.6.2)
i=1
Враховуючи класичну залежність кінетичної енергії нейтрона від його швидкості (E = mv2/2) і зв'язок густини потоку та густини нейтронів однакової швидкості
Ф(E) = n(E) v(E) = n(E) √(2E/m) = √(2/m) n(E)E1/2,
вираз для спектра сповільнюваних нейтронів можна записати так:
n(E) = qf √(m/2) /(ξΣs E3/2) (5.6.3)
Таким чином, густина сповільнюваних нейтронів за енергіями в непоглинальному середовищі розподіляється за законом "E-3/2", тобто плавно зростає зі зменшенням енергії нейтронів у процесі їх сповільнення і так само плавно (без стрибків і зламів) переходить при E = Eс у максвеллівський спектр теплових нейтронів (рис.5.9).
Рис.5.9. Межа теплових і сповільнюваних нейтронів - енергія зшивки енергетичних спектрів Максвелла і Фермі (Eс).
Вже зазначалося, що про енергетичний спектр нейтронів у реакторі має сенс говорити лише для критичного реактора, оскільки будь-який енергетичний спектр у поглинальному середовищі має динамічно-рівноважний характер: густина нейтронів будь-якої енергії E підтримується незмінною в часі в будь-якому одиничному об'ємі за рахунок незмінної різниці швидкостей:- приходу сповільнюваних нейтронів на рівень енергії E з області вищих енергій;
- відходу сповільнюваних нейтронів з рівня енергії E в область нижчих енергій;
- появи в одиничному об'ємі нових нейтронів енергії E за рахунок поділів ядер (якщо такі є в розглядуваному одиничному об'ємі);
- поглинання нейтронів при енергії E (якщо в одиничному об'ємі наявні резонансні поглиначі) та
- витоку нейтронів енергії E з розглядуваного одиничного об'єму (розуміючи під витоком різницю швидкостей відходу й приходу нейтронів з енергією E в цьому одиничному об'ємі).
У межах одногрупового вікового наближення домовилися вважати, що поглинання в діапазоні енергій сповільнення відсутнє, а помітне поглинання сповільнюваних нейтронів у реальних середовищах враховувати за допомогою імовірності уникнення резонансного захоплення (φ). У цьому наближенні середовище активної зони поглинає лише теплові нейтрони. І якщо припускати, що енергетичний спектр теплових нейтронів - максвеллівського типу, величина й положення максимуму на шкалі енергій у ньому явно мають залежати від поглинальної характеристики середовища (Σa) і сповільнювальної здатності середовища (ξΣs) в області енергій переходу від сповільнюваних нейтронів до теплових (тобто в області енергії зшивки Eс) і нижче (тобто в межах самого спектра теплових нейтронів).
Справді, оскільки в тепловій області енергій мікроперерізи поглинання змінюються за законом "1/v" (або "E1/2"), то основне поглинання теплових нейтронів відбувається при нижчих енергіях лівого крила спектра Максвелла; чим вища величина мікроперерізу поглинання активної зони sa (а отже, й Σa), тим більше теплових нейтронів поглинається при E < Eнім, тим більше "виїдання" лівого крила спектра, а це означає, що положення максимуму спектра (що характеризується Eнім - найімовірнішою енергією теплових нейтронів) зі збільшенням поглинальної здатності середовища має зміщуватися праворуч, в область вищих енергій; іншими словами, зі збільшенням поглинальних властивостей середовища енергетичний спектр теплових нейтронів жорсткішає. Але, оскільки положення максимуму в спектрі теплових нейтронів визначає температуру нейтронів Tн (адже Eнім= kTн), то можна висловитися інакше: зі збільшенням поглинальних властивостей середовища підвищується температура нейтронів у ньому. І чим більша величина макроперерізу поглинання середовища (Σa) - тим більше величина температури нейтронів у ньому (Tн) відхиляється від його термодинамічної температури (T) у бік збільшення.
З іншого боку, чим вища величина сповільнювальної здатності середовища (ξΣs), тим з більшою швидкістю поповнюється за рахунок сповільнення нейтронів увесь спектр теплових нейтронів (зокрема й його ліве крило), і тому положення його максимуму, навпаки, зміщується ліворуч, в область нижчих енергій, тобто зі збільшенням сповільнювальної здатності середовища спектр теплових нейтронів м'якшає, і температура теплових нейтронів у середовищі з кращими сповільнювальними властивостями менше відрізняється від термодинамічної температури цього середовища порівняно із середовищем зі слабшими сповільнювальними властивостями.
Таким чином виходить, що температура нейтронів Tн перебуває в прямій залежності від величини Σa середовища активної зони й в оберненій залежності - від ξΣs.
Це дало привід до припущення, що обидві залежності є пропорційними, що дає легку можливість побудувати напівемпіричні залежності для розрахунку температури нейтронів у тепловому реакторі:
Tн = Tз[1 + 1.8 (Σa/ξΣs)] - для уран-водних гомогенних середовищ, і (5.6.4)
Tн = Tз[1 + 0.91(AΣa/Σs)] - для випадків використання інших сповільнювачів (з масовим числом A) (5.6.5)
Таким чином, температура нейтронів у тепловому реакторі - величина, прямо пропорційна термодинамічній температурі активної зони й величині, оберненій до коефіцієнта сповільнення середовища в ній.
Наведені формули отримано, строго кажучи, для гомогенних сумішей палива й сповільнювача, однак із достатньою точністю вони можуть правити й для оцінки температури нейтронів у гетерогенних активних зонах реакторів відповідних типів, для чого в них мають підставлятися середня термодинамічна температура сповільнювача Tз і величини гомогенізованих макроперерізів активної зони Σa і Σs.
*) Гіпотеза щодо пропорційності Tн,Tз і оберненого коефіцієнта сповільнення була б строго доказовою лише в тому разі, якби було строго доведено, що енергетичний спектр теплових нейтронів, як би не деформувало його середовище своїми поглинальними й сповільнювальними властивостями, завжди зберігає максвеллівську форму.
Розмову було присвячено спектру Фермі сповільнюваних нейтронів, але її було зміщено до спектра теплових нейтронів, щоб підкреслити два важливі моменти:
- по-перше, між цими двома енергетичними спектрами в критичному тепловому реакторі існує якийсь поки що нечіткий взаємозв'язок: будь-яка, навіть найменша, зміна в спектрі теплових нейтронів обов'язково має потягти за собою зміну й у спектрі сповільнюваних нейтронів, і, навпаки, зміна у спектрі Фермі має позначитися й на максвеллівському розподілі теплових нейтронів; цей взаємозв'язок можна було б передбачити й без поглибленого екскурсу в спектри, якщо просто по-матеріалістичному увірувати в те, що всією поведінкою сповільнюваних і теплових нейтронів керує одне Середовище, тільки Середовище й виключно Середовище; це Воно, завдяки притаманним йому природним властивостям, єдиним чином, з єдиною закономірністю народжує з певною швидкістю швидкі нейтрони поділу, сповільнює їх із певною (пов'язаною зі швидкістю генерації швидких нейтронів) інтенсивністю, поглинає їх із певною (пов'язаною зі швидкостями генерації та сповільнення) швидкістю й визначає швидкість витоку нейтронів з будь-якого мікрооб'єму,- і вся ця природна зумовленість притаманна нейтронам будь-якої енергії; іншими словами, Середовище в силу своїх природних властивостей і розставляє всі нейтрони за енергіями в єдиний енергетичний спектр, що не є ні спектром Ватта, ні спектром Фермі, ні спектром Максвелла;
- по-друге, хоча спектри Ватта, Фермі й Максвелла і відображають закономірності народження, сповільнення й поглинання нейтронів, зв'язати їх в єдиний аналітичний вираз для єдиного енергетичного спектра реактора не вдається, оскільки спектри Ватта й Максвелла нормовано відповідно на один нейтрон поділу й тепловий нейтрон, а спектр Фермі - взагалі не є нормованим.
Не варто сприймати сказане як критику наявної фізичної теорії реакторів: радше це її чергова проблема, з якою будь-якій людині, пов'язаній з ядерною енергетикою, слід бути знайомою. Бо її розв'язання радикальним чином змінить не лише систему теоретичних уявлень і полегшить їх сприйняття: мають відкритися нові можливості для швидких інженерних розрахунків і аналізу експлуатаційної безпеки будь-яких реакторів.
Поки що ж ми змушені задовольнятися згаданою тріадою енергетичних спектрів і для розрахунків критичних властивостей реакторів користуватися громіздкими (хоч і наближеними) обчисленнями за допомогою ЕОМ.