Игнорируя вывод, приведём конечный вид спектра Ферми (с выводом можно познакомиться, например в [8]).
Распределение величины плотности потока замедляющихся нейтронов в непоглощающих средах (имеются в виду свойства не поглощать замедляющиеся нейтроны, а не тепловые) оказывается подчинённым закономерности:
Ф(E) = qf/(ξΣsE) (5.6.1)
Это выражение справедливо как для простой однородной среды, так и для сложных гомогенных сред, состоящих из нескольких сортов замедляющих ядер. В этом случае в формулу (5.6.1) подставляется сумма значений замедляющей способности k компонентов сложной среды:
k
ξΣs = ξ1Σs1 + ξ2Σs2+ ξ3Σs3 + ... + ξkΣsk = Σ(ξiΣsi) (5.6.2)
i=1
Учитывая классическую зависимость кинетической энергии нейтрона от его скорости (E = mv2/2) и связь плотности потока и плотности нейтронов одинаковой скорости
Ф(E) = n(E) v(E) = n(E) √(2E/m) = √(2/m) n(E)E1/2,
выражение для спектра замедляющихся нейтронов можно записать так:
n(E) = qf √(m/2) /(ξΣs E3/2) (5.6.3)
Таким образом, величина плотности замедляющихся нейтронов по энергиям в непоглощающей среде распределяется по закону "E-3/2", то есть плавно возрастает с уменьшением энергии нейтронов в процессе их замедления, и столь же плавно (без скачков и изломов) переходит при E = Eс в максвелловский спектр тепловых нейтронов (рис.5.9).
Рис.5.9. Граница тепловых и замедляющихся нейтронов - энергия сшивки энергетических спектров Максвелла и Ферми (Eс).
Уже отмечалось, что об энергетическом спектре нейтронов в реакторе имеет смысл говорить только для критического реактора, так как любой энергетический спектр в поглощающей среде имеет динамически-равновесный характер: плотность нейтронов любой энергии E поддерживается неизменной во времени в любом единичном объёме за счёт неизменной разницы скоростей:
- прихода замедляющихся нейтронов на уровень энергии E из области более высоких энергий;
- ухода замедляющихся нейтронов с уровня энергии E в область более низких энергий;
- появления в единичном объёме новых нейтронов энергии E за счёт делений ядер (если таковые имеются в рассматриваемом единичном объёме);
- поглощения нейтронов при энергии E (если в единичном объёме наличествуют резонансные поглотители) и
- утечки нейтронов энергии E из рассматриваемого единичного объёма (понимая под утечкой разницу скоростей ухода и прихода нейтронов с энергией E в этом единичном объёме).
В рамках одногруппового возрастного приближения договорились считать, что поглощение в диапазоне энергий замедления отсутствует, а заметное поглощение замедляющихся нейтронов в реальных средах учитывать с помощью вероятности избежания резонансного захвата (φ). В этом приближении среда активной зоны поглощает только тепловые нейтроны. И если предполагать, что энергетический спектр тепловых нейтронов - максвелловского типа, величина и положение максимума на шкале энергий в нём явно должны зависеть от поглощающей характеристики среды (Σa) и замедляющей способности среды (ξΣs) в области энергий перехода от замедляющихся нейтронов к тепловым (то есть в области энергии сшивки Eс) и ниже (то есть в пределах самого спектра тепловых нейтронов).
Действительно, поскольку в тепловой области энергий микросечения поглощения изменяются по закону "1/v" (или"E1/2"), то основное поглощение тепловых нейтронов происходит при более низких энергиях левого крыла спектра Максвелла; чем выше величина микросечения поглощения активной зоны sa (а значит - и Σa), тем больше тепловых нейтронов поглощается при E < Eнв, тем больше "выедание" левого крыла спектра, а это значит, что положение максимума спектра (характеризуемое Eнв - наиболее вероятной энергией тепловых нейтронов) с увеличением поглощающей способности среды должно смещаться вправо, в область более высоких энергий; иначе говоря, с увеличением поглощающих свойств среды энергетический спектр тепловых нейтронов ужестчается. Но, т.к. положение максимума в спектре тепловых нейтронов определяет температуру нейтронов Tн (ведь Eнв= kTн), то можно выразиться иначе: с увеличением поглощающих свойств среды повышается температура нейтронов в ней. И чем больше величина макросечения поглощения среды (Σa) - тем больше величина температуры нейтронов в ней (Tн) отклоняется от её термодинамической температуры (T) в сторону увеличения.
С другой стороны, чем выше величина замедляющей способности среды (ξΣs), тем с большей скоростью пополняется за счёт замедления нейтронов весь спектр тепловых нейтронов (в том числе и его левое крыло), и поэтому положение его максимума, наоборот, смещается влево, в область более низких энергий, т.е. с увеличением замедляющей способности среды спектр тепловых нейтронов умягчается, и температура тепловых нейтронов в среде с лучшими замедляющими свойствами меньше отличается от термодинамической температуры этой среды по сравнению со средой с более слабыми замедляющими свойствами.
Таким образом получается, что температура нейтронов Tн находится в прямой зависимости от величины Σa среды активной зоны и в обратной зависимости - от ξΣs.
Это дало повод к предположению, что обе зависимости являются пропорциональными, что дает лёгкую возможность построить полуэмпирические зависимости для расчёта температуры нейтронов в тепловом реакторе:
Tн = Tз[1 + 1.8 (Σa/ξΣs)] - для уран-водных гомогенных сред, и (5.6.4)
Tн = Tз[1 + 0.91(AΣa/Σs)] - для случаев использования других замедлителей (с массовым числом A) (5.6.5)
Таким образом, температура нейтронов в тепловом реакторе - величина, прямо-пропорциональная термодинамической температуре активной зоны и величине, обратной коэффициенту замедления среды в ней.
Приведённые формулы получены, строго говоря, для гомогенных смесей топлива и замедлителя, однако, с достаточной точностью могут служить и для оценки температуры нейтронов в гетерогенных активных зонах реакторов соответствующих типов, для чего в них должны подставляться средняя термодинамическая температура замедлителя Tз и величины гомогенизированных макросечений активной зоны Σa и Σs.
*) Гипотеза насчет пропорциональности Tн,Tз и обратного коэффициента замедления являлась бы строго-доказательной только в том случае, если бы было строго доказано, что энергетический спектр тепловых нейтронов, как бы ни деформировала его среда своими поглощающими и замедляющими свойствами, всегда сохраняет максвелловскую форму.
Разговор был посвящен фермиевскому спектру замедляющихся нейтронов, но был смещен к спектру тепловых нейтронов, чтобы подчеркнуть два важных момента:
- во-первых, между двумя этими энергетическими спектрами в критическом тепловом реакторе существует какая-то неясная пока взаимосвязь: любое, самое малейшее, изменение в спектре тепловых нейтронов обязательно должно повлечь за собой изменение и в спектре замедляющихся нейтронов, и, наоборот, изменение в фермиевском спектре должно отразиться и на максвелловском распределении тепловых нейтронов; эту взаимосвязь можно было бы предсказать и без углубленного экскурса в спектры, если просто по-материалистически уверовать в то, что всем поведением замедляющихся и тепловых нейтронов управляет одна Среда, только Среда и исключительно Среда; это Она, благодаря присущим ей природным свойствам, единым образом, с единой закономерностью рождает с определенной скоростью быстрые нейтроны деления, замедляет их с определенной (связанной со скоростью генерации быстрых нейтронов) интенсивностью, поглощает их с определенной (связанной со скоростями генерации и замедления) скоростью, и определяет скорость утечки нейтронов из любого микрообъёма,- и все это природное предопределение свойственно нейтронам любой энергии; иначе говоря, Среда, в силу своих природных свойств, и расставляет все нейтроны по энергиям в единый энергетический спектр, не являющийся ни спектром Уатта, ни спектром Ферми и ни спектром Максвелла;
- во-вторых, хотя спектры Уатта, Ферми и Максвелла и отражают закономерности рождения, замедления и поглощения нейтронов, связать их в единое аналитическое выражение для единого энергетического спектра реактора не удаётся, так как спектры Уатта и Максвелла нормированы соответственно на один нейтрон деления и тепловой нейтрон, а спектр Ферми - вообще не является нормированным.
Не стоит воспринимать сказанное как критику существующей физической теории реакторов: скорее, это её очередная проблема, с которой любому человеку, связанному с ядерной энергетикой, следует быть знакомым. Потому что её разрешение радикальным образом изменит не только систему теоретических представлений и облегчит их восприятие: должны открыться новые возможности для быстрых инженерных расчётов и анализа эксплуатационной безопасности любых реакторов.
Пока же мы вынуждены довольствоваться упомянутой триадой энергетических спектров и для расчётов критических свойств реакторов пользоваться громоздкими (хотя и приближёнными) вычислениями с помощью ЭВМ.
Распределение величины плотности потока замедляющихся нейтронов в непоглощающих средах (имеются в виду свойства не поглощать замедляющиеся нейтроны, а не тепловые) оказывается подчинённым закономерности:
Ф(E) = qf/(ξΣsE) (5.6.1)
Это выражение справедливо как для простой однородной среды, так и для сложных гомогенных сред, состоящих из нескольких сортов замедляющих ядер. В этом случае в формулу (5.6.1) подставляется сумма значений замедляющей способности k компонентов сложной среды:
k
ξΣs = ξ1Σs1 + ξ2Σs2+ ξ3Σs3 + ... + ξkΣsk = Σ(ξiΣsi) (5.6.2)
i=1
Учитывая классическую зависимость кинетической энергии нейтрона от его скорости (E = mv2/2) и связь плотности потока и плотности нейтронов одинаковой скорости
Ф(E) = n(E) v(E) = n(E) √(2E/m) = √(2/m) n(E)E1/2,
выражение для спектра замедляющихся нейтронов можно записать так:
n(E) = qf √(m/2) /(ξΣs E3/2) (5.6.3)
Таким образом, величина плотности замедляющихся нейтронов по энергиям в непоглощающей среде распределяется по закону "E-3/2", то есть плавно возрастает с уменьшением энергии нейтронов в процессе их замедления, и столь же плавно (без скачков и изломов) переходит при E = Eс в максвелловский спектр тепловых нейтронов (рис.5.9).
Рис.5.9. Граница тепловых и замедляющихся нейтронов - энергия сшивки энергетических спектров Максвелла и Ферми (Eс).
Уже отмечалось, что об энергетическом спектре нейтронов в реакторе имеет смысл говорить только для критического реактора, так как любой энергетический спектр в поглощающей среде имеет динамически-равновесный характер: плотность нейтронов любой энергии E поддерживается неизменной во времени в любом единичном объёме за счёт неизменной разницы скоростей:- прихода замедляющихся нейтронов на уровень энергии E из области более высоких энергий;
- ухода замедляющихся нейтронов с уровня энергии E в область более низких энергий;
- появления в единичном объёме новых нейтронов энергии E за счёт делений ядер (если таковые имеются в рассматриваемом единичном объёме);
- поглощения нейтронов при энергии E (если в единичном объёме наличествуют резонансные поглотители) и
- утечки нейтронов энергии E из рассматриваемого единичного объёма (понимая под утечкой разницу скоростей ухода и прихода нейтронов с энергией E в этом единичном объёме).
В рамках одногруппового возрастного приближения договорились считать, что поглощение в диапазоне энергий замедления отсутствует, а заметное поглощение замедляющихся нейтронов в реальных средах учитывать с помощью вероятности избежания резонансного захвата (φ). В этом приближении среда активной зоны поглощает только тепловые нейтроны. И если предполагать, что энергетический спектр тепловых нейтронов - максвелловского типа, величина и положение максимума на шкале энергий в нём явно должны зависеть от поглощающей характеристики среды (Σa) и замедляющей способности среды (ξΣs) в области энергий перехода от замедляющихся нейтронов к тепловым (то есть в области энергии сшивки Eс) и ниже (то есть в пределах самого спектра тепловых нейтронов).
Действительно, поскольку в тепловой области энергий микросечения поглощения изменяются по закону "1/v" (или"E1/2"), то основное поглощение тепловых нейтронов происходит при более низких энергиях левого крыла спектра Максвелла; чем выше величина микросечения поглощения активной зоны sa (а значит - и Σa), тем больше тепловых нейтронов поглощается при E < Eнв, тем больше "выедание" левого крыла спектра, а это значит, что положение максимума спектра (характеризуемое Eнв - наиболее вероятной энергией тепловых нейтронов) с увеличением поглощающей способности среды должно смещаться вправо, в область более высоких энергий; иначе говоря, с увеличением поглощающих свойств среды энергетический спектр тепловых нейтронов ужестчается. Но, т.к. положение максимума в спектре тепловых нейтронов определяет температуру нейтронов Tн (ведь Eнв= kTн), то можно выразиться иначе: с увеличением поглощающих свойств среды повышается температура нейтронов в ней. И чем больше величина макросечения поглощения среды (Σa) - тем больше величина температуры нейтронов в ней (Tн) отклоняется от её термодинамической температуры (T) в сторону увеличения.
С другой стороны, чем выше величина замедляющей способности среды (ξΣs), тем с большей скоростью пополняется за счёт замедления нейтронов весь спектр тепловых нейтронов (в том числе и его левое крыло), и поэтому положение его максимума, наоборот, смещается влево, в область более низких энергий, т.е. с увеличением замедляющей способности среды спектр тепловых нейтронов умягчается, и температура тепловых нейтронов в среде с лучшими замедляющими свойствами меньше отличается от термодинамической температуры этой среды по сравнению со средой с более слабыми замедляющими свойствами.
Таким образом получается, что температура нейтронов Tн находится в прямой зависимости от величины Σa среды активной зоны и в обратной зависимости - от ξΣs.
Это дало повод к предположению, что обе зависимости являются пропорциональными, что дает лёгкую возможность построить полуэмпирические зависимости для расчёта температуры нейтронов в тепловом реакторе:
Tн = Tз[1 + 1.8 (Σa/ξΣs)] - для уран-водных гомогенных сред, и (5.6.4)
Tн = Tз[1 + 0.91(AΣa/Σs)] - для случаев использования других замедлителей (с массовым числом A) (5.6.5)
Таким образом, температура нейтронов в тепловом реакторе - величина, прямо-пропорциональная термодинамической температуре активной зоны и величине, обратной коэффициенту замедления среды в ней.
Приведённые формулы получены, строго говоря, для гомогенных смесей топлива и замедлителя, однако, с достаточной точностью могут служить и для оценки температуры нейтронов в гетерогенных активных зонах реакторов соответствующих типов, для чего в них должны подставляться средняя термодинамическая температура замедлителя Tз и величины гомогенизированных макросечений активной зоны Σa и Σs.
*) Гипотеза насчет пропорциональности Tн,Tз и обратного коэффициента замедления являлась бы строго-доказательной только в том случае, если бы было строго доказано, что энергетический спектр тепловых нейтронов, как бы ни деформировала его среда своими поглощающими и замедляющими свойствами, всегда сохраняет максвелловскую форму.
Разговор был посвящен фермиевскому спектру замедляющихся нейтронов, но был смещен к спектру тепловых нейтронов, чтобы подчеркнуть два важных момента:
- во-первых, между двумя этими энергетическими спектрами в критическом тепловом реакторе существует какая-то неясная пока взаимосвязь: любое, самое малейшее, изменение в спектре тепловых нейтронов обязательно должно повлечь за собой изменение и в спектре замедляющихся нейтронов, и, наоборот, изменение в фермиевском спектре должно отразиться и на максвелловском распределении тепловых нейтронов; эту взаимосвязь можно было бы предсказать и без углубленного экскурса в спектры, если просто по-материалистически уверовать в то, что всем поведением замедляющихся и тепловых нейтронов управляет одна Среда, только Среда и исключительно Среда; это Она, благодаря присущим ей природным свойствам, единым образом, с единой закономерностью рождает с определенной скоростью быстрые нейтроны деления, замедляет их с определенной (связанной со скоростью генерации быстрых нейтронов) интенсивностью, поглощает их с определенной (связанной со скоростями генерации и замедления) скоростью, и определяет скорость утечки нейтронов из любого микрообъёма,- и все это природное предопределение свойственно нейтронам любой энергии; иначе говоря, Среда, в силу своих природных свойств, и расставляет все нейтроны по энергиям в единый энергетический спектр, не являющийся ни спектром Уатта, ни спектром Ферми и ни спектром Максвелла;
- во-вторых, хотя спектры Уатта, Ферми и Максвелла и отражают закономерности рождения, замедления и поглощения нейтронов, связать их в единое аналитическое выражение для единого энергетического спектра реактора не удаётся, так как спектры Уатта и Максвелла нормированы соответственно на один нейтрон деления и тепловой нейтрон, а спектр Ферми - вообще не является нормированным.
Не стоит воспринимать сказанное как критику существующей физической теории реакторов: скорее, это её очередная проблема, с которой любому человеку, связанному с ядерной энергетикой, следует быть знакомым. Потому что её разрешение радикальным образом изменит не только систему теоретических представлений и облегчит их восприятие: должны открыться новые возможности для быстрых инженерных расчётов и анализа эксплуатационной безопасности любых реакторов.
Пока же мы вынуждены довольствоваться упомянутой триадой энергетических спектров и для расчётов критических свойств реакторов пользоваться громоздкими (хотя и приближёнными) вычислениями с помощью ЭВМ.