Збереження енергії можна зрозуміти, лише якщо є формули для всіх її видів. Я зараз розгляну формулу для енергії тяжіння поблизу земної поверхні; я хочу вивести її, але не так, як вона вперше історично була отримана, а за допомогою спеціально придуманої для цієї лекції нитки міркувань. Я хочу показати вам той примітний факт, що кількох спостережень і суворого міркування достатньо, щоб дізнатися про природу дуже й дуже багато. Ви побачите, у чому полягає робота фізика-теоретика. Виведення підказане блискучими міркуваннями Карно про ККД теплових машин.
Розгляньмо вантажопідіймальні машини, здатні піднімати один вантаж, опускаючи при цьому інший. Припустімо ще, що вічний рух цих машин неможливий. (Саме неприпустимість вічного руху і є загальним формулюванням закону збереження енергії.) Визначаючи вічний рух, потрібно бути дуже обережним. Зробімо це спершу для вантажопідіймальних машин. Якщо ми підняли й опустили якісь вантажі, відновили попередній стан машини і після цього виявили, що в підсумку вантаж піднятий, то ми отримали вічний двигун: піднятий вантаж може привести в рух щось інше. Тут суттєво, щоб машина, яка підняла вантаж, повернулася у початкове положення і щоб вона ні від чого не залежала (щоб не отримувала із зовнішнього джерела енергію для підйому вантажу, словом, щоб не приходив у гості Шкіряна Панчоха зі своїми кубиками).
Дуже проста вантажопідіймальна машина показана на фіг. 4.1. Вона піднімає потрійну вагу. На одну чашу терезів кладуть три одиниці ваги, на іншу — одну. Щоправда, щоб вона й справді запрацювала, з лівої чаші необхідно зняти хоч крихітний вантажик. І навпаки, щоб підняти одиничний вантаж, опускаючи потрійний, теж потрібно трохи схитрувати й прибрати з правої чаші частину вантажу. Ми розуміємо, що в справжній підіймальній машині треба створити невелике перевантаження на один бік, щоб підняти інший. Але поки махнемо на це рукою. Ідеальні машини, хоча їх насправді й немає, не потребують перевісу. Машини, якими ми фактично користуємося, можна вважати в певному сенсі майже оборотними, т. е. якщо вони піднімають потрійну вагу за допомогою одиничної, то вони можуть підняти також майже одиничну вагу, опускаючи потрійну.
Уявімо, що є два класи машин — необоротні (сюди входять усі реальні машини) і оборотні, яких насправді не існує; хоч би як ретельно виготовляти підшипники, важелі тощо, таких машин однаково не побудуєш. Але ми все ж припустимо, що оборотна машина існує і здатна, опустивши одиничний вантаж (кілограм чи грам — байдуже) на одиничну довжину, підняти водночас потрійний вантаж. Назвемо цю оборотну машину машиною А. Покладемо, що ця оборотна машина піднімає потрійний вантаж на висоту X. Далі припустімо, що є інша машина В, не обов'язково оборотна, яка теж опускає одиничну вагу на одиницю довжини, але піднімає потрійну вагу на висоту Y. Тепер можна довести, що Y не більше X, тобто що не можна спорудити машину, яка змогла б підняти вантаж вище, ніж оборотна. Чому? Погляньте. Нехай Y вище X.
Ми беремо одиничну вагу й опускаємо її на одиницю довжини машиною В, тим самим піднімаючи потрійний вантаж на висоту Y. Потім ми можемо опустити вантаж із висоти Y до X, отримавши вільну енергію, і ввімкнути оборотну машину А у зворотний бік, щоб опустити потрійний вантаж на X і підняти одиничну вагу на одиничну висоту. Одинична вага опиниться там, де вона була раніше, і обидві машини виявляться здатними почати роботу знову! Отже, якщо Y більше X, то виникає вічний двигун, а ми припустили, що такого не буває. Ми доходимо висновку, що Y не вище X, тобто з усіх машин, які можна спорудити, оборотна — найкраща.
Легко зрозуміти також, що всі оборотні машини повинні піднімати вантаж на одну й ту саму висоту. Покладемо, що машина В також оборотна. Те, що Y не більше X, залишається, звісно, правильним, але ми можемо пустити машину у зворотний бік, повторити ті самі міркування й отримати, що X не більше Y. Це дуже знаменне спостереження, бо воно дозволяє дізнатися, на яку висоту різні машини можуть піднімати вантажі, не заглядаючи в їхню внутрішню будову. Якщо хтось придумав неймовірно заплутану систему важелів для підйому потрійної ваги на якусь висоту за рахунок опускання одиничної ваги на одиницю висоти і якщо ми порівняємо цю машину з простим оборотним важелем, здатним зробити те саме, то перша машина не підніме вагу вище за другу (радше навпаки). А якщо його машина оборотна, то ми знаємо точно, на яку висоту вона підніматиме вантажі.
Висновок: кожна оборотна машина, хоч би як вона діяла, опускаючи 1 кг на 1 м, завжди піднімає 3 кг на одну й ту саму висоту X. Ясно, що ми довели дуже корисний загальний закон. Але виникає питання: чому дорівнює X?
Нехай у нас є оборотна машина, здатна піднімати 3 кг за рахунок 1 кг на висоту X. Помістимо три кулі на стелаж (як на фіг. 4.2).
Оборотна машина.
а — початкове положення;
б — завантаження куль;
в — 1 кг піднімає 3 кг на висоту X;
г — розвантаження куль;
д — відновлення;
е — кінцеве положення.
Четверта лежить на підставці в одному метрі від підлоги. Машина може підняти три кулі, опустивши одну кулю на 1 м. Влаштуємо рухому платформу з трьома полицями висотою X, і нехай висота полиць стелажа теж буде X (фіг. 4.2,а). Перекотимо спершу кулі зі стелажа на полиці платформи (фіг. 4.2,б); припустимо, що для цього енергії не знадобиться, тому що полиці й стелаж перебувають на одній висоті. Потім увімкнемо оборотну машину: вона скотить одиничну кулю на підлогу і підійме платформу на висоту X (фіг. 4.2,в). Але ми сконструювали платформу настільки дотепно, що кулі знову опинилися точно на рівні полиць стелажа. Розвантажимо ж кулі з платформи на стелаж (фіг. 4.2,г). Після розвантаження машина повернеться у початкове положення. Тепер уже три кулі лежать на трьох верхніх полицях стелажа, а четверта куля— на підлозі. Але дивіться, яка дивна річ: по суті. дві кулі ми не піднімали зовсім, адже на полицях 2 і 3 кулі як лежали спочатку, так лежать і тепер. У підсумку піднялася лише одна куля, зате на висоту 3X. Якби висота 3X виявилася більшою за 1 м, то можна було б опустити кулю, щоб повернути машину до початкових умов (фіг. 4.2,е) і почати роботу спочатку. Отже, висота 3X не може бути більшою за 1 м, бо почнеться вічний рух. Точно так само можна довести, що 1 м не може бути більшим за 3X: машина оборотна, пустімо її назад і доведімо. Отже, 3X ні більше, ні менше 1 м. Ми відкрили за допомогою самих лише міркувань закон: Х = 11з м. Узагальнити його легко: 1 кг падає при роботі оборотної машини з певної висоти; тоді машина здатна підняти р кг на 1/р висоти. Якщо, іншими словами, 3 кг помножити на висоту їхнього підйому (X), то це дорівнює 1 кг, помноженому на висоту його падіння (1 м). Помноживши всі вантажі в машині на висоту, на якій вони лежать, дайте машині попрацювати й знову помножте всі ваги на їхні висоти підйому; у підсумку має вийти те саме. (Ми перейшли від випадку, коли рухався лише один вантаж, до випадку, коли за рахунок опускання одного вантажу піднімається кілька вантажів. Але це, сподіваюся, зрозуміло?) Назвемо суму ваг, помножених на висоту, потенціальною енергією тяжіння, т. е. енергією, якою володіє тіло внаслідок свого положення в просторі стосовно землі. Формула для енергії тяжіння, поки тіло не надто далеко від землі (вага при підйомі слабшає), така:
Дуже проста вантажопідіймальна машина показана на фіг. 4.1. Вона піднімає потрійну вагу. На одну чашу терезів кладуть три одиниці ваги, на іншу — одну. Щоправда, щоб вона й справді запрацювала, з лівої чаші необхідно зняти хоч крихітний вантажик. І навпаки, щоб підняти одиничний вантаж, опускаючи потрійний, теж потрібно трохи схитрувати й прибрати з правої чаші частину вантажу. Ми розуміємо, що в справжній підіймальній машині треба створити невелике перевантаження на один бік, щоб підняти інший. Але поки махнемо на це рукою. Ідеальні машини, хоча їх насправді й немає, не потребують перевісу. Машини, якими ми фактично користуємося, можна вважати в певному сенсі майже оборотними, т. е. якщо вони піднімають потрійну вагу за допомогою одиничної, то вони можуть підняти також майже одиничну вагу, опускаючи потрійну.
Уявімо, що є два класи машин — необоротні (сюди входять усі реальні машини) і оборотні, яких насправді не існує; хоч би як ретельно виготовляти підшипники, важелі тощо, таких машин однаково не побудуєш. Але ми все ж припустимо, що оборотна машина існує і здатна, опустивши одиничний вантаж (кілограм чи грам — байдуже) на одиничну довжину, підняти водночас потрійний вантаж. Назвемо цю оборотну машину машиною А. Покладемо, що ця оборотна машина піднімає потрійний вантаж на висоту X. Далі припустімо, що є інша машина В, не обов'язково оборотна, яка теж опускає одиничну вагу на одиницю довжини, але піднімає потрійну вагу на висоту Y. Тепер можна довести, що Y не більше X, тобто що не можна спорудити машину, яка змогла б підняти вантаж вище, ніж оборотна. Чому? Погляньте. Нехай Y вище X.
Ми беремо одиничну вагу й опускаємо її на одиницю довжини машиною В, тим самим піднімаючи потрійний вантаж на висоту Y. Потім ми можемо опустити вантаж із висоти Y до X, отримавши вільну енергію, і ввімкнути оборотну машину А у зворотний бік, щоб опустити потрійний вантаж на X і підняти одиничну вагу на одиничну висоту. Одинична вага опиниться там, де вона була раніше, і обидві машини виявляться здатними почати роботу знову! Отже, якщо Y більше X, то виникає вічний двигун, а ми припустили, що такого не буває. Ми доходимо висновку, що Y не вище X, тобто з усіх машин, які можна спорудити, оборотна — найкраща.
Легко зрозуміти також, що всі оборотні машини повинні піднімати вантаж на одну й ту саму висоту. Покладемо, що машина В також оборотна. Те, що Y не більше X, залишається, звісно, правильним, але ми можемо пустити машину у зворотний бік, повторити ті самі міркування й отримати, що X не більше Y. Це дуже знаменне спостереження, бо воно дозволяє дізнатися, на яку висоту різні машини можуть піднімати вантажі, не заглядаючи в їхню внутрішню будову. Якщо хтось придумав неймовірно заплутану систему важелів для підйому потрійної ваги на якусь висоту за рахунок опускання одиничної ваги на одиницю висоти і якщо ми порівняємо цю машину з простим оборотним важелем, здатним зробити те саме, то перша машина не підніме вагу вище за другу (радше навпаки). А якщо його машина оборотна, то ми знаємо точно, на яку висоту вона підніматиме вантажі.
Висновок: кожна оборотна машина, хоч би як вона діяла, опускаючи 1 кг на 1 м, завжди піднімає 3 кг на одну й ту саму висоту X. Ясно, що ми довели дуже корисний загальний закон. Але виникає питання: чому дорівнює X?
Нехай у нас є оборотна машина, здатна піднімати 3 кг за рахунок 1 кг на висоту X. Помістимо три кулі на стелаж (як на фіг. 4.2).
Оборотна машина.а — початкове положення;
б — завантаження куль;
в — 1 кг піднімає 3 кг на висоту X;
г — розвантаження куль;
д — відновлення;
е — кінцеве положення.
Четверта лежить на підставці в одному метрі від підлоги. Машина може підняти три кулі, опустивши одну кулю на 1 м. Влаштуємо рухому платформу з трьома полицями висотою X, і нехай висота полиць стелажа теж буде X (фіг. 4.2,а). Перекотимо спершу кулі зі стелажа на полиці платформи (фіг. 4.2,б); припустимо, що для цього енергії не знадобиться, тому що полиці й стелаж перебувають на одній висоті. Потім увімкнемо оборотну машину: вона скотить одиничну кулю на підлогу і підійме платформу на висоту X (фіг. 4.2,в). Але ми сконструювали платформу настільки дотепно, що кулі знову опинилися точно на рівні полиць стелажа. Розвантажимо ж кулі з платформи на стелаж (фіг. 4.2,г). Після розвантаження машина повернеться у початкове положення. Тепер уже три кулі лежать на трьох верхніх полицях стелажа, а четверта куля— на підлозі. Але дивіться, яка дивна річ: по суті. дві кулі ми не піднімали зовсім, адже на полицях 2 і 3 кулі як лежали спочатку, так лежать і тепер. У підсумку піднялася лише одна куля, зате на висоту 3X. Якби висота 3X виявилася більшою за 1 м, то можна було б опустити кулю, щоб повернути машину до початкових умов (фіг. 4.2,е) і почати роботу спочатку. Отже, висота 3X не може бути більшою за 1 м, бо почнеться вічний рух. Точно так само можна довести, що 1 м не може бути більшим за 3X: машина оборотна, пустімо її назад і доведімо. Отже, 3X ні більше, ні менше 1 м. Ми відкрили за допомогою самих лише міркувань закон: Х = 11з м. Узагальнити його легко: 1 кг падає при роботі оборотної машини з певної висоти; тоді машина здатна підняти р кг на 1/р висоти. Якщо, іншими словами, 3 кг помножити на висоту їхнього підйому (X), то це дорівнює 1 кг, помноженому на висоту його падіння (1 м). Помноживши всі вантажі в машині на висоту, на якій вони лежать, дайте машині попрацювати й знову помножте всі ваги на їхні висоти підйому; у підсумку має вийти те саме. (Ми перейшли від випадку, коли рухався лише один вантаж, до випадку, коли за рахунок опускання одного вантажу піднімається кілька вантажів. Але це, сподіваюся, зрозуміло?) Назвемо суму ваг, помножених на висоту, потенціальною енергією тяжіння, т. е. енергією, якою володіє тіло внаслідок свого положення в просторі стосовно землі. Формула для енергії тяжіння, поки тіло не надто далеко від землі (вага при підйомі слабшає), така:
Зображення
Чи не правда, дуже гарне міркування? Питання лише в тому, чи справедливе воно. (Адже, зрештою, природа не зобов'язана дотримуватися наших міркувань.) Наприклад, не виключено, що насправді вічний рух можливий. Або інші припущення хибні. Або ми проглянули щось у своїх міркуваннях. Тому їх неодмінно потрібно перевірити. І ось — справедливість їх підтверджує дослід.
Потенціальна енергія — це загальна назва для енергії, пов'язаної з розташуванням стосовно чогось. У цьому окремому випадку це — потенціальна енергія тяжіння. Якщо ж виконується робота проти електричних сил, а не сил тяжіння, якщо ми «піднімаємо» заряди «над» іншими зарядами за допомогою численних важелів, тоді запас енергії називається електричною потенціальною енергією. Загальний принцип полягає в тому, що зміни енергії дорівнюють силі, помноженій на ту відстань, на якій вона діє:
Зображення
У міру читання курсу ми ще не раз повертатимемося до інших видів потенціальної енергії.
Принцип збереження енергії за багатьох обставин виявляється дуже корисним при передбаченні того, що може статися. У середній школі ми вчили чимало правил про блоки й важелі. Ми можемо тепер переконатися, що всі ці «закони» зводяться до одного, і немає потреби запам'ятовувати 75 правил. Ось вам простий приклад: похила площина. Нехай це трикутник зі сторонами 3, 4, 5 (фіг. 4.3). Підвісимо до блочка вантаж вагою 1 кг і покладемо його на площину, а з другого боку підвісимо вантаж W.
Зображення
Ми хочемо знати, якою має бути вага W, щоб зрівноважити вантаж 1 кг. Міркуємо так. Якщо вантажі W і 1 кг зрівноважені, то це — оборотний стан, і мотузку можна рухати вгору—вниз. Нехай же спочатку (фіг. 4.3,а) 1 кг перебуває внизу площини, а вантаж W — нагорі. Коли W ковзне вниз, вантаж 1 кг опиниться нагорі, a W опуститься на довжину схилу (фіг. 4.3,6), т. е. на 5 м. Але ж ми підняли 1 кг лише на висоту 3 м, хоча опустили W на 5 м. Отже, W = 3/5 кг. Зауважте, що цей спритний висновок отримано не з розкладання сил, а зі збереження енергії. Спритність, утім, відносна.
Існує інше виведення, значно гарніше. Воно придумане Стевіном і навіть висічене на його надгробку. Фіг. 4.4 пояснює, чому має вийти 3/5 кг: ланцюг не обертається і нижня його частина зрівноважена сама собою, отже сила тяги п'яти ланок з одного боку має зрівняти силу тяги трьох ланок з іншого (за довжиною сторін). Дивлячись на діаграму, стає очевидно, що W = 3/5 кг. (Непогано було б, якби колись щось подібне висікли і на вашому надгробному камені.)
А ось задача складніша: домкрат, показаний на фіг. 4.5. Подивімося, як у такому разі застосовувати цей принцип. Для обертання домкрата слугує ручка довжиною 1 м, а нарізка гвинта має 4 витки на 1 см. Яку силу потрібно прикласти до ручки, щоб підняти 1 т? Бажаючи підняти 1 т на 1 см, ми повинні обійти домкрат чотири рази, щоразу проходячи по 6,28 м (2πr), a всього 25,12 м. Використовуючи різні блоки і т. п., ми справді можемо підняти 1 т за допомогою невідомого вантажу W, прикладеного до кінця ручки. Ясно, що W дорівнює приблизно 400 г. Це — наслідок збереження енергії.
І ще складніший приклад (фіг. 4.6). Підіпремо один кінець стрижня (або рейки) довжиною 8 м. Посередині рейки помістимо вантаж вагою 60 кг, а в 2 м від підпори — вантаж вагою 100 кг. Скільки треба сили, щоб утримати рейку за другий кінець у рівновазі, нехтуючи її вагою? Нехай ми прикріпили блок і перекинули через нього мотузку, прив'язавши її до кінця рейки. Якою ж має бути вага W, що зрівноважує стрижень? Уявімо, що вага опустилася на довільну відстань (для простоти нехай це буде 4 см); на скільки тоді підіймуться наші два вантажі? Середина рейки на 2 см, а другий вантаж (він лежить на чверті довжини рейки) на 1 см. Отже, згідно з правилом, що сума ваг, помножених на висоти, не змінюється, ми повинні написати: вага W на 4 см вниз плюс 60 кг на 2 см вгору плюс 100 кг на 1 см вгору, що після додавання має дати нуль:
Існує інше виведення, значно гарніше. Воно придумане Стевіном і навіть висічене на його надгробку. Фіг. 4.4 пояснює, чому має вийти 3/5 кг: ланцюг не обертається і нижня його частина зрівноважена сама собою, отже сила тяги п'яти ланок з одного боку має зрівняти силу тяги трьох ланок з іншого (за довжиною сторін). Дивлячись на діаграму, стає очевидно, що W = 3/5 кг. (Непогано було б, якби колись щось подібне висікли і на вашому надгробному камені.)
А ось задача складніша: домкрат, показаний на фіг. 4.5. Подивімося, як у такому разі застосовувати цей принцип. Для обертання домкрата слугує ручка довжиною 1 м, а нарізка гвинта має 4 витки на 1 см. Яку силу потрібно прикласти до ручки, щоб підняти 1 т? Бажаючи підняти 1 т на 1 см, ми повинні обійти домкрат чотири рази, щоразу проходячи по 6,28 м (2πr), a всього 25,12 м. Використовуючи різні блоки і т. п., ми справді можемо підняти 1 т за допомогою невідомого вантажу W, прикладеного до кінця ручки. Ясно, що W дорівнює приблизно 400 г. Це — наслідок збереження енергії.
І ще складніший приклад (фіг. 4.6). Підіпремо один кінець стрижня (або рейки) довжиною 8 м. Посередині рейки помістимо вантаж вагою 60 кг, а в 2 м від підпори — вантаж вагою 100 кг. Скільки треба сили, щоб утримати рейку за другий кінець у рівновазі, нехтуючи її вагою? Нехай ми прикріпили блок і перекинули через нього мотузку, прив'язавши її до кінця рейки. Якою ж має бути вага W, що зрівноважує стрижень? Уявімо, що вага опустилася на довільну відстань (для простоти нехай це буде 4 см); на скільки тоді підіймуться наші два вантажі? Середина рейки на 2 см, а другий вантаж (він лежить на чверті довжини рейки) на 1 см. Отже, згідно з правилом, що сума ваг, помножених на висоти, не змінюється, ми повинні написати: вага W на 4 см вниз плюс 60 кг на 2 см вгору плюс 100 кг на 1 см вгору, що після додавання має дати нуль:
Зображення
Виходить, щоб утримати рейку, вистачить 55 кг. Таким же шляхом можна розробити закони «рівноваги» — статику складних мостових споруд і т. д. Такий підхід називають принципом віртуальної (т. е. можливої чи уявної) роботи, тому що для його застосування ми зобов'язані уявити собі, що наша система трохи зсунулася, навіть якщо вона насправді не рухалася або зовсім нездатна рухатися. Ми використовуємо невеликі уявні рухи, щоб застосувати принцип збереження енергії.