Больцмана розподіл, статистично рівноважна функція розподілу за імпульсами р і координатами r частинок ідеального газу, молекули якого рухаються за законами класичної механіки, у зовнішньому потенціальному полі:
Тут p2/2m — кінетична енергія молекули масою m, U(ν) — її потенціальна енергія у зовнішньому полі, Т — абсолютна температура газу. Стала А визначається з умови, що сумарне число частинок, які перебувають у різних можливих станах, дорівнює повному числу частинок у системі (умова нормування).
Больцмана розподіл є окремим випадком канонічного розподілу Гіббса для ідеального газу у зовнішньому потенціальному полі, оскільки за відсутності взаємодії між частинками розподіл Гіббса розпадається на добуток Больцмана розподілу для окремих частинок. Больцмана розподіл при U=0 дає Максвелла розподіл. Функцію розподілу (1) іноді називають розподілом Максвелла — Больцмана, а розподілом Больцмана називають функцію розподілу (1), проінтегровану за всіма імпульсами частинок і таку, що являє собою густину числа частинок у точці ν:
Больцмана розподіл є окремим випадком канонічного розподілу Гіббса для ідеального газу у зовнішньому потенціальному полі, оскільки за відсутності взаємодії між частинками розподіл Гіббса розпадається на добуток Больцмана розподілу для окремих частинок. Больцмана розподіл при U=0 дає Максвелла розподіл. Функцію розподілу (1) іноді називають розподілом Максвелла — Больцмана, а розподілом Больцмана називають функцію розподілу (1), проінтегровану за всіма імпульсами частинок і таку, що являє собою густину числа частинок у точці ν:
де n0— густина числа частинок системи за відсутності зовнішнього поля. Відношення густин числа частинок у різних точках залежить від різниці значень потенціальної енергії в цих точках
де ΔU= U(ν1)-U(ν2). Зокрема, з (3) випливає барометрична формула, що визначає розподіл газу за висотою в полі тяжіння над земною поверхнею. У цьому разі ΔU=mgh, де g — прискорення вільного падіння, m — маса частинки, h — висота над земною поверхнею. Для суміші газів з різною масою частинок Больцмана розподіл показує, що розподіл парціальних густин частинок для кожного з компонентів незалежний від інших компонентів. Для газу в обертовій посудині U (r) визначає потенціал поля відцентрових сил U (r)=-mω2r2/2, де ω — кутова швидкість обертання. На цьому ефекті ґрунтується розділення ізотопів і високодисперсних систем за допомогою ультрацентрифуги.
Для квантових ідеальних газів стан окремих частинок визначається не імпульсами і координатами, а квантовими рівнями енергії Εi частинки в полі U(r). У цьому разі середнє число частинок в i-тому квантовому стані, або середнє число заповнення, дорівнює:
Для квантових ідеальних газів стан окремих частинок визначається не імпульсами і координатами, а квантовими рівнями енергії Εi частинки в полі U(r). У цьому разі середнє число частинок в i-тому квантовому стані, або середнє число заповнення, дорівнює:
де μ — хімічний потенціал, що визначається з умови, що сумарне число частинок на всіх квантових рівнях Εi дорівнює повному числу частинок N у системі: Σini=N. Формула (4) справедлива при таких температурах і густинах, коли середня відстань між частинками значно більша за довжину хвилі де Бройля, що відповідає середній тепловій швидкості, тобто коли можна знехтувати не тільки силовою взаємодією частинок, а й їхнім взаємним квантовомеханічним впливом (немає квантового виродження газу). (див. Вироджений газ). Таким чином, Больцмана розподіл є граничним випадком як Фермі — Дірака розподілу, так і Бозе — Ейнштейна розподілу для газів малої густини.