Наскільки нам відомо зараз, не лише закони Ньютона, а й усі фізичні закони мають дві властивості, які називають інваріантністю (або симетрією) відносно переміщень і поворотів координатних осей. Ці властивості настільки важливі, що для їх урахування при вивченні фізичних законів була розроблена спеціальна математична техніка.
Розв'язання поставлених у попередніх параграфах задач вимагало досить довгих розрахунків. Щоб звести їх до мінімуму, винайдено могутній математичний апарат. Ця система, звана векторним аналізом, визначила назву розділу, хоча в ньому, власне кажучи, йдеться про симетрію фізичних законів. Звичайно, можна отримати шуканий результат, чинячи так, як було описано раніше, але, щоб полегшити й пришвидшити наше завдання, ми застосовуємо техніку векторного аналізу.
Зазначимо, що у фізиці важливо знати величини двох типів (насправді їх більше двох, але почнімо з двох). Величини першого типу, наприклад число картоплин у мішку, ми будемо називати звичайними числами, або скалярами. Ще одним прикладом такої величини може слугувати температура. Інші дуже важливі у фізиці величини мають напрямок, це, наприклад, швидкість; ми повинні задати не тільки швидкість переміщення тіла, але й шлях, яким воно рухається. Імпульс і сила теж мають напрямок, як і зміщення: коли хтось робить крок, можна сказати не тільки, як далеко він ступив, але й куди він ступає, тобто визначити напрямок його руху.
Усі величини, які мають напрямок, подібно до кроку в просторі, називаються векторами.
Вектор визначається трьома числами. Щоб описати крок, скажімо, з початку координат у точку Р, визначувану координатами х, у і z, ми фактично повинні задати три числа. Але ми будемо використовувати для цієї мети один-єдиний математичний символ r, з яким нам найчастіше доведеться мати справу надалі. Це не одне число: символ r задається трьома числами: х, у і z. Символ r означає три числа, але не тільки ці три числа, тому що при переході до іншої системи координат потрібно замінити їх числами х`, у` і z`. Однак ми хочемо якомога більше спростити нашу математику і використовуємо один і той самий символ як представника трьох чисел х, у, z і трьох чисел х`, у`, z`. Точніше кажучи, ми використовуємо один і той самий символ як представника першого набору чисел в одній системі координат і робимо його представником другого набору чисел, якщо захочемо змінити систему координат. Це зручно тому, що нам не доведеться змінювати форми рівнянь при переході від однієї системи координат до іншої. Якщо ми записуємо рівняння, використовуючи координати х, у і z, а потім змінюємо систему відліку, то з'являються координати х`, у` і z`, але ми пишемо просто r, домовившись, що цей символ слугує представником х, у, z, якщо ми користуємося першою системою відліку, і х`, у`, z`, якщо ми перейшли до іншої системи. Три числа, які описують векторну величину в заданій системі відліку, називаються складовими (компонентами) вектора в напрямку координатних осей системи відліку. Інакше кажучи, ми використовуємо один символ для позначення трьох літер, і він відповідає спостереженню одного й того самого об'єкта з трьох різних точок зору. Промовляючи слова «один і той самий об'єкт», ми звертаємося до нашої фізичної інтуїції, яка каже нам, що крок у просторі не залежить від того, якими складовими ми його описуємо. Отже, символ r представляє один і той самий об'єкт незалежно від того, як ми орієнтуємо осі системи відліку.
Припустімо тепер, що існує інша спрямована величина, наприклад сила — ще одна величина, яку можна визначити, задавши пов'язані з нею три числа. Ці три числа переходять при зміні системи координат в інші три числа за строго визначеними математичними правилами. Ці правила повинні бути тими самими, які визначали перехід трійки чисел х, у, z у х`, у`, z`. Іншими словами, вектор — це величина, визначувана трьома числами, які перетворюються при змінах системи координат так само, як складові кроку в просторі. Рівняння типу
F = r
справедливе в будь-якій системі координат, якщо воно правильне хоча б в одній з них. Воно замінює нам три рівняння
Fx = х, Fy = у, Fz = z
або відповідно
Fx` = x`, Fy` = y`, Fz` = z`.
Той факт, що фізичні співвідношення між якимись величинами можна виразити у вигляді векторних рівнянь, свідчить про те, що ці співвідношення справедливі в будь-якій системі координат. Ось чому поняття вектора дуже зручне у фізиці. Розгляньмо тепер деякі властивості векторів. Як приклад «вектора» можна навести швидкість, імпульс, силу й прискорення. Часто буває зручно зобразити вектор у вигляді стрілки, яка вказує напрямок дії. Але чому ж можна подати силу стрілкою? Та тому, що вона перетворюється за тими самими законами, що й «крок у просторі». Саме тому можна подати силу у вигляді креслення, наче зображувалося переміщення, причому виберемо такий масштаб, щоб одиниця сили, наприклад ньютон, відповідала якійсь довжині. Проробивши таку процедуру один раз, ми завжди зможемо зображати сили у вигляді відрізків, тому що рівняння типу
F = kr
(де k— якась стала) має цілком певний сенс. Можливість подавати силу відрізком дає нам великі вигоди, тому що, зобразивши відрізок або стрілку, можна не дбати про координатні осі. При цьому, звичайно, завжди можна швидко підрахувати, як змінюються складові вектора при поворотах осей, тому що справа зводиться до простої геометричної побудови.
F = r
справедливе в будь-якій системі координат, якщо воно правильне хоча б в одній з них. Воно замінює нам три рівняння
Fx = х, Fy = у, Fz = z
або відповідно
Fx` = x`, Fy` = y`, Fz` = z`.
Той факт, що фізичні співвідношення між якимись величинами можна виразити у вигляді векторних рівнянь, свідчить про те, що ці співвідношення справедливі в будь-якій системі координат. Ось чому поняття вектора дуже зручне у фізиці. Розгляньмо тепер деякі властивості векторів. Як приклад «вектора» можна навести швидкість, імпульс, силу й прискорення. Часто буває зручно зобразити вектор у вигляді стрілки, яка вказує напрямок дії. Але чому ж можна подати силу стрілкою? Та тому, що вона перетворюється за тими самими законами, що й «крок у просторі». Саме тому можна подати силу у вигляді креслення, наче зображувалося переміщення, причому виберемо такий масштаб, щоб одиниця сили, наприклад ньютон, відповідала якійсь довжині. Проробивши таку процедуру один раз, ми завжди зможемо зображати сили у вигляді відрізків, тому що рівняння типу
F = kr
(де k— якась стала) має цілком певний сенс. Можливість подавати силу відрізком дає нам великі вигоди, тому що, зобразивши відрізок або стрілку, можна не дбати про координатні осі. При цьому, звичайно, завжди можна швидко підрахувати, як змінюються складові вектора при поворотах осей, тому що справа зводиться до простої геометричної побудови.