Тепер ми повинні описати закони, або правила, що регулюють можливі сполучення різних векторів. Насамперед ми вивчимо суму двох векторів. Нехай вектори а і b задаються в якійсь системі координат складовими аx, ay, az і bx, by, bz. Припустімо, що комусь спало на думку скласти три числа аx + bx, ay + by, az + bz. Чи отримаємо ми в результаті вектор? Ви можете сказати: «Звісно, адже це три числа, а три числа утворюють вектор». Ні, вектор утворюють не будь-які три числа! Щоб задати вектор, ми повинні пов'язати задані нам три числа з координатною системою так, щоб при повороті координатних осей ці числа «поверталися» відносно одне одного і «перемішувалися» за описаними раніше правилами. Таким чином, ми повинні з'ясувати, на що перетворюються числа аx + bx, ay + by, az + bz, якщо відомо, що при зміні системи координат числа аx, ay, az переходять в ах`, ay`, az`, а bx, by, bz переходять в bx`, by`, bz`. Чи отримаємо ми після повороту координатних осей числа ах` + bx`, ay` + by`, az` + bz`? Відповідь, звичайно, буде ствердною, тому що наше основне рівняння (11.5) визначає так зване лінійне перетворення. Якщо ми застосуємо це перетворення до аx + bx і обчислимо ах` + bx`, то виявиться, що перетворене аx + bx є тим самим, що і ах` + bx`. «Додаючи» вектори а і b за щойно описаним правилом, ми отримуємо новий вектор с. Ми запишемо це так:
с = а + b.
Вектор с має цікаву властивість:
c = b+ a;
це легко перевірити, написавши складові вектора с. Крім того,
а +(b+ с) = (а +b) + с.
Вектори можна додавати в будь-якому порядку.
Який геометричний сенс а + b? Як виглядатиме вектор с, якщо ми, скажімо, зобразимо а і b за допомогою стрілок? Відповідь на це питання дає фіг. 11.4. Ми бачимо, що додати складові вектора b до складових вектора а найпростіше, приклавши відповідним чином прямокутник, визначуваний складовими b, до такого самого прямокутника, визначуваного складовими а. Оскільки а і b добре підігнані до своїх прямокутників, то це все одно, що поставити вектор b «ногами» на «голову» вектору а. Стрілка, що з'єднує «ноги» вектора а і «голову» вектора b, і буде вектором с. Можна вчинити інакше: поставити «ноги» а на «голову» b. Згадавши геометричні властивості паралелограма, можна переконатися в тому, що ми знову отримаємо той самий вектор с. Зазначимо, що, ставлячи вектори один на одного, ми додаємо їх без допомоги координатних осей.
Припустімо, що ми помножили вектор а на число α. Що потрібно розуміти під таким добутком? Домовимося розуміти під цим вектор із компонентами αаx, αаy, αаz. Доведіть самі, що це справді вектор.
Розгляньмо тепер віднімання векторів. Можна визначити віднімання тим самим способом, що й додавання, але замість того, щоб додавати, будемо віднімати складові. Можна також визначити віднімання як додавання з від'ємним вектором — b = (—1)b. Результат буде той самий.
Віднімання векторів показано на фіг. 11.5. На цьому кресленні зображено d = а—b = а + (—b); зазначимо також, що, знаючи вектори а і b, різницю а—b можна легко знайти з еквівалентного співвідношення а = b + d. Таким чином знайти різницю векторів навіть легше, ніж суму: просто потрібно провести вектор, що з'єднує b і а, і ви отримаєте а—b!
Перейдемо тепер до швидкості. Чому швидкість є вектором? Якщо координати точки дорівнюють х, г/, z, то швидкість її дорівнює dx/dt, dy/dt, dz/dt. Вектор це чи не вектор? Диференціюючи вираз (11.5), можна знайти закон перетворення dx`/dt. Видно, що величини dx/dt, dy/dt перетворюються за тим самим законом, що і х та у. Таким чином, швидкість є вектором. Вираз для швидкості можна записати дуже цікаво:
v = dr/dt.
Спробуймо наочніше уявити собі, що таке швидкість і чому вона вектор. Чи далеко просунеться частинка за малий час Δt? Відповідь: на Δr, тобто якщо частинка перебуває «тут» у першу мить, а «там» — у другу, то векторна різниця положень частинки дорівнює вектору Δr=r2—r1, розташованому вздовж напрямку руху. Як це виглядає, показано на фіг. 11.6. Якщо поділити цей вектор на проміжок часу Δt = t2—t1, то ми отримаємо вектор «середньої швидкості».
Іншими словами, під вектором швидкості ми розуміємо границю різниці радіус-векторів, що відповідають моментам t + Δt і t, поділеної на Δt при Δt, що прямує до нуля:
с = а + b.
Вектор с має цікаву властивість:
c = b+ a;
це легко перевірити, написавши складові вектора с. Крім того,
а +(b+ с) = (а +b) + с.
Вектори можна додавати в будь-якому порядку.
Який геометричний сенс а + b? Як виглядатиме вектор с, якщо ми, скажімо, зобразимо а і b за допомогою стрілок? Відповідь на це питання дає фіг. 11.4. Ми бачимо, що додати складові вектора b до складових вектора а найпростіше, приклавши відповідним чином прямокутник, визначуваний складовими b, до такого самого прямокутника, визначуваного складовими а. Оскільки а і b добре підігнані до своїх прямокутників, то це все одно, що поставити вектор b «ногами» на «голову» вектору а. Стрілка, що з'єднує «ноги» вектора а і «голову» вектора b, і буде вектором с. Можна вчинити інакше: поставити «ноги» а на «голову» b. Згадавши геометричні властивості паралелограма, можна переконатися в тому, що ми знову отримаємо той самий вектор с. Зазначимо, що, ставлячи вектори один на одного, ми додаємо їх без допомоги координатних осей.
Припустімо, що ми помножили вектор а на число α. Що потрібно розуміти під таким добутком? Домовимося розуміти під цим вектор із компонентами αаx, αаy, αаz. Доведіть самі, що це справді вектор.
Розгляньмо тепер віднімання векторів. Можна визначити віднімання тим самим способом, що й додавання, але замість того, щоб додавати, будемо віднімати складові. Можна також визначити віднімання як додавання з від'ємним вектором — b = (—1)b. Результат буде той самий.
Віднімання векторів показано на фіг. 11.5. На цьому кресленні зображено d = а—b = а + (—b); зазначимо також, що, знаючи вектори а і b, різницю а—b можна легко знайти з еквівалентного співвідношення а = b + d. Таким чином знайти різницю векторів навіть легше, ніж суму: просто потрібно провести вектор, що з'єднує b і а, і ви отримаєте а—b!
Перейдемо тепер до швидкості. Чому швидкість є вектором? Якщо координати точки дорівнюють х, г/, z, то швидкість її дорівнює dx/dt, dy/dt, dz/dt. Вектор це чи не вектор? Диференціюючи вираз (11.5), можна знайти закон перетворення dx`/dt. Видно, що величини dx/dt, dy/dt перетворюються за тим самим законом, що і х та у. Таким чином, швидкість є вектором. Вираз для швидкості можна записати дуже цікаво:v = dr/dt.
Спробуймо наочніше уявити собі, що таке швидкість і чому вона вектор. Чи далеко просунеться частинка за малий час Δt? Відповідь: на Δr, тобто якщо частинка перебуває «тут» у першу мить, а «там» — у другу, то векторна різниця положень частинки дорівнює вектору Δr=r2—r1, розташованому вздовж напрямку руху. Як це виглядає, показано на фіг. 11.6. Якщо поділити цей вектор на проміжок часу Δt = t2—t1, то ми отримаємо вектор «середньої швидкості».
Іншими словами, під вектором швидкості ми розуміємо границю різниці радіус-векторів, що відповідають моментам t + Δt і t, поділеної на Δt при Δt, що прямує до нуля:Зображення
Швидкість є вектором остільки, оскільки вона дорівнює різниці двох векторів. Це правильно також і тому, що складові цього вектора дорівнюють dx/dt, dy/dt, dz/dt. Подумавши над тим, що зараз було пророблено, ми дійдемо висновку, що, продиференціювавши будь-який вектор за часом, ми знову отримаємо якийсь новий вектор. Таким чином, є кілька способів отримувати нові вектори: 1) множачи вектор на стале число; 2) диференціюючи вектор за часом; 3) додаючи два вектори або віднімаючи.