Обчислення пружних сталих

Останнє питання в теорії пружності, яке я розберу,— це спроба обчислити пружні сталі матеріалу, виходячи з деяких властивостей атомів, що складають цей матеріал. Ми розглянемо простий випадок іонного кубічного кристала типу хлористого натрію. Розмір або форма деформованого кристала змінюються. Такі зміни призводять до збільшення потенціальної енергії кристала. Для обчислення зміни енергії деформації слід знати, куди йде кожен атом. Щоб зробити повну енергію якомога меншою, атоми в ґратці складних кристалів перегруповуються досить складним чином. Це доволі сильно ускладнює обчислення енергії деформації. Але зрозуміти, що виходить у випадку простого кубічного кристала, все-таки можна. Збурення всередині кристала будуть геометрично подібні до збурень його зовнішніх граней.
 
Пружні сталі кубічного кристала можна обчислити таким чином. Насамперед ми припустимо наявність деякого закону взаємодії між кожною парою атомів у кристалі. Потім обчислимо зміну внутрішньої енергії кристала при відхиленні від рівноважної форми. Це дасть нам співвідношення між енергією і деформацією, яке квадратичне за деформаціями. Порівнюючи енергію, отриману таким способом, з рівнянням (39.13), можна ідентифікувати коефіцієнти при кожному доданку з пружними сталими C_ijkl.
У нашому прикладі ми будемо припускати такий простий закон взаємодії: між сусідніми атомами діють центральні сили, маючи на увазі, що вони діють уздовж лінії, яка з'єднує два сусідні атоми. Ми очікуємо, що сили в іонних кристалах повинні бути саме такого типу, бо в основі їх лежить проста кулонівська взаємодія. (При ковалентному зв'язку сили зазвичай складніші, бо вони призводять і до бокового тиску на сусідні атоми; але нам усі ці ускладнення ні до чого.) Крім того,  ми збираємося врахувати тільки силу взаємодії кожного атома з найближчим до нього і наступними поблизу сусідами. Іншими словами, ми будемо робити наближення, в якому знехтуємо силами між далекими атомами. На фіг. 39.10,а показано сили в площині ху, які ми будемо враховувати. Слід ще врахувати відповідні сили в площинах yz і zx.
 
Оскільки нас цікавлять лише пружні сталі, які описують малі деформації, і, отже,  у  виразі для енергії нам потрібні лише доданки, квадратичні за деформаціями, то можна вважати, що сили між кожною парою атомів змінюються з переміщенням лінійно. Тому для наочності можна уявляти, що кожна пара атомів з'єднана «лінійною» пружинкою (фіг. 39.10, б). Усі пружинки між атомами натрію і хлору повинні мати одну й ту саму пружну сталу, скажімо k₁. Пружинки між двома атомами натрію і двома атомами хлору можуть мати різні сталі, але я хочу спростити наші міркування, і тому вважатиму ці сталі рівними. Позначимо їх через k₂. (Пізніше, коли ми подивимося, як підуть обчислення, ви зможете повернутися назад і зробити їх різними.)
 
Припустімо тепер, що кристал збурено однорідною деформацією, яка описується тензором е_ij. У загальному випадку в нього будуть компоненти, що містять x, у і z, але ми для більшої наочності розглянемо лише деформації з трьома компонентами: е_хх,е_xy і е_yy . Якщо один з атомів обрати за початок координат, то переміщення будь-якого іншого атома задається рівнянням типу (39.9):
Назвемо атом з координатами x=у=0 «атомом 1», а номери його сусідів показані на фіг. 39.11. Позначаючи сталу ґратки через a, ми отримуємо x- і y-компоненти переміщення u_x, u_y , виписані в табл. 39.1

Тепер можна обчислити енергію, запасену в пружинках, яка дорівнює добутку k/2 на квадрат розтягнення кожної пружинки.   Так,   енергія горизонтальної пружинки між атомами 1 і 2 дорівнюватиме

Зауважте, що з точністю до першого порядку (1-переміщення атома 2 не змінює довжини пружинки між атомами 1 і 2. Однак, щоб отримати енергію деформації діагональної пружинки, тієї, що йде до атома 3, нам потрібно обчислити зміну довжини як через вертикальне, так і через горизонтальне переміщення.

Для малих відхилень від початку координат куба зміну відстані до атома 3 можна записати у вигляді суми компонент и_x і u_y у діагональному напрямку:

Скориставшись величинами и_x і u_y. можна отримати вираз для енергії

Для повної енергії всіх пружинок у площині  ху  нам потрібна сума восьми членів типу (39.43) і (39.44). Позначаючи цю енергію через U₀ , отримуємо

Щоб знайти повну енергію всіх пружинок, пов'язаних з атомом 1, ми повинні зробити деяку добавку до рівняння (39.45). Хоча нам потрібні лише x- і y-компоненти деформації, вклад у них дає ще деяка додаткова енергія, пов'язана з діагональними сусідами поза площиною ху. Ця додаткова енергія дорівнює

Пружні сталі пов'язані з густиною енергії w рівнянням (39.13). Енергія, яку ми обчислили, пов'язана з одним атомом, точніше це подвоєна енергія, що припадає на один атом, бо на кожен з двох атомів, з'єднаних пружинкою, повинно припадати по 1/2 її енергії. Оскільки в одиниці об'єму міститься 1/а³  атомів,   то w і U₀  пов'язані співвідношенням

Щоб знайти пружні сталі C_ijkl, потрібно лише звести до квадрата суми в дужках у рівнянні (39.45), додати (39.46) і порівняти коефіцієнти при e_ije_kl з відповідними коефіцієнтами в рівнянні (39.13). Наприклад, збираючи доданки з е²_xx і е²_yy , ми знаходимо, що множник при ньому дорівнює

У решти доданків нам зустрінеться невелике ускладнення. Оскільки ми не можемо відрізнити добуток e_xxe_yy від е_yyе_xx, то коефіцієнт при ньому у виразі для енергії дорівнює сумі двох членів у рівнянні (39.13). Коефіцієнт при e_xxe_yy у рівнянні (39.45) дорівнює 2k₂, так що отримуємо

Однак через симетрію виразу для енергії при перестановці двох перших значень із двома останніми можна вважати, що С_xxyy– С_yухx, тому

Таким самим способом можна отримати

Зауважте, нарешті, що будь-який член, що містить один раз значок x або y, дорівнює нулю, як це було знайдено раніше з міркувань симетрії. Підсумуємо наші результати:

Отже, виявилося, що ми здатні пов'язати макроскопічні пружні сталі з атомними властивостями, які проявляються в сталих k₁ і k₂ . У нашому окремому випадку С_xyxy =С_xxyy . Ці члени для кубічного кристала, як ви, ймовірно, помітили з ходу обчислень, виявляються завжди рівними, які б сили ми не брали до уваги, але тільки за умови, що сили діють уздовж лінії, яка з'єднує кожну пару атомів, тобто доти, поки сили між атомами подібні до пружинок і не мають бокової складової (яка безсумнівно існує при ковалентному зв'язку).
 
Наші обчислення можна порівняти з експериментальними вимірюваннями пружних сталих. У табл. 39.2 наведено спостережувані величини трьох пружних коефіцієнтів для деяких кубічних кристалів. Ви, ймовірно, звернули увагу на те, що С_xxyy, взагалі кажучи, не дорівнює С_xyxy . Причина полягає в тому, що в металах, подібних до натрію і калію, міжатомні сили не спрямовані вздовж лінії, яка з'єднує атоми, як передбачалося в нашій моделі. Алмаз теж не підкоряється цьому закону, бо сили в алмазі — це ковалентні сили, які мають особливу властивість спрямованості: «пружинки» вважають за краще пов'язувати атоми, розташовані у вершинах тетраедра. Такі іонні кристали, як фтористий літій або хлористий натрій і т. д., мають майже всі фізичні властивості, передбачені в нашій моделі; згідно з даними табл. 39.2, сталі С_xxyy і С_xyxy у них майже рівні. Тільки хлористе срібло чомусь не хоче підкорятися умові С_ххуу = С_хуху.