Тензор деформації

У попередньому розділі ми говорили про збурення пружних тіл у простих випадках. У цьому розділі ми подивимось, що може відбуватися всередині пружного матеріалу в загальному випадку. Як описати умови напруження й деформації у великому шматку желе, скрученому і стисненому якимось дуже складним чином? Для цього потрібно описати локальну деформацію в кожній точці пружного тіла, а це можна зробити, задавши в ній набір із шести чисел — компонент симетричного тензора. Раніше (у розд. 31) ми говорили про тензор напружень, тепер же нам знадобиться тензор деформації.
 
Припустімо, що ми взяли недеформований матеріал і, докладаючи напруження, спостерігаємо за рухом маленької плямки домішки, що потрапила всередину. Плямка, яка спочатку перебувала в точці P і мала положення r=(x, y, z), переміщується в нову точку P′, тобто в положення r′=(х′, у′, z′), як це показано на фіг. 39.1. Ми будемо позначати через u вектор переміщення з точки P у точку Р′, тобто

Переміщення u залежить, звісно, від точки P, з якої воно виходить, так що и є векторною функцією від r або від (x, y, z).
 
Спочатку розглянемо найпростіший випадок, коли деформація по всьому матеріалу стала, тобто те, що називається однорідною деформацією. Припустімо, наприклад, що ми взяли балку з якогось матеріалу і рівномірно її розтягнули. Інакше кажучи, ми просто рівномірно змінили її розмір в одному напрямку, скажімо в напрямку осі x (фіг. 39.2). Переміщення и_x плямки з координатою x пропорційне самому x. Справді,

Ми будемо записувати u_x таким чином:

Розуміється, стала пропорційності е_хх— це те саме, що наше старе відношення Δl/l. (Скоро ви побачите, чому нам знадобився подвійний індекс.)
 
Якщо ж деформація неоднорідна, то зв'язок між x і и_x у матеріалі змінюватиметься від точки до точки. У такому загальному випадку ми визначимо е_хх як своєрідну локальну величину Δl/l, тобто

Це число, яке тепер буде функцією x, у і z, описує величину розтягнення в напрямку осі x по всьому шматку желе. Можливі, звісно, розтягнення і в напрямку осей y і z. Ми будемо описувати їх величинами

Крім того, нам потрібно описати деформації типу зсувів. Уявіть, що в спочатку незбуреному желе ви виділили маленький кубик. Натиснувши на желе, ми змінюємо його форму, і наш кубик може перетворитися на паралелограм (фіг. 39.3). При такій деформації переміщення в напрямку x кожної частинки пропорційне її координаті y:

а переміщення в напрямку y пропорційне x:

Таким чином, деформацію зсувного типу можна описати за допомогою

Тепер ви вважатимете, що при неоднорідній деформації узагальнену деформацію зсуву можна описати, визначивши величини e_xy, e_yx таким чином:

Однак тут є певна трудність. Припустімо, що переміщення и_x і и_y мають вигляд

Вони нагадують рівняння (39.4) і (39.5), за винятком того, що при u_y, стоїть обернений знак. При такому переміщенні маленький кубик із желе зазнає простого повороту на кут θ/2 (фіг. 39.4). Жодної деформації тут узагалі немає, а є просто обертання в просторі. При цьому жодного збурення матеріалу не відбувається, а відносне положення всіх атомів зовсім не змінюється. Потрібно якось влаштувати так, щоб чисте обертання не входило в наше визначення деформації зсуву. Підказкою може слугувати те, що якщо ∂и_y /∂х і ∂и_x/∂у рівні й протилежні, жодного напруження немає; цього можна досягти, визначивши

Для чистого повороту обидва вони дорівнюють нулю, але для чистого зсуву ми отримуємо, як і хотіли, е_ху = е_yx  .
 
У найзагальнішому випадку збурення, яке поряд зі зсувом може включати розтягнення або стиснення, ми будемо визначати стан деформації заданням дев'яти чисел:

Вони  утворюють  компоненти  тензора  деформації.   Оскільки тензор цей симетричний  (за нашим  визначенням, е_xy    завжди дорівнює е_yx ), то насправді різних чисел тут лише шість. Ви пам'ятаєте (див. розд. 31) загальну властивість усіх тензорів — його елементи перетворюються при повороті подібно до добутку компонент двох векторів. (Якщо А і В — вектори, то C_ij = A_iB_j— тензор.) А кожне наше e_ij є добутком (або сумою таких добутків) компонент вектора u= (u_x, u_y, u_z)  і  оператора ∇ = (∂/∂_x, ∂/∂_y, ∂/∂_z),  який,  як
ми знаємо, перетворюється подібно до вектора. Давайте замість x, у і z писати x₁, x₂ і x₃, а замість и_x, и_y і u_z писати и₁ и₂ і u₃; тоді загальний вигляд елемента тензора e_ij виглядатиме так:

де індекси i і j можуть набувати значень 1, 2 або 3.
 
Коли ми маємо справу з однорідною деформацією, яка може включати як розтягнення, так і зсуви, то всі e_ij- — сталі, і ми можемо написати

(Початок координат обрано в точці, де u дорівнює нулю.) У цих випадках тензор деформації e_ij дає співвідношення між двома векторами — вектором координати r = (x, y, z) і вектором переміщення u = (и_x, и_y , и_z).
 
Якщо ж деформація неоднорідна, то будь-який шматочок желе може бути якось викривлений і, крім того, можуть виникнути місцеві повороти. Коли всі збурення малі, ми отримуємо

що описує поворот. Нам нема потреби турбуватися про повороти; займемося тільки деформацією, яка описується симетричним тензором e_ij.