Тепер, щоб описати деформації, ми маємо пов'язати їх із внутрішніми силами — з напруженнями в матеріалі. Ми припускаємо, що закон Гука справедливий для будь-якого шматочка матеріалу, тобто що напруження всюди пропорційні деформаціям. У розд. 31 ми визначили тензор напружень Sij як i-ту компоненту сили, що діє на одиничній площадці, перпендикулярній до осі j. Закон Гука говорить, що кожна компонента Sij лінійно пов'язана з кожною компонентою напруження. Але оскільки S і e містять по дев'ять компонент, то загалом для опису пружних властивостей матеріалу потрібно 9 X 9 = 81 можливий коефіцієнт. Якщо матеріал однорідний, то всі ці коефіцієнти будуть сталими. Ми позначимо їх Cijkl, визначивши за допомогою рівняння
Зображення
де кожний значок i, j, k і l може набувати значень 1, 2 або 3. Оскільки коефіцієнти Cijkl пов'язують один тензор з іншим, вони теж утворюють тензор — цього разу тензор четвертого рангу. Ми можемо назвати його тензором пружності.
Припустімо, що всі Cijkl відомі і що до тіла якоїсь довільної форми ми доклали складні сили. При цьому виникнуть усі сорти деформацій — тіло якось викривиться. Якими будуть переміщення? Ви розумієте, що це доволі складна задача. Якщо вам відомі деформації, то з рівняння (39.12) можна знайти напруження, і навпаки. Але напруження і деформації, які виникли в будь-якій точці, залежать від того, що відбувається в усій іншій частині матеріалу.
Найпростіший спосіб підступитися до такої задачі — це подумати про енергію. Коли сила F пропорційна переміщенню x, скажімо F = kx, то робота, витрачена на будь-яке переміщення x, дорівнює kх2/2. Подібним же чином енергія w, запасена в будь-якій одиниці об'єму деформованого матеріалу, виявляється рівною
Припустімо, що всі Cijkl відомі і що до тіла якоїсь довільної форми ми доклали складні сили. При цьому виникнуть усі сорти деформацій — тіло якось викривиться. Якими будуть переміщення? Ви розумієте, що це доволі складна задача. Якщо вам відомі деформації, то з рівняння (39.12) можна знайти напруження, і навпаки. Але напруження і деформації, які виникли в будь-якій точці, залежать від того, що відбувається в усій іншій частині матеріалу.
Найпростіший спосіб підступитися до такої задачі — це подумати про енергію. Коли сила F пропорційна переміщенню x, скажімо F = kx, то робота, витрачена на будь-яке переміщення x, дорівнює kх2/2. Подібним же чином енергія w, запасена в будь-якій одиниці об'єму деформованого матеріалу, виявляється рівною
Зображення
Повна ж робота W, витрачена на деформацію всього тіла, буде інтегралом від w по всьому його об'єму:
Зображення
Отже, це і є потенціальна енергія, запасена у внутрішніх напруженнях матеріалу. Коли тіло перебуває в рівновазі, ця внутрішня енергія повинна бути мінімальною. Таким чином, проблему визначення деформацій у тілі можна розв'язати знаходженням таких переміщень и по всьому тілу, при яких W мінімальна. У розд. 19 (вип. 6) я розповідав вам про деякі загальні ідеї варіаційного числення, яке застосовується при розв'язанні задач на мінімізацію подібного роду. Однак зараз ми більше не будемо заглиблюватися в подробиці цієї задачі.
Зараз нас головним чином цікавитиме те, що можна сказати щодо загальних властивостей тензора пружності. Насамперед ясно, що насправді в Cijkl міститься не 81 різний параметр. Оскільки Sij і eij — симетричні тензори, кожен з яких включає лише шість різних елементів, то Cijkl складається максимум із 36 різних компонент. Зазвичай же їх набагато менше.
Розглянемо спеціальний випадок кубічного кристала. Густина енергії w для нього виходить такою:
Зараз нас головним чином цікавитиме те, що можна сказати щодо загальних властивостей тензора пружності. Насамперед ясно, що насправді в Cijkl міститься не 81 різний параметр. Оскільки Sij і eij — симетричні тензори, кожен з яких включає лише шість різних елементів, то Cijkl складається максимум із 36 різних компонент. Зазвичай же їх набагато менше.
Розглянемо спеціальний випадок кубічного кристала. Густина енергії w для нього виходить такою:
Зображення
тобто загалом 81 доданок! Але кубічний кристал має певні симетрії. Зокрема, якщо кристал повернути на 90°, то всі його фізичні властивості залишаться тими самими. Наприклад, у нього повинна бути та сама жорсткість щодо розтягнення як у напрямку осі y, так і в напрямку осі x. Отже, якщо ми поміняємо наші визначення осей координат x і y в рівнянні (39.15), то енергія не повинна змінитися. Тому для кубічного кристала
Зображення
Ми можемо ще показати, що компоненти, подібні до Сххху, повинні бути нулями. Кубічний кристал має ту властивість, що він симетричний при відбитті відносно будь-якої площини, перпендикулярної до однієї з осей координат. Якщо ми замінимо y на –y, то нічого не повинно змінитися. Але заміна y на –y змінює еxy на –еху, оскільки переміщення в напрямку +y стане тепер переміщенням у напрямку –y. Щоб енергія при цьому не змінювалася, Сххху повинно переходити в —Сххху. Але відбитий кристал буде тим самим, що й раніше, тому Сххху повинно бути таким самим, як і –Сххху . Це може статися лише тоді, коли обидва вони дорівнюють нулю.
Але ви можете сказати: «Розмірковуючи таким самим чином, можна зробити і Суууу = 0! Це невірно. Адже тут у нас чотири ігреки. Кожен y змінює знак, а чотири мінуси дають плюс. Якщо y зустрічається два або чотири рази, то такі компоненти не повинні дорівнювати нулю. Нулю дорівнюють лише ті компоненти, у яких y зустрічається або один, або три рази. Таким чином, для кубічного кристала не дорівнюють нулю лише ті C, у яких один і той самий значок зустрічається парне число разів. (Міркування, які ми провели для y, мають силу і для x і для z.) Таким чином, виживають лише компоненти типу Сххуу, Схуху, Схуух і т. д. Однак ми вже показали, що якщо змінити всі x на y і навпаки (або всі z на x і т. д.), то для кубічного кристала ми повинні отримати те саме число. Це означає, що залишаються лише три різні ненульові можливості:
Але ви можете сказати: «Розмірковуючи таким самим чином, можна зробити і Суууу = 0! Це невірно. Адже тут у нас чотири ігреки. Кожен y змінює знак, а чотири мінуси дають плюс. Якщо y зустрічається два або чотири рази, то такі компоненти не повинні дорівнювати нулю. Нулю дорівнюють лише ті компоненти, у яких y зустрічається або один, або три рази. Таким чином, для кубічного кристала не дорівнюють нулю лише ті C, у яких один і той самий значок зустрічається парне число разів. (Міркування, які ми провели для y, мають силу і для x і для z.) Таким чином, виживають лише компоненти типу Сххуу, Схуху, Схуух і т. д. Однак ми вже показали, що якщо змінити всі x на y і навпаки (або всі z на x і т. д.), то для кубічного кристала ми повинні отримати те саме число. Це означає, що залишаються лише три різні ненульові можливості:
Зображення
Густина ж енергії для кубічного кристала виглядає так:
Зображення
В ізотропного, тобто некристалічного, матеріалу симетрія ще вища. Числа C повинні бути тими самими при будь-якому виборі осей координат. При цьому, як виявляється, існує інший зв'язок між коефіцієнтами C:
Зображення
Це можна побачити з таких загальних міркувань. Тензор напружень Sij повинен бути пов'язаний з eij способом, який зовсім не залежить від напрямку осей координат, тобто він повинен бути пов'язаний лише за допомогою скалярних величин. «Це дуже просто»,— скажете ви. «Єдиний спосіб отримати Sij з eij— помножити останнє на скалярну сталу. Вийде якраз закон Гука: Sij = (Стала) х еij». Однак це не зовсім вірно. Додатково сюди можна вставити одиничний тензор δij, помножений на деякий скаляр, лінійно пов'язаний з eij. Єдиний інваріант, який можна скласти і який лінійний за e, — це ∑eij. (Він перетворюється подібно до х2 + у2 + z2, а отже, є скаляром.) Таким чином, найзагальнішою формою рівняння, що пов'язує Sij з eij для ізотропного матеріалу, буде
Зображення
(Першу константу зазвичай записують як 2 μ; при цьому коефіцієнт μ дорівнює модулю зсуву, визначеному нами в попередньому розділі.) Сталі μ і λ називаються пружними сталими Ламе. Порівнюючи рівняння (39.20) з рівнянням (39.12), ви бачите, що
Зображення
Таким чином, ми довели, що рівняння (39.19) справді правильне. Ви бачите також, що пружні властивості ізотропного матеріалу, як уже говорилося в попередньому розділі, повністю задаються двома сталими.
Коефіцієнти C можуть бути виражені через будь-які дві з пружних сталих, які використовувалися раніше, наприклад через модуль Юнга Y і відношення Пуассона σ. На вашу долю залишаю показати, що
Коефіцієнти C можуть бути виражені через будь-які дві з пружних сталих, які використовувалися раніше, наприклад через модуль Юнга Y і відношення Пуассона σ. На вашу долю залишаю показати, що
Зображення
