Перенесення початку

Ми обмежимо наш розгляд законами механіки, яку досить добре вивчили. У попередніх розділах ми встановили, що закони механіки можна звести до трьох справедливих для будь-якої частинки рівнянь:

Це означає, що існує такий спосіб вимірювання відстаней х, у і z уздовж трьох взаємно перпендикулярних осей і сил уздовж цих напрямків, при якому визначені рівняннями (11.1) закони справджуються. Відстані повинні відлічуватися від якогось початку, але де слід розташувати цей початок? Ньютон сказав нам тільки, що така точка, від якої можна почати відлік, існує; можливо, це центр Всесвіту, і при вимірюванні відстаней від нього його закони справедливі. Але ми можемо негайно показати, що нема потреби шукати центр Всесвіту, бо байдуже, яку точку взяти за початок координат. Іншими словами, припустімо, що є дві людини — Джо, який вибрав початок своєї системи координат у якійсь точці, і Мік, який побудував систему координат, паралельну першій, але прийняв за початок іншу точку (фіг. 11.1), розташовану на відстані а по осі х у його системі.  Коли Джо визначає положення довільної точки в просторі, він знаходить три її координати: х, у і z (зазвичай ми опускаємо вісь z, бо її важко зобразити на нашому кресленні). У системі Міка ця точка матиме інше значення х (щоб відрізнити його, введемо позначення х`) і, взагалі кажучи, інше значення у, хоча в нашому прикладі вони чисельно рівні. Таким чином, ми маємо

Щоб зробити наш аналіз повним, потрібно знати, які сили вимірює Мік. Якщо сила діє вздовж довільної лінії, то під силою вздовж напрямку х ми розуміємо деяку частину загальної сили, яка дорівнює добутку величини сили на косинус кута між напрямком сили і віссю х. Легко побачити, що Мік отримає ті самі проекції сили, які отримав Джо, тобто ми маємо систему рівнянь

Рівняння (11.2) і (11.3) визначають співвідношення між величинами, які використовують Джо і Мік. Тепер поставимо питання так: якщо Джо знає закони Ньютона, то чи будуть вони справедливі, коли їх спробує використати Мік? Чи має значення вибір початку координат? Іншими словами, припустімо, що рівняння (11.1) справедливі, а (11.2) і (11.3) визначають співвідношення між вимірюваними величинами; чи правда, що

Щоб перевірити ці рівняння, двічі продиференціюємо вираз для х` за часом. Насамперед

Припустімо тепер, що початок системи координат, якою користується Мік, зафіксований (не рухається) відносно системи координат Джо, тобто а стала і da/dt = 0; таким чином, отримуємо

і, отже,

Якщо припустити, що вимірювані Джо і Міком маси рівні, то рівняння (11.4а) набуває вигляду

Таким чином, добутки маси на прискорення однакові в обох друзів. Можна отримати й формулу для F_{x`</sub>. Використавши (11.1), ми виявимо
F<sub>x`} = F_x
Отже, закони механіки, з погляду Міка, точнісінько такі самі: він пише закони Ньютона в інших координатах, і ці закони виявляються справедливими. Це означає, що центра Всесвіту немає і закони руху виглядають однаково, з якого б місця їх не спостерігали. Правильне й таке твердження: якщо в якомусь місці встановити пристрій з якимось механізмом, то й у будь-якому іншому місці цей пристрій працюватиме однаково. Чому? Тому що будь-яка машина, яку вивчає Мік, підпорядковується тим самим рівнянням, які описують роботу машини, контрольованої Джо. Оскільки рівняння однакові, то й явища одні й ті самі. Таким чином, доведення того, що апарат на новому місці працюватиме так само, як на попередньому, зводиться до доведення, що віднесені до нової точки простору рівняння відтворюють себе. Тому ми кажемо, що закони фізики симетричні відносно переміщень у просторі, симетричні в тому сенсі, що закони не змінюються при переміщеннях початку системи координат. Звичайно, кожен інтуїтивно знає, що це правда, але цікаво й корисно обговорити математику цього явища.