Щоб записати закони Ньютона у векторній формі, ми повинні навчитися ще дечого і визначити вектор прискорення. Цей вектор дорівнює похідній за часом вектора швидкості, причому легко показати, що його складові дорівнюють другим похідним х, у і z за t:
Зображення
Після цього закони Ньютона можна записати таким чином:
Зображення
Тепер завдання про доведення інваріантності законів Ньютона відносно обертань зводиться до такого: потрібно довести, що а (прискорення) є вектором; це ми вже зробили. Потім потрібно довести, що F (сила) є вектором; це ми припускаємо. Отже, якщо сила є вектором, то рівняння (11.13) виглядатиме однаково в усіх системах координат, бо нам відомо, що прискорення теж вектор. Запис рівнянь у вигляді, що не містить явно х, у, z, привабливий тим, що нам немає потреби виписувати три рівняння щоразу, коли ми хочемо написати закони Ньютона чи інші закони фізики. Ми записуємо те, що виглядає як один закон, хоча фактично, звичайно, це три закони для кожної осі системи координат, тому що будь-яке векторне рівняння містить у собі твердження, що всі складові рівні.
Той факт, що прискорення — це швидкість зміни вектора швидкості, допомагає знайти прискорення в будь-яких, здавалося б, складних обставинах. Припустімо, наприклад, що частинка, рухаючись по якійсь складній кривій (фіг. 11.7), має в момент t1 швидкість v1, а трохи пізніше, в момент t2 швидкість v2. Чому дорівнює прискорення? Відповідь: прискорення дорівнює різниці швидкостей, поділеній на малий проміжок часу; отже, потрібно знати різницю швидкостей. Як же знайти цю різницю? Щоб знайти різницю двох векторів, проведемо вектор через кінці векторів v2 і v1, іншими словами, накреслимо вектор Δ як різницю цих двох векторів. Правильно? Ні! Ми можемо чинити так тільки тоді, коли початки векторів розташовані в одній точці! Віднімати вектори, прикладені до різних точок, безглуздо. Стережіться цього! Щоб відняти вектори, потрібно накреслити іншу схему.
На фіг. 11.8 вектори v1і v2 перенесено паралельно, і вони рівні своїм двійникам, зображеним на фіг. 11.7. Тепер можна поговорити про прискорення. Прискорення, звичайно, просто дорівнює Δv/Δt. Цікаво зазначити, що різницю швидкостей можна розділити на дві частини: можна уявити собі, що прискорення складається з двох складових; Δv|| — вектора, паралельного дотичній до шляху, і вектора Δv_|_, перпендикулярного до цієї дотичної. Ці вектори показано на фіг. 11.8. Дотичне до шляху прискорення дорівнює, природно, лише зміні довжини вектора, тобто зміні величини швидкості v:
Той факт, що прискорення — це швидкість зміни вектора швидкості, допомагає знайти прискорення в будь-яких, здавалося б, складних обставинах. Припустімо, наприклад, що частинка, рухаючись по якійсь складній кривій (фіг. 11.7), має в момент t1 швидкість v1, а трохи пізніше, в момент t2 швидкість v2. Чому дорівнює прискорення? Відповідь: прискорення дорівнює різниці швидкостей, поділеній на малий проміжок часу; отже, потрібно знати різницю швидкостей. Як же знайти цю різницю? Щоб знайти різницю двох векторів, проведемо вектор через кінці векторів v2 і v1, іншими словами, накреслимо вектор Δ як різницю цих двох векторів. Правильно? Ні! Ми можемо чинити так тільки тоді, коли початки векторів розташовані в одній точці! Віднімати вектори, прикладені до різних точок, безглуздо. Стережіться цього! Щоб відняти вектори, потрібно накреслити іншу схему.
На фіг. 11.8 вектори v1і v2 перенесено паралельно, і вони рівні своїм двійникам, зображеним на фіг. 11.7. Тепер можна поговорити про прискорення. Прискорення, звичайно, просто дорівнює Δv/Δt. Цікаво зазначити, що різницю швидкостей можна розділити на дві частини: можна уявити собі, що прискорення складається з двох складових; Δv|| — вектора, паралельного дотичній до шляху, і вектора Δv_|_, перпендикулярного до цієї дотичної. Ці вектори показано на фіг. 11.8. Дотичне до шляху прискорення дорівнює, природно, лише зміні довжини вектора, тобто зміні величини швидкості v:
Зображення
Іншу, поперечну складову прискорення легко обчислити, поглянувши на фіг. 11.7 і 11.8. За короткий час Δt зміна кута між v1 і v2 дорівнює малому куту ΔΘ. Якщо величина швидкості дорівнює v, то
Зображення
прискорення а дорівнює
Зображення
Тепер нам потрібно знати ΔΘ/Δt. Цю величину можна знайти так: якщо в даний момент криву можна приблизно замінити колом радіусом R, то, оскільки за час Δt частинка пройде відстань s = vΔt, зміна кута дорівнює
ΔΘ = v•Δt/R, або ΔΘ/Δt = v/R.
Таким чином, як ми вже встановили раніше,
ΔΘ = v•Δt/R, або ΔΘ/Δt = v/R.
Таким чином, як ми вже встановили раніше,
Зображення
