Робота тіла, що падає

У розд. 4 ми розглянули питання про збереження енергії. При цьому законами Ньютона ми не користувалися. Цікаво тепер подивитися, як виникає збереження енергії через те, що діють ці закони. Для ясності ми почнемо з найпростіших прикладів і поступово будемо їх ускладнювати. Найпростіший приклад збереження енергії — це тіло, що падає вниз, тобто тіло, яке рухається лише у вертикальному напрямку. Якщо воно змінює свою висоту під впливом лише тяжіння, то через рух воно володіє кінетичною енергією Т (або к. е.) Крім того, у нього є потенціальна енергія mgh (скорочено U, або п. е.). Їхня сума стала:

Ми хочемо показати, що це твердження правильне. Що означає довести його правильність? Другий закон Ньютона говорить, як рухається тіло, як з часом змінюється його швидкість (а саме, що при падінні вона зростає пропорційно часу, а висота падіння змінюється як квадрат часу). Якщо тому відмірювати висоту від нульової точки (де тіло спочивало), то не буде нічого дивного в тому, що вона виявиться рівною квадрату швидкості, помноженому на якісь сталі. Однак все ж розглянемо це уважніше. Спробуємо обчислити прямо з другого закону Ньютона, як повинна змінюватися кінетична енергія; ми продиференціюємо кінетичну енергію за часом і потім застосуємо закон Ньютона. Диференціюючи 1/2 mv² за часом, отримуємо

тому що m вважається сталою. Але за другим законом Ньютона m(dv/dt)=F, так що

У загальному випадку виходить F*v, але для нашого одновимірного випадку краще залишити просто добуток сили на швидкість. Сила в нашому простому прикладі стала, дорівнює —mg і напрямлена вниз (знак мінус саме це й показує), а швидкість є ступенем зміни положення по вертикалі (висоти h) з часом. Тому ступінь зміни кінетичної енергії дорівнює —mg(dh/dt). Погляньте: що за диво! Перед нами знову чиясь швидкість зміни — швидкість зміни з часом величини mgh! Тому виходить, що з плином часу зміни в кінетичній енергії і у величині mgh залишаються рівними і протилежними, так що їхня сума залишається незмінною. Що й треба було довести. Ми щойно показали, користуючись Другим законом Ньютона, що для сталих сил енергія зберігається, якщо тільки додавати потенціальну енергію mgh до кінетичної 1/2mv². Дослідимо це питання далі; подивимося, чи можна його узагальнити, чи можна ще просунутися в його розумінні. Чи діє цей закон тільки для вільно падаючих тіл або є більш загальним? З того, що ми знаємо про збереження енергії, можна очікувати, що він буде правильним для тіла, яке рухається з однієї точки в іншу по кривій без тертя і під дією лише тяжіння (фіг. 13.1). Коли тіло, почавши рухатися з висоти Н, досягає висоти h, то знову має бути правильною та сама формула, хоча б швидкість уже не була напрямлена по вертикалі. Нам треба зрозуміти, чому вона все ще правильна. Проведемо той самий аналіз; знайдемо швидкість зміни кінетичної енергії в часі. Знову вийде mv(dv/dt) — швидкість зміни величини імпульсу, тобто сила в напрямку руху — дотична сила F_t. Отже,

Швидкість — це швидкість зміни відстані вздовж кривої ds/dt, а дотична сила F_t тепер виявляється меншою за mg у відношенні, що дорівнює відношенню відстані ds вздовж шляху до вертикальної відстані dh. Іншими словами,

(ds випадає). І знову, як і раніше, ми отримали величину -mg(dh/dt), що дорівнює швидкості зміни mgh. Щоб точно з'ясувати собі, як взагалі дотримується збереження енергії в механіці, розглянемо зараз деякі корисні поняття. По-перше, розглянемо швидкість зміни кінетичної енергії в загальному тривимірному випадку. Кінетична енергія, коли рух має три виміри, дорівнює
T = 1/2*m(v²_x + v²_y + v²_z).
Диференціюючи її по часі, отримуємо три страхітливих члени:

Але ж m(dv_x/dt) — це сила F_x, що діє на тіло в напрямку х. Отже, у правій частині формули (13.4) стоїть F_xv_x + F_yv_y + F_zv_z. Покликавши на допомогу векторний аналіз, згадуємо, що це F·v. Отже,

А можна це вивести й швидше: якщо a і b — два вектори, залежні від часу, то похідна від a*b дорівнює

Підставимо сюди a = b = v:

Оскільки поняття кінетичної енергії і взагалі енергії дуже важливе, то різним величинам у цих рівняннях присвоєні різні імена: 1/2mv² називається, як відомо, кінетичною енергією; F*v називається потужністю: сила, що діє на тіло, помножена («скалярно») на швидкість тіла,— це потужність, яку повідомляє тілу ця сила. Виходить чудова теорема: швидкість зміни кінетичної енергії тіла дорівнює потужності, витраченій силами, що діють на тіло. Але для вивчення збереження енергії аналіз слід продовжити. Оцінімо зміну кінетичної енергії за дуже короткий час dt. Помноживши обидві частини рівняння (13.7) на dt, знайдемо, що зміна кінетичної енергії дорівнює силі, скалярно помноженій на диференціал пройденого шляху

А інтегруючи, отримуємо

Що це означає? Це означає, що, як би і по якій би кривій траєкторії не рухалося тіло під дією сили, все одно зміна в к. е. при переході від однієї точки кривої до іншої дорівнює інтегралу від компоненти сили вздовж кривої, помноженої на диференціал зміщення ds (інтегрування від першої точки до другої). І в цього інтеграла є ім'я: його називають роботою, виконаною силою над тілом. Одразу ми виявляємо, що потужність — це робота за секунду. І ще ми помічаємо, що роботу виконує тільки складова сили вздовж напрямку руху. У нашому першому простому прикладі брали участь тільки вертикальні сили з однією-єдиною складовою F_z, що дорівнює —mg. За цих обставин зовсім не важливо, як тіло рухається, прямо вниз чи по параболі, все одно від F*ds (яке можна записати як F_xdx+F_ydy+F_zdz) залишається тільки F_zdz = —mgdz, тому що інші складові сили — нулі. Отже, у цьому випадку

так що в потенціальну енергію входить тільки висота, з якої тіло падає. Кілька слів про одиниці. Оскільки сила вимірюється в ньютонах, а для отримання роботи її множать на відстань, то роботу вимірюють в одиницях ньютон метр, але більшість людей цієї назви не любить, віддаючи перевагу назві джоуль (дж). Це тільки інше слово, а одиниця та сама. Отже, роботу вимірюють у джоулях. Потужність же — у джоулях в секунду; цю одиницю називають ватт(вт). Якщо помножити вати на час, то отримаємо виконану роботу. Роботу, яку місцева енергосистема виробляє в наших квартирах (у технічному сенсі), оцінюють у ватах, помножених на час. Наприклад, кіловат-година — це 1000 вт х 3600 с, тобто 3,6 10⁶ дж. Наведемо ще кілька прикладів роботи і збереження енергії. Розглянемо тіло, яке спочатку має кінетичну енергію і швидко рухається, ковзаючи по підлозі з тертям. Воно зупиняється. Спочатку кінетична енергія не дорівнює нулю, а в кінці вона дорівнює нулю; існує робота, виконана силами, тому що раз є тертя, то є й складова сили в напрямку, протилежному напрямку руху, і енергія поступово втрачається. Тепер розглянемо масу на кінці маятника, який гойдається у вертикальній площині в полі тяжіння без тертя. Тут спостерігається дещо інше, тому що, коли маса опускається, сила напрямлена теж вниз, а коли піднімається, сила напрямлена в зворотний бік, так що у F*ds на спуску і на підйомі різні знаки. У відповідних точках спуску і підйому значення F*ds рівні за величиною, але протилежні за знаком, так що в підсумку інтеграл є чистим нулем. Тому кінетична енергія в кінці спуску точно така сама, якою вона була на початку підйому; це і є принцип збереження енергії. (Зауважте, що за наявності сил тертя збереження енергії на перший погляд не виконується. Значить, потрібно шукати іншу форму енергії. І справді, виявляється, що коли два тіла труться одне об одне, то виникає тепло, ми ж зараз вдаємо, що про це не знаємо.)