Тепер займемося задачею складнішою, коли сили вже не сталі й не напрямлені вниз, як раніше. Ми розглянемо, наприклад, рух планети навколо Сонця або супутника навколо Землі.
Спершу ми розглянемо рух тіла, яке падає з точки 1 прямо на Сонце або на Землю (фіг. 13.2). Чи буде в цих обставинах зберігатися енергія? Єдина відмінність від того, що було раніше, — що тепер сила не стала, вона змінюється в міру падіння. Ми знаємо, що сила дорівнює добутку GM/r2 на масу т. падаючого тіла. Звичайно, і тепер кінетична енергія при падінні зростає, як зростала і тоді, коли нас ще не хвилювала зміна сили з висотою. Питання лише в тому, чи можна відшукати іншу, відмінну від mgh, формулу для потенціальної енергії, знайти іншу функцію відстані від Землі, щоб для неї збереження енергії не порушувалося.
Цей одновимірний випадок розглядати легко, тому що ми знаємо, що зміна кінетичної енергії дорівнює інтегралу від початку руху до кінця від сили —GMm/r2 за переміщенням dr
Спершу ми розглянемо рух тіла, яке падає з точки 1 прямо на Сонце або на Землю (фіг. 13.2). Чи буде в цих обставинах зберігатися енергія? Єдина відмінність від того, що було раніше, — що тепер сила не стала, вона змінюється в міру падіння. Ми знаємо, що сила дорівнює добутку GM/r2 на масу т. падаючого тіла. Звичайно, і тепер кінетична енергія при падінні зростає, як зростала і тоді, коли нас ще не хвилювала зміна сили з висотою. Питання лише в тому, чи можна відшукати іншу, відмінну від mgh, формулу для потенціальної енергії, знайти іншу функцію відстані від Землі, щоб для неї збереження енергії не порушувалося.
Цей одновимірний випадок розглядати легко, тому що ми знаємо, що зміна кінетичної енергії дорівнює інтегралу від початку руху до кінця від сили —GMm/r2 за переміщенням dr
Зображення
У формулі немає жодного косинуса, тому що сила і переміщення напрямлені однаково. Інтегрувати dr/r2 легко; виходить (—1/r), так що
Зображення
Перед нами інша формула для потенціальної енергії. Рівняння (13.12) говорить нам, що величина 1/2mv2— GMm/r, обчислена в точці 1, у точці 2 або в будь-якій іншій, залишається сталою.
У нас тепер є формула для потенціальної енергії в полі тяжіння для вертикального руху. Тут виникає цікаве питання: чи можна досягти вічного руху в полі тяжіння? Поле ж змінюється, у різних місцях у нього різна напруженість і різний напрямок. Чи не можна взяти нескінченну стрічку без тертя і запустити її, скажімо, так: нехай вона спершу піднімає тіло з однієї точки в іншу, потім проводить його по дузі кола в третю точку, опускає на деякий рівень, зсуває по похилому напрямку і виводить на новий шлях і т. п., так що при поверненні в початкову точку виявляється, що поле тяжіння виконало якусь роботу і кінетична енергія тіла зросла? Чи не можна так накреслити цю траєкторію, щоб, обійшовши по ній, тіло набуло трохи більшої швидкості, ніж мало спочатку? Так вийде вічний рух. Але ж він неможливий, значить, ми зобов'язані довести, що така траєкторія немислима. Ми повинні довести таке припущення: раз тертя немає, тіло повинно повернутися ні з меншою, ні з більшою швидкістю, а якраз з такою, щоб ще і ще робити кола по цьому замкненому шляху. Або, іншими словами, вся робота, виконана в русі по замкненому шляху, повинна бути нулем для сил тяжіння, тому що якби вона не була нулем, то можна було б отримати енергію за рахунок такого руху тіла. (Якби робота виявилася меншою нуля, так що швидкість наприкінці обходу зменшилася б, то для отримання енергії варто було б тільки повернути назад; сили ж залежать не від напрямку руху, а тільки від положення. Якщо в одному напрямку робота вийде з плюсом, то в зворотному вона буде з мінусом; будь-яка ненульова робота означає створення вічного двигуна.) Так що ж, дійсно чи робота дорівнює нулю? Спробуємо показати, що так. Спершу ми лише на пальцях пояснимо, чому це так, а вже потім оформимо математично. Припустимо, ми вигадали траєкторію, показану на фіг. 13.3; маса падає від 1 до 2, повертає до 3, назад піднімається до 4, потім через 5, 6, 7, 8 рухається назад до 1. Усі лінії йдуть або по радіусу, або по колу з центром М. Яка робота виконується на такому шляху? Між 1 і 2 вона дорівнює добутку GMm на різницю 1/r в цих точках:
У нас тепер є формула для потенціальної енергії в полі тяжіння для вертикального руху. Тут виникає цікаве питання: чи можна досягти вічного руху в полі тяжіння? Поле ж змінюється, у різних місцях у нього різна напруженість і різний напрямок. Чи не можна взяти нескінченну стрічку без тертя і запустити її, скажімо, так: нехай вона спершу піднімає тіло з однієї точки в іншу, потім проводить його по дузі кола в третю точку, опускає на деякий рівень, зсуває по похилому напрямку і виводить на новий шлях і т. п., так що при поверненні в початкову точку виявляється, що поле тяжіння виконало якусь роботу і кінетична енергія тіла зросла? Чи не можна так накреслити цю траєкторію, щоб, обійшовши по ній, тіло набуло трохи більшої швидкості, ніж мало спочатку? Так вийде вічний рух. Але ж він неможливий, значить, ми зобов'язані довести, що така траєкторія немислима. Ми повинні довести таке припущення: раз тертя немає, тіло повинно повернутися ні з меншою, ні з більшою швидкістю, а якраз з такою, щоб ще і ще робити кола по цьому замкненому шляху. Або, іншими словами, вся робота, виконана в русі по замкненому шляху, повинна бути нулем для сил тяжіння, тому що якби вона не була нулем, то можна було б отримати енергію за рахунок такого руху тіла. (Якби робота виявилася меншою нуля, так що швидкість наприкінці обходу зменшилася б, то для отримання енергії варто було б тільки повернути назад; сили ж залежать не від напрямку руху, а тільки від положення. Якщо в одному напрямку робота вийде з плюсом, то в зворотному вона буде з мінусом; будь-яка ненульова робота означає створення вічного двигуна.) Так що ж, дійсно чи робота дорівнює нулю? Спробуємо показати, що так. Спершу ми лише на пальцях пояснимо, чому це так, а вже потім оформимо математично. Припустимо, ми вигадали траєкторію, показану на фіг. 13.3; маса падає від 1 до 2, повертає до 3, назад піднімається до 4, потім через 5, 6, 7, 8 рухається назад до 1. Усі лінії йдуть або по радіусу, або по колу з центром М. Яка робота виконується на такому шляху? Між 1 і 2 вона дорівнює добутку GMm на різницю 1/r в цих точках:
Зображення
Від 2 до 3 сила точно напрямлена впоперек руху, і W23=0. Від 3 до 4
Зображення
Так само виходять W45 =0, W56 = — GMm(1/r6— 1/r5), W67=0, W78= — GMm(1/r8— 1/r7) і W81=0. Загалом
Зображення
Але ж r2 = r3, r4 = r5, r6 = r7, r8 = r1. Тому W=0.
Але виникає підозра, чи не занадто ця крива проста. А що дасть справжня траєкторія? Що ж, спробуємо справжню. Одразу ж ясно, що її можна досить точно уявити як ряд зазубрин (фіг. 13.4) і тому... і т. д., що й треба було довести. Але треба ще подивитися, чи дійсно робота обходу навколо маленького трикутника теж дорівнює нулю. Збільшимо один із трикутників (див. фіг. 13.4). Чи рівні роботи по шляху від а до b і від b до c роботі, яка виконується, коли йдеш напрямки від а до с? Нехай сила діє в якомусь напрямку. Розташуємо трикутник так, щоб у його катета bc було якраз такий напрямок. Припустимо також, що сам трикутник настільки малий, що сила всюди на ньому стала. Якою є робота на відрізку ас? Вона дорівнює
Але виникає підозра, чи не занадто ця крива проста. А що дасть справжня траєкторія? Що ж, спробуємо справжню. Одразу ж ясно, що її можна досить точно уявити як ряд зазубрин (фіг. 13.4) і тому... і т. д., що й треба було довести. Але треба ще подивитися, чи дійсно робота обходу навколо маленького трикутника теж дорівнює нулю. Збільшимо один із трикутників (див. фіг. 13.4). Чи рівні роботи по шляху від а до b і від b до c роботі, яка виконується, коли йдеш напрямки від а до с? Нехай сила діє в якомусь напрямку. Розташуємо трикутник так, щоб у його катета bc було якраз такий напрямок. Припустимо також, що сам трикутник настільки малий, що сила всюди на ньому стала. Якою є робота на відрізку ас? Вона дорівнюєЗображення
(оскільки сила стала). Тепер визначимо роботу на двох катетах. На вертикальному катеті ab сила перпендикулярна до ds, так що робота дорівнює нулю. На горизонтальному катеті bc
Зображення
Ми переконуємося таким чином, що робота обходу по боках маленького трикутника така сама, як і по схилу, тому що s cos θ дорівнює х. Ми вже показали раніше, що робота при русі по зазубринах (як на фіг. 13.3) дорівнює нулю, а тепер бачимо, що виконувана робота однакова, незалежно від того, рухаємося ми по зазубринах чи зрізаємо шлях між ними (якщо тільки зазубрини малі, але ж ніщо не заважає зробити їх такими); тому робота обходу по будь-якому замкненому шляху в полі тяжіння дорівнює нулю.
Це дуже примітний результат. Завдяки йому нам стають відомі такі подробиці про рух планет, про які ми раніше й не здогадувалися. З'ясовується, що коли планета обертається навколо Сонця сама, без супутників і за відсутності будь-яких інших сил, то квадрат її швидкості мінус якась стала, поділена на відстань до Сонця, вздовж орбіти не змінюється. Наприклад, чим ближче планета до Сонця, тим швидше вона рухається. Але наскільки швидше? А ось наскільки: якщо замість руху навколо Сонця ви штовхнете її до Сонця з тією самою швидкістю і почекаєте, поки вона не впаде на потрібну відстань, то набута швидкість буде якраз такою, якою планета володіє на цій орбіті, тому що вийшов просто інший приклад складного шляху обходу. Якщо планета повернеться по такому шляху назад, її кінетична енергія виявиться колишньою. Тому незалежно від того, рухається вона по справжній незбуреній орбіті чи по складному шляху (але без тертя), кінетична енергія в момент повернення на орбіту виявляється якраз такою, якою потрібно.
Значить, коли ми проводимо чисельний аналіз руху планети по орбіті (як ми робили раніше), ми можемо перевірити, чи не зробили помітних помилок при розрахунку цієї сталої величини, енергії, на кожному кроці; вона не повинна змінюватися. Для орбіти, наведеної в табл. 9.2, енергія змінюється приблизно на 1,5% від початку руху до кінця. Чому? Чи то тому, що в чисельному методі ми користувалися скінченними приростами, чи то через дрібні похибки в арифметиці.
Розглянемо енергію в іншій задачі: задачі про масу, підвішену на пружині. Коли відхиляють масу від положення рівноваги, сила, що відновлює її положення, пропорційна зміщенню. Чи можна за цих умов вивести закон збереження енергії? Так; тому що робота, яка виконується цією силою, дорівнює
Зображення
Значить, у маси, підвішеної на пружині, сума кінетичної енергії її коливань і 1/2kx2 стала. Подивимося, як це відбувається. Відтягнемо масу вниз; вона нерухома і швидкість її дорівнює нулю, але х не дорівнює нулю, тепер величина х максимальна, так що є й деякий запас енергії (потенціальної). Відпустимо тепер масу: почнеться якийсь процес (у деталі ми не заглиблюємося), але в будь-яку мить кінетична плюс потенціальна енергії будуть сталими. Наприклад, коли маса проходить через точку початкової рівноваги, то х=0, але тоді значення v2 найбільше, і чим більша величина х1, тим менше v2 і т. д. Значить, під час коливань дотримується рівновага між величинами х2 і v2. Ми отримали, таким чином, нове правило: потенціальна енергія пружини дорівнює 1/2kx2, якщо сила дорівнює — kх.