Перейдемо тепер до більш загального випадку і розглянемо, що станеться, якщо тіл багато. Припустимо, що є кілька тіл; пронумеруємо їх: i = 1, 2, 3, ... і нехай усі вони притягують одне одного. Що тоді станеться? Можна довести, що якщо скласти кінетичні енергії всіх тіл і додати сюди суму (по всіх парах частинок) їхніх взаємних потенціальних енергій тяжіння —GMm/rij, то все разом дасть сталу:
Зображення
Як же це довести? Ми продиференціюємо обидві сторони за часом і доведемо, що вийде нуль. При диференціюванні 1/2 mivi2 ми отримаємо похідні швидкості — сили [як у (13.5)], а потім ці сили замінимо їхньою величиною, відомою нам із закону тяжіння, і побачимо врешті-решт, що залишиться якраз похідна за часом від
Зображення
Починаємо доведення. Похідна кінетичної енергії за часом є
Зображення
Похідна за часом від потенціальної енергії є
Зображення
тому що rij = -rji, хоча rij = rji. Отже,
Зображення
Тепер уважно подивимося, що означає ∑i{∑j} і ∑пари. У (13.15) ∑i{∑j} означає, що i приймає по порядку всі значення i= 1, 2, 3,..., і для кожного i індекс j приймає всі значення, крім i. Якщо, наприклад, i=3, то j приймає значення 1, 2, 4, ... .
З іншого боку, у (13.16) ∑пари означає, що кожна пара i і j зустрічається лише одного разу. Скажімо, частинки 1 і 3 дають тільки один член у сумі. Щоб відзначити це, можна домовитися, що i приймає значення 1, 2, 3, ..., а j для кожного i — тільки значення, більші ніж i. Якщо, скажімо, i=3, то j дорівнює 4, 5, 6, ... . Але згадаємо, що кожна пара i,j дає два доданки в сумі, один з vi,-, а інший з vj, і що обидва ці члени виглядають так само, як член у рівнянні (13.14) [але тільки в останньому в суму входять усі значення i і j (крім i=j)]. У рівняннях (13.16) і (13.15) член за членом збіжаться за величиною. Знаки їх, однак, будуть протилежні, так що похідна за часом від суми потенціальної і кінетичної енергій дійсно дорівнює нулю. Отже, ми бачимо, що і в системі багатьох тіл кінетична енергія складається із суми енергій окремих тіл і що потенціальна енергія теж складається із взаємних потенціальних енергій пар частинок. Чому вона складається з енергій пар? Це можна з'ясувати собі таким чином: припустимо, ми хочемо знайти всю роботу, яку потрібно виконати, щоб розвести тіла на певні відстані одне від одного. Можна це зробити не за один раз, а поступово, доставляючи їх одне за одним із нескінченності, де на них жодні сили не впливали. Спершу ми приведемо тіло 1, на що роботи не знадобиться, тому що, поки немає інших тіл, сили відсутні. Доставка тіла 2 вимагатиме роботи W12 = — Gm1m2/r12 І ось тепер найсуттєвіший момент: ми доставляємо тіло 3 в точку 3. У будь-який момент сила, що діє на 3, складається з двох частин: із сили, що діє з боку 1, і сили з боку 2. Значить, і вся виконана робота дорівнює сумі робіт кожної із сил, тому що раз F3 розбивається на суму сил
F3 = F13 + F23
то робота дорівнює
∫F3·ds = ∫F13·ds + ∫F23·ds = W13 + W23
Значить, вся робота дорівнює сумі робіт, виконаних проти сили 1 і проти сили 2, так, ніби вони діяли незалежно. Продовжуючи міркувати таким чином, ми побачимо, що повна робота, яку необхідно виконати, щоб зібрати дану конфігурацію тіл, точно дорівнює значенню (13.14) для потенціальної енергії. Саме через те, що тяжіння підпорядковується принципу накладання сил, можна потенціальну енергію подати у вигляді суми по всіх парах частинок.
З іншого боку, у (13.16) ∑пари означає, що кожна пара i і j зустрічається лише одного разу. Скажімо, частинки 1 і 3 дають тільки один член у сумі. Щоб відзначити це, можна домовитися, що i приймає значення 1, 2, 3, ..., а j для кожного i — тільки значення, більші ніж i. Якщо, скажімо, i=3, то j дорівнює 4, 5, 6, ... . Але згадаємо, що кожна пара i,j дає два доданки в сумі, один з vi,-, а інший з vj, і що обидва ці члени виглядають так само, як член у рівнянні (13.14) [але тільки в останньому в суму входять усі значення i і j (крім i=j)]. У рівняннях (13.16) і (13.15) член за членом збіжаться за величиною. Знаки їх, однак, будуть протилежні, так що похідна за часом від суми потенціальної і кінетичної енергій дійсно дорівнює нулю. Отже, ми бачимо, що і в системі багатьох тіл кінетична енергія складається із суми енергій окремих тіл і що потенціальна енергія теж складається із взаємних потенціальних енергій пар частинок. Чому вона складається з енергій пар? Це можна з'ясувати собі таким чином: припустимо, ми хочемо знайти всю роботу, яку потрібно виконати, щоб розвести тіла на певні відстані одне від одного. Можна це зробити не за один раз, а поступово, доставляючи їх одне за одним із нескінченності, де на них жодні сили не впливали. Спершу ми приведемо тіло 1, на що роботи не знадобиться, тому що, поки немає інших тіл, сили відсутні. Доставка тіла 2 вимагатиме роботи W12 = — Gm1m2/r12 І ось тепер найсуттєвіший момент: ми доставляємо тіло 3 в точку 3. У будь-який момент сила, що діє на 3, складається з двох частин: із сили, що діє з боку 1, і сили з боку 2. Значить, і вся виконана робота дорівнює сумі робіт кожної із сил, тому що раз F3 розбивається на суму сил
F3 = F13 + F23
то робота дорівнює
∫F3·ds = ∫F13·ds + ∫F23·ds = W13 + W23
Значить, вся робота дорівнює сумі робіт, виконаних проти сили 1 і проти сили 2, так, ніби вони діяли незалежно. Продовжуючи міркувати таким чином, ми побачимо, що повна робота, яку необхідно виконати, щоб зібрати дану конфігурацію тіл, точно дорівнює значенню (13.14) для потенціальної енергії. Саме через те, що тяжіння підпорядковується принципу накладання сил, можна потенціальну енергію подати у вигляді суми по всіх парах частинок.