Поле тяжіння великих тіл

Тепер розрахуємо поля, що зустрічаються в багатьох фізичних задачах, коли йдеться про розподіл мас. Ми поки не розглядали розподілу мас, а займалися тільки окремими частинками. Але цікаво розрахувати й поля, утворювані більш ніж однією частинкою. Для початку знайдемо силу притягання з боку плоского пласта речовини нескінченної протяжності. Сила притягання одиничної маси в даній точці Р (фіг. 13.5), звичайно, напрямлена до площини. Відстань від точки до площини є a, а маса одиниці площі цієї площини є μ. Нехай μ буде сталою: шар однорідний. Якої ж величини поле dC створюється масою dm, віддаленою від О не ближче, ніж на p, і не далі, ніж на p+ dp (О — це точка площини, найближча до Р)? Відповідь: dC = G(dmr/r³). Але воно, це поле, напрямлене вздовж r, а ми розуміємо, що з трьох складових С після додавання всіх dC має залишитися лише x-складова. Вона дорівнює
dC_x = G*(dmr_x)/r³ = G*(dma)/r₃.
Усі маси dm, які перебувають на одній і тій же відстані rот Р, дадуть одне й те саме значення dC_x, так що за dm можна одразу прийняти масу всього кільця між p і p+dp, тобто dm=μ2πpdp (2πpdp — це площа кільця радіусом p і шириною dp при dp << p). Отже,
dCx = Gμ2πp * (dpa)/r³
Але pdp= rdr через те, що r² = p²+a². Тому

Отже, сила не залежить від відстані а! Чому? Чи не помилилися ми? Здавалося б, чим далі від площини, тим сила слабша. Але ні! Якщо точка знаходиться впритул до площини, то більша частина речовини притягує її під невдалими кутами, а якщо вдалині, то у більшої частини речовини притягання напрямлене пряміше до площини. На будь-якій відстані найбільш «впливова» частина площини лежить у деякому конусі. З віддаленням сила слабшає обернено пропорційно квадрату відстані, але в тому ж конусі під тим самим кутом виявляється більше речовини, а зростання кількості речовини теж пропорційне квадрату відстані! Цей аналіз можна зробити більш строгим, якщо помітити, що диференціал внеску будь-якого даного конуса не залежить від відстані внаслідок протилежних змін напруженості поля даної маси і кількості самої цієї маси (із зростанням відстані). Утім, насправді сила не стала, бо на іншій стороні площини вона змінює знак. Ми розв'язали, до речі, і задачу з електрики: ми довели, що у зарядженої пластини, кожна одиниця площі якої несе заряд σ, електричне поле дорівнює σ/2ε₀ і напрямлене від пластини, якщо вона заряджена позитивно, і до неї, якщо вона заряджена негативно. Щоб довести це, треба просто згадати, що в законі тяжіння G відіграє ту саму роль, що 1/4πε₀ в електриці. А тепер нехай є дві пластини, одна з позитивним зарядом +σ, а інша з негативним —σ (на одиницю площі), і нехай проміжок між ними дорівнює D. Яким є поле цих пластин? Зовні пластин поле дорівнює нулю. Чому? Тому що одна з них відштовхує, а інша притягує і в обох сила не залежить від відстані; значить, сили всюди знищуються! А ось поле між пластинами вдвічі більше, ніж поле однієї пластини, напрямлене воно від позитивної пластини до негативної і дорівнює Е=σ/ε₀. Перейдемо тепер до ще більш цікавого і важливого питання; втім, ми давно вже відповіли на нього, припустивши, що сила притягання Землі в точці на її поверхні або над нею така сама, як якби вся маса Землі зосередилася в її центрі. Справедливість цього припущення не очевидна: адже коли ми перебуваємо біля самої землі, якась частина її маси дуже до нас близька, а інша далека і т. д. Коли ми складаємо дію всіх таких мас, то здається дивом, що зрештою сила зводиться до того, що вся Земля стиснулася в одну точку, стягнулася до свого центру! Ми тепер покажемо, що це диво звичайне; щоб продемонструвати це, розіб'ємо Землю на тонкі сферичні шари. Нехай уся маса сфери дорівнює m. Давайте розрахуємо потенціальну енергію частинки маси m` на відстані R від центру сфери (фіг. 13.6). Ми побачимо, що потенціальна енергія якраз така, як якби маса m сфери вся зібралася в її центрі. (Легше мати справу з потенціальною енергією, ніж з напруженістю поля: не потрібно думати про кути, а просто складати потенціальні енергії всіх частин сфери.) Наріжемо сферу на вузькі пояски, і нехай х — відстань площини пояска від центру сфери; тоді вся маса пояска товщиною dx перебуває на одній і тій же відстані r від точки Р, а потенціальна енергія притягання цього пояска дорівнює —Gm`dm/r. Скільки ж маси міститься в поясці dx? Ось скільки:
dm = 2πyμ ds = (2πyμ dx)/sin θ = (2πyμ dx a)/y = 2πaμ dx
де μ =m/4πa² — поверхнева густина маси. (Взагалі площа поверхні кульового пояска пропорційна його висоті.) Тому потенціальна енергія притягання маси dm є

Значить, для тонкого шару потенціальна енергія маси m`, зовнішньої стосовно шару, така, як якби маса шару зібралася в його центрі. Землю ж можна уявити у вигляді ряду таких шарів, і притягання кожного з шарів залежить тільки від його маси; склавши їх, отримаємо всю масу планети; значить, і вся Земля діє так, наче вся її речовина перебуває в її центрі! Але подивимося, що станеться, якщо точка Р опиниться всередині шару. Проробляючи ті ж розрахунки аж до інтегрування, ми отримаємо різницю двох значень r, але вже в іншій формі: (a + R)—(а—R)=2R (подвійна відстань від Р до центру). Іншими словами, тепер W стає рівним W = — Gmm`/a, що не залежить від R, тобто точка Р всюди всередині сфери має одну й ту саму енергію тяжіння. А значить, на неї не діє жодна сила, і не потрібно жодної роботи, щоб рухати її всередині. Коли потенціальна енергія тіла всюди, в будь-якій точці всередині сфери, однакова, то на тіло не діє жодна сила. Усередині сфери тіло не зазнає дії сил, сила діє тільки зовні.