Розібравшись із питанням про перенесення початку координат, ми розглянули першу задачу з серії складніших теорем про симетрію фізичних законів. Наступна теорема стверджує, що й напрямки координатних осей можна вибрати довільно. Іншими словами, якщо ми споруджуємо десь якийсь пристрій і спостерігаємо, як він працює, а потім поруч спорудимо аналогічний пристрій, але розташуємо його під будь-яким кутом відносно першого, то чи працюватиме другий пристрій так само, як і перший? Взагалі кажучи, ні, якщо це, наприклад, старий ходиковий годинник, відомий ще нашим дідам. Якщо маятник ходиків розташований прямовисно, вони йтимуть чудово, але якщо їх повернути так, щоб маятник уперся в стінку, точного часу вони вже не покажуть. Отже, нашу теорему не можна застосувати до маятника, якщо забути про силу, яка змушує його гойдатися. Якщо ми все-таки віримо в симетрію фізичних законів відносно обертань, то ми повинні зробити якісь цілком певні припущення про роботу ходиків, наприклад, що для їхньої роботи важливий не лише годинниковий механізм, а й щось, що лежить за його межами, щось, що слід виявити. Можна також передбачити, що ходики йтимуть по-різному, якщо вони потраплять кудись в інше місце стосовно поки що загадкового джерела асиметрії (можливо, це Земля). Так воно і є насправді. Ми знаємо, що ходики на штучному супутнику, наприклад, узагалі зупиняться, бо там відсутня ефективна сила, а на Марсі швидкість їхнього ходу буде зовсім іншою. Маятниковий годинник містить, крім механізму, ще щось поза ним. Усвідомивши цей факт, ми побачимо, що разом із ходиками нам доведеться повернути й Землю. Але нам, звісно, нема чого хвилюватися — зробити це дуже легко. Ми просто почекаємо хвилину чи дві, і Земля сама повернеться, а ходики затикають уже в новому положенні так само весело, як і раніше. Поки ми повертаємося в просторі, виміряні нами кути змінюються теж; ці зміни не завдають особливого клопоту, оскільки в нових умовах ми почуваємося точнісінько так само, як і в старих. Тут може ховатися джерело помилки; правда, що в новому, повернутому відносно старого положенні закони лишаються попередніми, але неправда, що в обертовій системі координат справедливі ті самі закони, що й у нерухомій. Якщо провести досить тонкі досліди, то можна встановити, що Земля обертається, але жоден із цих дослідів не скаже нам, що Земля повернулася. Іншими словами, ми не можемо за допомогою цих дослідів встановити орієнтацію Землі, але можемо сказати, що орієнтація змінюється.
Обговорімо тепер вплив орієнтації системи координат на фізичні закони. Погляньмо, чи не стануть нам знову в пригоді Мік і Джо. Щоб уникнути непотрібних складнощів, припустімо, що ці молоді люди перебувають в одній точці простору (ми вже показали, що їхні системи координат можна переміщувати). Нехай осі системи координат Міка повернуті відносно системи координат Джо на кут Θ. Обидві системи координат зображено на фіг. 11.2, де ми обмежилися двома вимірами. Довільна точка Р наділяється координатами (х, у) у системі Джо і (х`, у`) у системі Міка. Як і в попередньому випадку, почнемо з того, що виразимо координати х жу` через x, у і Θ. Для цього опустимо з Р перпендикуляри на всі чотири координатні осі й проведемо АВ перпендикулярно PQ. З креслення ясно, що х` можна подати як суму двох відрізків уздовж осі х , а у` — як різницю двох відрізків уздовж АВ. Довжини цих відрізків виражаються через x,y і Θ; ми додаємо ще рівняння для третьої координати:
Обговорімо тепер вплив орієнтації системи координат на фізичні закони. Погляньмо, чи не стануть нам знову в пригоді Мік і Джо. Щоб уникнути непотрібних складнощів, припустімо, що ці молоді люди перебувають в одній точці простору (ми вже показали, що їхні системи координат можна переміщувати). Нехай осі системи координат Міка повернуті відносно системи координат Джо на кут Θ. Обидві системи координат зображено на фіг. 11.2, де ми обмежилися двома вимірами. Довільна точка Р наділяється координатами (х, у) у системі Джо і (х`, у`) у системі Міка. Як і в попередньому випадку, почнемо з того, що виразимо координати х жу` через x, у і Θ. Для цього опустимо з Р перпендикуляри на всі чотири координатні осі й проведемо АВ перпендикулярно PQ. З креслення ясно, що х` можна подати як суму двох відрізків уздовж осі х , а у` — як різницю двох відрізків уздовж АВ. Довжини цих відрізків виражаються через x,y і Θ; ми додаємо ще рівняння для третьої координати:
Зображення
Тепер (ми чинили так і раніше) встановимо співвідношення між силами, які вимірюють два спостерігачі. Припустімо, що сила F, яка має (з погляду Джо) складові Fx і Fy діє на розташовану в точці Р на фіг. 11.2 частинку маси m. Для простоти зсунемо обидві системи координат так, що початки їх переміститься в точку Р, як показано на фіг. 11.3. Мік скаже нам, що сила, на його думку, має складові Fx і Fy вздовж його осей. Складова Fx, як і Fy, має складові вздовж обох осей х` і у`. Щоб виразити Fx` через Fx і Fy, складемо складові цих сил уздовж осі х` точнісінько так само можна виразити і Fy` через Fх і Fy. У результаті отримаємо
Зображення
Цікаво зазначити випадковість, яка надалі виявиться дуже важливою: формули (11.5) і (11.6) для координат Р і складових F відповідно тотожні за формою.
Як і раніше, припустімо, що закони Ньютона справедливі в системі координат Джо і виражаються рівняннями (11.1). Знову постає питання: чи може Мік користуватися законами Ньютона, чи виконуватимуться їхні приписи в поверненій системі координат? Іншими словами, якщо припустити, що рівняння (11.5) і (11.6) дають зв'язок між вимірюваними величинами, то чи правда, що
Зображення
Щоб перевірити ці рівняння, обчислимо ліві й праві частини незалежно, а потім порівняємо результати. Щоб обчислити ліві частини, помножимо рівняння (11.5) на m і продиференціюємо їх двічі за часом, вважаючи кут Θ сталим. Це дає
Зображення
Обчислимо праві частини рівнянь (11.7), підставивши (11.1) у рівняння (11.6). Отримуємо
Зображення
Погляньте! Праві частини рівнянь (11.8) і (11.9) тотожні; отже, якщо закони Ньютона справедливі в одній системі координат, то ними можна користуватися й в іншій системі. Ці міркування змушують нас зробити деякі важливі висновки: по-перше, ніхто не може стверджувати, що обрана ним система координат єдина, вона може бути, звісно, зручнішою при розв'язанні окремих задач. Наприклад, зручно, але не обов'язково взяти напрямок сили тяжіння за одну з осей координат. По-друге, це означає, що будь-який механізм, якщо тільки він є самостійним пристроєм і має все необхідне для створення сили, працюватиме однаково, як би його не повернули.