Повернемося до рівнянь руху (40.8), але обмежимося тепер наближенням «стаціонарного» потоку. Під стаціонарним потоком я маю на увазі потік, швидкість якого в будь-якому місці рідини ніколи не змінюється. Рідина в будь-якій точці постійно заміщується новою рідиною, що рухається точно так само. Картина швидкостей завжди виглядає однаково, тобто v являє собою статичне векторне поле. Як у магнітостатиці ми малювали силові лінії, так і тут можна накреслити лінії, які завжди дотичні до швидкості рідини (фіг. 40.5). Ці лінії називаються «лініями течії». Для стаціонарного потоку вони справді являють собою реальні шляхи частинок рідини. (У нестаціонарному потоці картина ліній течії змінюється з часом, однак у будь-який момент часу вона не являє собою шляхи частинок рідини.)Стаціонарність потоку зовсім не означає, що нічого не відбувається — частинки рідини рухаються й змінюють свої швидкості. Це означає лише те, що ∂v/∂t = 0. Якщо тепер ми скалярно помножимо рівняння руху на v, то доданок v·(Ωxv) випаде і в нас залишиться лише
Зображення
Згідно з цим рівнянням, при малих переміщеннях у напрямку швидкості рідини величина всередині дужок не змінюється. У стаціонарному потоці всі переміщення спрямовані вздовж ліній течії; тому рівняння (40.12) каже, що для всіх точок уздовж лінії течії
Зображення
Це і є теорема Бернуллі. Стала, взагалі кажучи, для різних ліній течії може бути різною; ми знаємо лише, що ліва частина рівняння (40.13) стала всюди вздовж даної лінії течії. Зауважте, до речі, що якщо стаціонарний потік безвихровий, тобто якщо для нього Ω = 0, то рівняння руху (40.8) дає нам співвідношення
Зображення
так що
Зображення
Воно достеменно нагадує рівняння (40.13), за винятком того, що тепер стала у всій рідині та сама. Насправді теорема Бернуллі не означає нічого більшого, ніж твердження про збереження енергії. Подібні теореми про збереження дають нам масу інформації про потік без детального розв'язання рівнянь. Теорема Бернуллі настільки важлива і настільки проста, що мені б хотілося показати вам, як можна її отримати іншим способом, відмінним від тих формальних обчислень, які ми щойно провели. Уявіть собі пучок ліній течії, що утворюють трубку течії (фіг. 40.6, а). Оскільки стінки трубки утворюються лініями течії, то рідина крізь них не протікає. Позначимо площу на одному кінці трубки через А1, швидкість рідини через v1 густину через ρ1, а потенціальну енергію через φ1. Відповідні величини на іншому кінці трубки ми позначимо через А2, v2, ρ2 і φ2. Після короткого інтервалу часу Δt рідина на одному кінці пересунеться на відстань v1Δt, а рідина на іншому кінці — на відстань v2Δt (див. фіг. 40.6, б). Збереження маси вимагає, щоб маса, яка увійшла через А1 дорівнювала масі, яка вийшла через А2. Зміна мас на цих двох кінцях має бути однаковою:Зображення
Таким чином, ми отримуємо рівність
Зображення
Воно каже нам, що при сталому ρ швидкість змінюється обернено пропорційно площі трубки течії.
Обчислимо тепер роботу, здійснену тиском у рідині. Робота, здійснена над рідиною, що входить із боку перерізу A1 дорівнює р1A1v1Δt, а робота, здійснена в перерізі А2, дорівнює p2A2v2Δt. Отже, повна робота, здійснена над рідиною, укладеною між А1 і А2, буде
Обчислимо тепер роботу, здійснену тиском у рідині. Робота, здійснена над рідиною, що входить із боку перерізу A1 дорівнює р1A1v1Δt, а робота, здійснена в перерізі А2, дорівнює p2A2v2Δt. Отже, повна робота, здійснена над рідиною, укладеною між А1 і А2, буде
Зображення
що має дорівнювати зростанню енергії маси рідини ΔM при проходженні від A1 до A 2. Іншими словами,
Зображення
де Е1 — енергія одиниці маси рідини в перерізі A1 а Е2 — енергія одиниці маси в перерізі А2, Енергію одиниці маси рідини можна записати у вигляді
Зображення
де 1/2 v2 — кінетична енергія одиниці маси, φ — потенціальна енергія, a U — додатковий член, що являє собою внутрішню енергію одиниці маси рідини. Внутрішня енергія може відповідати, наприклад, тепловій енергії стисливої рідини чи хімічній енергії. Усі ці величини можуть змінюватися від точки до точки. Скориставшись виразом для енергії в рівнянні (40.16), отримаємо
Зображення
а це якраз приводить нас до результату Бернуллі, де є додатковий член, що являє собою внутрішню енергію. Якщо рідина нестислива, то внутрішня енергія з обох сторін та сама, і ми знову переконуємося у справедливості рівняння (40.14) уздовж будь-якої лінії течії.Розглянемо тепер деякі прості приклади, у яких інтеграл Бернуллі дозволяє нам одразу описати потік. Припустимо, що з отвору поблизу дна резервуара витікає вода (фіг. 40.7). Розглянемо випадок, коли швидкість потоку vвих в отворі набагато більша за швидкість потоку поблизу поверхні води в резервуарі; іншими словами, припустимо, що діаметр резервуара настільки великий, що падінням рівня рідини можна знехтувати. (Ми могли б за бажання здійснити й точніші обчислення.) Тиск на поверхню води в резервуарі дорівнює р0 (атмосферному тиску), тобто такий самий, як і тиск на боки струменя. Напишемо тепер рівняння Бернуллі для лінії течії, подібної до тієї, що показана на фіг. 40.7. У верхній частині резервуара швидкість v ми приймемо рівною нулю; гравітаційний потенціал φ тут виберемо теж рівним нулю. У отворі ж швидкість дорівнює vвих а φ= —gh, тож
Зображення
Швидкість вийшла точно рівною швидкості предмета, що падає з висоти h. У цьому немає нічого дивного —адже врешті-решт вода на виході отримує свою кінетичну енергію із запасу потенціальної енергії води, що перебуває вгорі резервуара. Однак не уявляйте, що ви можете визначити швидкість убування рідини з резервуара, помноживши цю швидкість vвих на площу отвору. Швидкості частинок рідини в той момент, коли струмінь вихоплюється з отвору, не паралельні одна одній, а мають компоненту, спрямовану до центру потоку; струмінь звужується. Пройшовши невелику відстань, струмінь перестає стискатися, і швидкості стають паралельними. Таким чином, повний потік дорівнює швидкості, помноженій на площу саме в тому місці, де стиснення струменя припинилося. Насправді, якщо в нас є вихідний отвір просто у вигляді круглої дірки з гострим краєм, то переріз струменя скорочується до 62% від площі отвору. Зменшення ефективної площі вихідного отвору для різних форм вихідних труб різне, а його експериментальне значення можна знайти в таблиці коефіцієнтів витікання.
Якщо вихідна труба вдається в резервуар, як показано на фіг. 40.8, то можна дуже красиво довести, що коефіцієнт витікання точно дорівнює 50%. Я лише натякну вам, як проводиться це доведення.
Щоб отримати швидкість, ми використали закон збереження енергії [див. рівняння (40.18)]. Можна ще розглянути закон збереження імпульсу. Оскільки разом із вихідним струменем має витікати й імпульс, то до поперечного перерізу вихідної труби має бути прикладена сила. Звідки ж вона береться? Ця сила має походити від тиску на стінки. Але наш вихідний отвір малий і розташований далеко від стінок, тому швидкість рідини поблизу стінок резервуара буде дуже малою. Отже, тиск на кожну стінку, згідно з (40.14), майже точно такий самий, як статичний тиск у нерухомій рідині. При цьому статичний тиск на будь-яку точку з одного боку резервуара має врівноважуватися рівним тиском на протилежну стінку, за винятком точки на стороні, протилежній вихідній трубі. Якщо тепер ми обчислимо імпульс, що виштовхується зі струменем цим тиском, то зможемо показати, що коефіцієнт витікання дорівнює 1/2. Однак цей метод непридатний для отвору, подібного до показаного на фіг. 40.7, бо збільшення швидкості біля стінок поблизу області отвору дає падіння тиску, яке неможливо обчислити.
Розглянемо тепер інший приклад — горизонтальну трубу зі змінним поперечним перерізом (фіг. 40.9), по якій від одного кінця до іншого тече вода. Збереження енергії, а саме формула Бернуллі, каже, що в звуженій області, там, де швидкість вища, тиск нижчий. Ми можемо легко продемонструвати цей ефект, вимірюючи тиск у різних місцях з різним перерізом за допомогою стовпчика води, що сполучається з потоком через достатньо малі отвори, які не збурюють потоку. При цьому тиск вимірюється висотою вертикального стовпчика води. І він у вузьких місцях справді виявляється меншим, ніж у широких. Якщо після звуження площа перерізу повертається до свого колишнього значення — того, що було до скорочення, то тиск знову зростає. Формула Бернуллі передбачає, що тиск до звуження має бути тим самим, що й після нього, однак насправді він помітно менший. Помилка нашого передбачення криється в тому, що ми знехтували тертям, в'язкою силою, яка спричиняє падіння тиску вздовж труби. Однак, попри це падіння, тиск у вузькому місці безумовно менший (через зростання швидкості), ніж по обидва боки від нього, як це передбачив Бернуллі. Швидкість v2 має перевищувати швидкість v1, щоб крізь звуження могла пройти та сама кількість води. Тому вода має прискорюватися, переходячи з широкої частини у вузьку. Сили, які призводять до цього прискорення, і є перепад тиску.
Цей результат можна перевірити за допомогою ще одного простого досліду. Уявіть, що в нас є резервуар з водою і вихідною трубою, яка викидає струмінь води вгору (фіг. 40.10). Якби швидкість витікання була точно рівною √2gh, то вода, що виходить, мала б піднятися аж до рівня води в резервуарі. Однак на досліді вона починає падати трохи нижче нього. Наше наближення виявляється дуже грубим; в'язке тертя, яке ми не врахували в нашій формулі для збереження енергії, призводить до втрати енергії. Чи пробували ви колись, дмухнувши між двома злиплими аркушами паперу, відірвати їх один від одного? Спробуйте! Вони зійдуться знову. Причина, звичайно, полягає в тому, що повітря між листами має більшу швидкість, ніж коли воно виходить назовні. Тому тиск між листами нижчий за атмосферний, і вони замість того, щоб розлетітися в різні сторони, з'єднаються.
Якщо вихідна труба вдається в резервуар, як показано на фіг. 40.8, то можна дуже красиво довести, що коефіцієнт витікання точно дорівнює 50%. Я лише натякну вам, як проводиться це доведення.Щоб отримати швидкість, ми використали закон збереження енергії [див. рівняння (40.18)]. Можна ще розглянути закон збереження імпульсу. Оскільки разом із вихідним струменем має витікати й імпульс, то до поперечного перерізу вихідної труби має бути прикладена сила. Звідки ж вона береться? Ця сила має походити від тиску на стінки. Але наш вихідний отвір малий і розташований далеко від стінок, тому швидкість рідини поблизу стінок резервуара буде дуже малою. Отже, тиск на кожну стінку, згідно з (40.14), майже точно такий самий, як статичний тиск у нерухомій рідині. При цьому статичний тиск на будь-яку точку з одного боку резервуара має врівноважуватися рівним тиском на протилежну стінку, за винятком точки на стороні, протилежній вихідній трубі. Якщо тепер ми обчислимо імпульс, що виштовхується зі струменем цим тиском, то зможемо показати, що коефіцієнт витікання дорівнює 1/2. Однак цей метод непридатний для отвору, подібного до показаного на фіг. 40.7, бо збільшення швидкості біля стінок поблизу області отвору дає падіння тиску, яке неможливо обчислити.
Розглянемо тепер інший приклад — горизонтальну трубу зі змінним поперечним перерізом (фіг. 40.9), по якій від одного кінця до іншого тече вода. Збереження енергії, а саме формула Бернуллі, каже, що в звуженій області, там, де швидкість вища, тиск нижчий. Ми можемо легко продемонструвати цей ефект, вимірюючи тиск у різних місцях з різним перерізом за допомогою стовпчика води, що сполучається з потоком через достатньо малі отвори, які не збурюють потоку. При цьому тиск вимірюється висотою вертикального стовпчика води. І він у вузьких місцях справді виявляється меншим, ніж у широких. Якщо після звуження площа перерізу повертається до свого колишнього значення — того, що було до скорочення, то тиск знову зростає. Формула Бернуллі передбачає, що тиск до звуження має бути тим самим, що й після нього, однак насправді він помітно менший. Помилка нашого передбачення криється в тому, що ми знехтували тертям, в'язкою силою, яка спричиняє падіння тиску вздовж труби. Однак, попри це падіння, тиск у вузькому місці безумовно менший (через зростання швидкості), ніж по обидва боки від нього, як це передбачив Бернуллі. Швидкість v2 має перевищувати швидкість v1, щоб крізь звуження могла пройти та сама кількість води. Тому вода має прискорюватися, переходячи з широкої частини у вузьку. Сили, які призводять до цього прискорення, і є перепад тиску.Цей результат можна перевірити за допомогою ще одного простого досліду. Уявіть, що в нас є резервуар з водою і вихідною трубою, яка викидає струмінь води вгору (фіг. 40.10). Якби швидкість витікання була точно рівною √2gh, то вода, що виходить, мала б піднятися аж до рівня води в резервуарі. Однак на досліді вона починає падати трохи нижче нього. Наше наближення виявляється дуже грубим; в'язке тертя, яке ми не врахували в нашій формулі для збереження енергії, призводить до втрати енергії. Чи пробували ви колись, дмухнувши між двома злиплими аркушами паперу, відірвати їх один від одного? Спробуйте! Вони зійдуться знову. Причина, звичайно, полягає в тому, що повітря між листами має більшу швидкість, ніж коли воно виходить назовні. Тому тиск між листами нижчий за атмосферний, і вони замість того, щоб розлетітися в різні сторони, з'єднаються.