Рівняння руху

Спочатку обговоримо рух рідини з суто абстрактного теоретичного боку, а потім розглянемо деякі окремі приклади. Щоб описати рух рідини, ми повинні задати в кожній точці її деякі властивості. Наприклад, вода (називатимемо рідину просто «водою») у різних місцях рухається з різними швидкостями. Отже, щоб визначити характер потоку, ми повинні в кожній точці й у будь-який момент часу задати три компоненти швидкості. Якщо нам вдасться знайти рівняння, що визначають швидкість, то ми знатимемо, як у будь-який момент рухається рідина. Але швидкість — не єдина характеристика рідини, яка змінюється від точки до точки. Щойно ми вивчали зміну тиску від точки до точки. А є ще й інші змінні. Від точки до точки може змінюватися також густина. До того ж рідина може бути провідником і переносити електричний струм, густина якого j змінюється від точки до точки як за величиною, так і за напрямком. Від точки до точки може змінюватися температура, магнітне поле і т. д. Тож число полів, необхідних для повного опису ситуації, залежить від складності задачі. Дуже цікаві явища виникають, коли домінуючу роль у визначенні поведінки рідини відіграють струми й магнетизм. Ця наука має назву магнітогідродинаміка. Наразі їй приділяється дуже велика увага. Але ми не збираємося розглядати ці вельми складні випадки, бо є чимало менш складних, але настільки ж цікавих явищ, і навіть цей більш елементарний рівень буде достатньо важким.
 
Візьмемо випадок, коли немає ні магнітного поля, ні провідності, і нам, крім того, не варто турбуватися про температури, бо ми припустимо, що температура в будь-якій точці однозначним чином визначається густиною і тиском. Фактично ми зменшимо складність нашої роботи, припустивши, що густина стала, тобто що рідина по суті нестислива. Іншими словами, ми припускаємо, що зміни тисків настільки малі, що спричиненими ними змінами густини можна знехтувати. Якби це було не так, то на додаток до явищ, розглянутих тут, необхідно було б враховувати й інші явища, скажімо поширення звукових чи ударних хвиль. Поширення звукових і ударних хвиль ми вже певною мірою вивчали, тож при нашому розгляді гідродинаміки ми ізолюємося від цих явищ, припустивши, що приблизно густина ρ стала. Легко визначити, коли таке припущення про сталість ρ буде добрим. Якщо швидкість потоку набагато менша за швидкість звукової хвилі, то нам не потрібно турбуватися про зміни густини. Той факт, що вода вислизає від нас при спробі зрозуміти її, не пов'язаний із цим наближенням сталої густини. Ускладнення, які все ж дозволили їй залишитися незрозумілою, ми обговоримо в наступному розділі.
 
Загальну теорію рідин ми повинні почати з рівняння стану рідини, що пов'язує тиск і густину; у нашому наближенні воно має дуже простий вигляд:

Це і є перше рівняння для наших змінних. Наступне співвідношення виражає збереження речовини. Коли речовина витікає з якоїсь точки, то кількість її в цій точці має зменшуватися. Якщо швидкість рідини дорівнює v, то маса, яка протікає за одиницю часу через одиницю площі поверхні, дорівнює нормальній до поверхні компоненті ρv. Подібне співвідношення в нас уже виходило в теорії пружності. Із знайомства з електрикою ми знаємо також, що дивергенція такої величини визначається швидкістю зменшення  густини. Також  і тут рівняння
виражає збереження маси рідини: це гідродинамічне рівняння неперервності. У нашому наближенні, тобто в наближенні нестисливої рідини, густина ρ стала, і рівняння неперервності перетворюється просто на

Дивергенція швидкості рідини v, як і магнітного поля В, дорівнює нулю. (Гідродинамічні рівняння дуже часто виявляються аналогічними рівнянням електродинаміки; ось чому ми спочатку вивчали електродинаміку. Дехто віддає перевагу іншому шляху, вважаючи, що спочатку слід вивчати гідродинаміку, щоб потім було легше зрозуміти електрику. Насправді ж електродинаміка набагато простіша, ніж гідродинаміка.)
 
Наступне рівняння ми отримаємо із закону Ньютона; воно каже нам, як відбувається зміна швидкості в  результаті дії сил. Добуток маси елемента об'єму рідини на прискорення має дорівнювати силам, що діють на цей елемент. Вибираючи як елемент об'єму одиничний об'єм і позначаючи силу, що діє на одиничний об'єм, через f, отримуємо

Густину сил можна записати у вигляді суми трьох доданків. Один із них, силу тиску на одиницю об'єму — (∇p), ми вже розглядали. Але є ще «зовнішні» сили, що діють на відстані, подібні до тяжіння чи електрики. Якщо ці сили консервативні з потенціалом, віднесеним до одиниці маси, що дорівнює φ, то вони приводять до густини сил —ρ (∇φ). (Якщо ж зовнішні сили неконсервативні, то ми змушені писати зовнішню силу, що припадає на одиницю об'єму, як f_зовн.) Крім неї, на одиницю об'єму діє ще одна «внутрішня» сила, яка виникає через те, що в рідині, що тече, можуть діяти зсувні сили. Вони називаються силами в'язкості, і ми позначатимемо їх через f_в'язк. Тоді наше рівняння руху набуває вигляду

У цьому розділі ми будемо припускати, що наша вода «рідка» в тому сенсі, що її в'язкість несуттєва, так що доданок f_в'язк опускатиметься. Відкидаючи доданок з в'язкістю, ми робимо наближення, яке описує якусь ідеальну речовину, а не реальну воду. Про величезну різницю, що виникає залежно від того, залишаємо ми доданок з в'язкістю чи ні, свого часу добре знав Джон фон Нейман. Відомо йому було й те, що в часи найбільшого розквіту гідродинаміки, тобто приблизно до 1900 р., основні зусилля були спрямовані на розв'язання красивих математичних задач у рамках саме цього наближення, яке не має нічого спільного з реальними рідинами. Тому теоретиків, які займалися подібними речовинами, він називав людьми, що вивчають «суху воду». Вони відкидали найважливішу властивість рідини. Саме тому, що в цьому розділі ми при наших обчисленнях теж цією властивістю нехтуватимемо, я назвав його «Течія «сухої» води». А обговорення справжньої, «мокрої» води ми відкладемо до наступного розділу.
Якщо ми відкинемо f_в'язк, то в рівнянні (40.4) усе нам відоме, за винятком виразу для прискорення. Може здатися, що формула для прискорення частинок рідини має бути дуже простою, бо очевидно, що якщо v — швидкість частинки в деякому місці рідини, то прискорення її буде просто дорівнювати ∂v/∂t. Але це зовсім невірно, і з доволі хитрої причини. Похідна ∂v/∂t виражає зміну швидкості v (x, y, z, t) у фіксованій точці простору. А нам потрібно знати, як змінюється швидкість даної краплинки рідини. Уявіть, що ми позначили одну краплинку води кольоровою фарбою і можемо спостерігати за нею. За малий інтервал часу Δt ця краплинка просунеться в інше положення. Якщо краплинка рухається за деяким шляхом, зображеним на фіг. 40.4, то за проміжок Δt вона з точки Р₁ переміститься в точку Р₂. Фактично в напрямку осі x вона пересунеться на відстань v_xΔt, у напрямку осі y — на відстань v_y Δt, а в напрямку осі z — на відстань v_zΔt. Ми бачимо, що якщо v (x, y, z, t) — швидкість частинки в момент t, то швидкість тієї самої частинки в момент t+Δt являє собою   величину   v (x + Δх, у + Δy,  z + Δz,   t + Δt), причому

Із визначення частинних похідних [згадайте рівняння розд. 2, вип. 5] ми з точністю до членів першого порядку отримуємо

Прискорення ж Δv/Δt дорівнюватиме

Вважаючи ∇ вектором, це можна записати символічно:

Зверніть увагу,  що, навіть  коли  ∂v/∂t = 0, тобто  коли швидкість  у даній точці не змінюється,  прискорення все ж залишиться. Прикладом може слугувати вода, що тече з постійною швидкістю по колу: вона прискорюється навіть тоді, коли швидкість у даній точці не змінюється. Причина, звичайно, полягає в тому, що швидкість даної краплинки води, яка спочатку перебувала в одній точці, миттю пізніше матиме інший напрямок — це доцентрове прискорення.
 
Решта нашої теорії — суто математична: знаходження розв'язку рівняння руху, отриманого підстановкою прискорення (40.5) у (40.4), тобто

де доданок із в'язкістю вже відкинуто. Скориставшись відомою тотожністю з векторного аналізу, це рівняння можна  переписати по-іншому:

Якщо визначити нове векторне поле Ω як ротор швидкості v, тобто

то векторну тотожність можна записати так:

а наше рівняння руху (40.6) набуде вигляду

Ви можете перевірити еквівалентність рівнянь (40.6) і (40.8), розписуючи їх за компонентами і порівнюючи їх, скориставшись при цьому виразом (40.7).
 
Якщо Ω всюди дорівнює нулю, то такий потік ми називаємо безвихровим (або потенціальним). У розд. 3, § 5 (вип. 5), ми вже визначали величину, яку називали циркуляцією векторного поля. Циркуляція по будь-якій замкненій петлі в рідині дорівнює криволінійному інтегралу від швидкості рідини в даний момент часу навколо цієї петлі:

Циркуляція на одиницю площі для нескінченно малої петлі за теоремою Стокса дорівнюватиме тоді ∇×v. Таким чином, Ω являє собою циркуляцію навколо одиничної площі (перпендикулярної до напрямку Ω). Крім того, ясно, що якщо в будь-яке місце рідини помістити маленьку смітинку (саме смітинку, а не нескінченно малу точку), то вона обертатиметься з кутовою швидкістю Ω/2. Спробуйте довести це. Ви можете також спробувати довести, що для відра води на столику, що обертається, Ω дорівнює подвоєній локальній кутовій швидкості води.
 
Якщо нас цікавить лише поле швидкостей, то з наших рівнянь можна виключити тиск. Узявши ротор обох частин рівняння (40.8) і згадавши, що ρ — величина стала, а ротор будь-якого градієнта дорівнює нулю, а також використавши рівняння (40.3), знаходимо

Це рівняння разом із рівняннями

повністю описують поле швидкостей v. Мовою математики — якщо в якийсь момент ми знаємо Ω, то ми знаємо ротор вектора швидкості і, крім того, знаємо, що його дивергенція дорівнює нулю, тож у цих фізичних умовах у нас є все необхідне для визначення швидкості v всюди. (Усе це достеменно нагадує нам знайомі умови в магнетизмі, де ∇·B = 0 і ∇×В = j/ε₀c².) Таким чином, дана величина Ω визначає v точно так само, як j визначає В. Потім із відомого значення v рівняння (40.9) дасть нам швидкість зміни Ω, звідки ми можемо отримати нову Ω в наступний момент. Використовуючи знову рівняння (40.10), знайдемо нове значення v і т. д. Тепер ви бачите, як у ці рівняння входить увесь механізм, необхідний для обчислення потоку. Зауважте, однак, що ця процедура дає лише швидкості, а всю інформацію про тиск ми втратили.
 
Зазначимо особливий наслідок нашого рівняння. Якщо в якийсь момент часу t повсюди Ω=0, то ∂Ω/∂t теж зникає, так що Ω всюди залишиться рівною нулю і в момент t +Δt. Звідси випливає, що потік увесь час залишається безвихровим. Якщо спочатку потік не обертався, то він так ніколи й не почне обертатися. При цьому рівняння, які ми маємо розв'язувати, такі:

Вони достеменно нагадують рівняння електростатики чи магнітостатики в порожньому просторі. Пізніше ми повернемося до них і розглянемо деякі окремі задачі.