Кого не полонить течія рідини, хто не милується течією води! Усі ми в дитинстві любили хлюпатися у ванні або поратися в брудних калюжах. Ставши дорослішими, ми захоплювалися плавною течією річки, водоспадами й вирами; ми милуємося ними, поряд із твердими тілами вони здаються нам майже одушевленими.
Предметом цього й наступного розділів буде поведінка рідини, така несподівана й така цікава. Спроби дитини перепинити шлях маленькому струмочку, що тече вулицею, і її подив перед тим, як вода все ж примудряється пробити собі дорогу, нагадують наші багаторічні спроби зрозуміти механізм течії рідини. Ми намагалися подумки перепинити шлях воді загатою, тобто отримати закони та рівняння, які описують потік. Розповіді про ці спроби і присвячено цей розділ. А в наступному розділі ми опишемо той унікальний спосіб, за допомогою якого вода прориває загату й вислизає від нас, не давши нам зрозуміти її.
Я припускаю, що елементарні властивості води вам уже відомі. Основна властивість, яка відрізняє рідину від твердого тіла, полягає в тому, що рідина не здатна витримувати жодної миті напруження зсуву. Якщо до рідини прикласти напруження зсуву, вона починає рухатися. Густі рідини, подібні до меду, рухаються менш легко, ніж рідини типу води чи повітря. Мірою легкості, з якою рідина тече, є її в'язкість. У цьому розділі ми розглянемо такі випадки, коли ефектом в'язкості можна знехтувати. А ефекти в'язкості відкладемо до наступного розділу.
Почнемо з розгляду гідростатики, тобто теорії нерухомої рідини. Якщо рідина перебуває в спокої, то на неї не діють жодні зсувні сили (навіть у в'язкій рідині). Тому закон гідростатики полягає в тому, що напруження всередині рідини завжди нормальні до будь-якої її поверхні. Нормальна сила на одиницю площі називається тиском. З того факту, що в нерухомій рідині немає зсувів, випливає, що напруження тиску в усіх напрямках однакове (фіг. 40.1). Займіться самостійно доведенням того, що якщо на будь-якій площині в рідині зсув відсутній, то тиск в усіх напрямках має бути однаковим.
Тиск у рідині може змінюватися від точки до точки. Так, у нерухомій рідині на поверхні Землі тиск змінюватиметься з висотою через вагу рідини. Якщо густина рідини ρ вважається сталою, а тиск на деякому нульовому рівні позначено через р0 (фіг. 40.2), то тиск на висоті h над цією точкою буде р = р0 — pgh, де g — сила тяжіння одиниці маси.
Комбінація р+ρgh у нерухомій рідині залишається сталою. Ви знаєте це співвідношення, але тепер ми отримаємо більш загальний результат, де наше співвідношення буде лише окремим випадком. Візьмемо маленький кубик води. Яка сила діє на нього внаслідок тиску, що чиниться? Оскільки тиск у будь-якому місці в усіх напрямках однаковий, то повна сила, що діє на одиницю об'єму, може бути зумовлена лише зміною тиску від точки до точки.
Припустимо, що тиск змінюється в напрямку осі x, і виберемо напрямки інших осей координат паралельно ребрам кубика. Тиск на грань з координатою x дає силу pΔyΔz (фіг. 40.3), а тиск на грань з координатою x + Δx дає силу —[p+(∂p/∂x)Δx] Δy/Δz, так що результуюча сила дорівнює —(∂p/∂x) ΔxΔyΔz. Якщо ж ми врахуємо решту пар граней куба, то неважко переконатися, що сила тиску на одиничний об'єм дорівнює —∇p. Якщо до того ж є ще й інші сили, на кшталт сили тяжіння, то тиск при рівновазі має компенсуватися ними.
Розберемо випадок, коли такі додаткові сили можна описати потенціальною енергією, на кшталт сили тяжіння. Позначимо через φ потенціальну енергію одиниці маси. (Для притягання, наприклад, φ просто дорівнює gz.) Сила, що діє на одиничну масу, задається через потенціал φ виразом —∇φ, а якщо густина рідини дорівнює ρ, то на одиницю об'єму діятиме сила —ρ∇φ. У стані рівноваги ця сила, що діє на одиничний об'єм, у сумі із силою тиску має давати нуль:
Предметом цього й наступного розділів буде поведінка рідини, така несподівана й така цікава. Спроби дитини перепинити шлях маленькому струмочку, що тече вулицею, і її подив перед тим, як вода все ж примудряється пробити собі дорогу, нагадують наші багаторічні спроби зрозуміти механізм течії рідини. Ми намагалися подумки перепинити шлях воді загатою, тобто отримати закони та рівняння, які описують потік. Розповіді про ці спроби і присвячено цей розділ. А в наступному розділі ми опишемо той унікальний спосіб, за допомогою якого вода прориває загату й вислизає від нас, не давши нам зрозуміти її.
Я припускаю, що елементарні властивості води вам уже відомі. Основна властивість, яка відрізняє рідину від твердого тіла, полягає в тому, що рідина не здатна витримувати жодної миті напруження зсуву. Якщо до рідини прикласти напруження зсуву, вона починає рухатися. Густі рідини, подібні до меду, рухаються менш легко, ніж рідини типу води чи повітря. Мірою легкості, з якою рідина тече, є її в'язкість. У цьому розділі ми розглянемо такі випадки, коли ефектом в'язкості можна знехтувати. А ефекти в'язкості відкладемо до наступного розділу.Почнемо з розгляду гідростатики, тобто теорії нерухомої рідини. Якщо рідина перебуває в спокої, то на неї не діють жодні зсувні сили (навіть у в'язкій рідині). Тому закон гідростатики полягає в тому, що напруження всередині рідини завжди нормальні до будь-якої її поверхні. Нормальна сила на одиницю площі називається тиском. З того факту, що в нерухомій рідині немає зсувів, випливає, що напруження тиску в усіх напрямках однакове (фіг. 40.1). Займіться самостійно доведенням того, що якщо на будь-якій площині в рідині зсув відсутній, то тиск в усіх напрямках має бути однаковим.
Тиск у рідині може змінюватися від точки до точки. Так, у нерухомій рідині на поверхні Землі тиск змінюватиметься з висотою через вагу рідини. Якщо густина рідини ρ вважається сталою, а тиск на деякому нульовому рівні позначено через р0 (фіг. 40.2), то тиск на висоті h над цією точкою буде р = р0 — pgh, де g — сила тяжіння одиниці маси.Комбінація р+ρgh у нерухомій рідині залишається сталою. Ви знаєте це співвідношення, але тепер ми отримаємо більш загальний результат, де наше співвідношення буде лише окремим випадком. Візьмемо маленький кубик води. Яка сила діє на нього внаслідок тиску, що чиниться? Оскільки тиск у будь-якому місці в усіх напрямках однаковий, то повна сила, що діє на одиницю об'єму, може бути зумовлена лише зміною тиску від точки до точки.
Припустимо, що тиск змінюється в напрямку осі x, і виберемо напрямки інших осей координат паралельно ребрам кубика. Тиск на грань з координатою x дає силу pΔyΔz (фіг. 40.3), а тиск на грань з координатою x + Δx дає силу —[p+(∂p/∂x)Δx] Δy/Δz, так що результуюча сила дорівнює —(∂p/∂x) ΔxΔyΔz. Якщо ж ми врахуємо решту пар граней куба, то неважко переконатися, що сила тиску на одиничний об'єм дорівнює —∇p. Якщо до того ж є ще й інші сили, на кшталт сили тяжіння, то тиск при рівновазі має компенсуватися ними.Розберемо випадок, коли такі додаткові сили можна описати потенціальною енергією, на кшталт сили тяжіння. Позначимо через φ потенціальну енергію одиниці маси. (Для притягання, наприклад, φ просто дорівнює gz.) Сила, що діє на одиничну масу, задається через потенціал φ виразом —∇φ, а якщо густина рідини дорівнює ρ, то на одиницю об'єму діятиме сила —ρ∇φ. У стані рівноваги ця сила, що діє на одиничний об'єм, у сумі із силою тиску має давати нуль:
Зображення
Зображення
Це і є рівняння гідростатики. У загальному випадку воно не має розв'язку. Якщо густина змінюється в просторі якимось довільним чином, то немає можливості врівноважити всі сили, і рідина не може перебувати в стані статичної рівноваги. У ній виникнуть різні конвекційні потоки. Це видно прямо з рівняння, бо член із тиском являє собою чистий градієнт, тоді як другий член через густину ρ не може бути ним. І лише коли величина ρ стала, потенціальний член стає чистим градієнтом.
Розв'язок рівняння в цьому випадку має вигляд
Інша можливість, що допускає стан рівноваги,— це коли ρ залежить лише від p. Однак на цьому ми розлучимося з гідростатикою, бо вона не така цікава, як рідина, що рухається.
Розв'язок рівняння в цьому випадку має вигляд
Інша можливість, що допускає стан рівноваги,— це коли ρ залежить лише від p. Однак на цьому ми розлучимося з гідростатикою, бо вона не така цікава, як рідина, що рухається.