Циркуляція

На  початку попереднього параграфа ми бачили, що якщо в нас є безвихрова нестислива рідина, то потік задовольняє наступним двом рівнянням:

Ці рівняння аналогічні рівнянням електростатики чи магнітостатики в порожньому просторі. За відсутності зарядів дивергенція електричного поля дорівнює нулю, а ротор електростатичного поля завжди дорівнює нулю. Ротор магнітного поля дорівнює нулю за відсутності струмів, а дивергенція магнітного поля завжди дорівнює нулю. Отже, рівняння (40.19) мають такі самі розв'язки, як і рівняння для Е в електростатиці чи рівняння для В в магнітостатиці. Фактично в розд. 12, § 5 (вип. 5), ми вже розв'язали задачу про обтікання сфери потоком як електростатичний аналог. Електростатичним аналогом є однорідне електричне поле плюс поле диполя, причому поле диполя підбирається таким, щоб швидкість потоку, нормальна до поверхні сфери, дорівнювала нулю. Задачу про обтікання циліндра можна розв'язати таким самим способом, вибравши підходящий напрямок диполя відносно однорідного потоку. Ці розв'язки справедливі в тих випадках, коли швидкість рідини на великих відстанях стала як за величиною, так і за напрямком. Вони зображені на фіг. 40.11,а.
 
Задача про обтікання циліндра має й інший розв'язок, коли умови такі, що потік на великих відстанях рухається по колу навколо циліндра. Тоді потік буде круговим усюди (фіг. 40.11,б). У такого потоку є циркуляція навколо циліндра, хоча ∇×v у рідині залишається нулем. Але як циркуляція може існувати без ротора? У нас є циркуляція навколо циліндра, бо криволінійний інтеграл від v по замкненій петлі, що охоплює циліндр, не дорівнює нулю. Водночас криволінійний інтеграл від v по будь-якому замкненому шляху, який не охоплює циліндра, буде нулем. Аналогічні речі траплялися нам і раніше,  коли ми визначали магнітне поле навколо провідника. Ротор В був нулем поза дротом, хоча криволінійний інтеграл від В по шляху, що охоплює дріт, не зникає. Поле швидкостей у безвихровій циркуляції навколо циліндра точно таке саме, як і магнітне поле навколо дроту. Для кругового шляху з центром, що збігається з центром циліндра, криволінійний інтеграл від швидкості дорівнює

Для безвихрового потоку інтеграл не повинен залежати від r. Позначимо його через сталу C і отримаємо

де v — тангенціальна швидкість, а r — відстань від осі.
 
Існує дуже хороший спосіб демонстрації циркуляції рідини в трубі. Ви берете прозорий циліндричний резервуар із трубкою в центрі дна. Наповнюєте його водою, трохи розкручуєте її паличкою і виймаєте пробку з відвідної труби. І отримуєте той красивий ефект, що показаний на фіг. 40.12. (Подібне явище ви напевно багато разів бачили у ванні!) Хоча спочатку ви й створили деяку кутову швидкість ω, вона через в'язкість незабаром згасає, і потік стає безвихровим. Однак якась циркуляція навколо трубки все ж залишається.
 
Із теорії можна  обчислити  форму  поверхні води  в циліндрі. У  міру  того як частинки рухаються всередину, вони набирають швидкості.  Згідно з рівнянням (40.20), тангенціальна швидкість збільшується  як 1/r — просто завдяки закону збереження моменту  кількості    руху,  як у фігуриста, що притиснув руки до тіла. Радіальна швидкість теж зростає як 1/r. Якщо знехтувати тангенціальним рухом, то вийде, що вода йде всередину по радіусу до отвору, а з рівняння  ∇·v = 0 випливає, що радіальна швидкість пропорційна 1/r. Таким чином, повна швидкість теж зростає як 1/r, і вода йде по спіралі Архімеда. Поверхня вода — повітря цілком перебуває під атмосферним тиском, так що, згідно з рівнянням  (40.14),  вона повинна мати властивість

Але тут v пропорційне 1/r, тому форма поверхні буде такою:

Зверніть увагу на одну цікаву особливість, яка спостерігається у випадку нестисливого безвихрового потоку (у загальному випадку її немає): якщо в нас є якийсь один розв'язок і якийсь другий розв'язок, то сума їх теж буде розв'язком. Це справедливо тому, що рівняння (40.19) — лінійні. Повний же набір гідродинамічних рівнянь, тобто рівнянь (40.8) — (40.10), не лінійний, а це вже зовсім інша справа. Однак для безвихрового потоку навколо циліндра ми можемо скласти один потік (фіг. 40.11,а) та інший потік (фіг. 40.11,б) і отримати новий вид потоку (фіг. 40.11,в). Цей новий потік особливо цікавий. Швидкість потоку на верхній стороні циліндра виявляється більшою, ніж на нижній, так що коли на циркуляцію навколо циліндра накладається чистий горизонтальний потік, то виникне сила, що діє на циліндр, вертикальна сила; вона називається підіймальною силою. Зрозуміло, що якщо циркуляція відсутня, то відповідно до нашої теорії «сухої» води для будь-якого тіла сумарна сила перетворюється на нуль.