До розділу 1. Атоми в русі
Розв'язуючи наведені нижче задачі, використовуйте ідеї та методи, викладені в першому розділі «Лекцій», а також ваш власний досвід і уяву. Про одержання точних числових результатів особливо не турбуйтеся.
1.1. За звичайних умов повітря має густину близько 0,001 г/см3, тоді як густина рідкого повітря приблизно 1 г/см3.
а) Оцініть кількість молекул в 1 см3 газоподібного та рідкого повітря.
б) Оцініть масу «молекули» повітря.
в) Розрахуйте середню відстань, яку молекула повітря проходить між двома послідовними зіткненнями з іншими молекулами за нормального тиску й температури. Цю відстань називають довжиною вільного пробігу.
г) Оцініть тиск, до якого необхідно відкачати вакуумну систему, щоб довжина вільного пробігу в ній дорівнювала 1 м.
1.2. В один із давніх днів палеозойської ери крапля пообідньої зливи впала на м'яку рівну землю й залишила на ній відбиток. Минав час, і на цей відбиток під час розкопок натрапив студент-геолог, що страждав від спеки й спраги. Осушуючи свою флягу, він від нічого робити прикидає, скільки молекул із тієї давньої краплі було у воді, яку він щойно випив. Оцініть і ви кількість цих молекул, використовуючи лише ті дані, які вам уже відомі. Щодо деталей, не наведених в умові задачі, зробіть самі слушні припущення.
1.3. Дія відбувається десь у Каліфорнії. На підвіконні біля відчиненого вікна залишили склянку з водою.
а) Як ви думаєте, скільки часу вона так простоїть, доки вода з неї не випарується повністю?
б) Скільки молекул при цьому випаровуватиметься з кожного квадратного сантиметра водної поверхні за секунду?
в) Чи існує зв'язок, і якщо так, то який, між відповіддю на запитання (а) і середньорічною кількістю опадів, що випадають на Землю?
1.4. Якщо атоми, з яких складаються всі тіла, перебувають у безперервному русі, то завдяки чому предмети зберігають сталу форму, іноді не змінюючись дуже довго (наприклад, скам'янілості)?
1.5. Чи можете ви пояснити, чому не існує кристалів із гранями у формі правильного п'ятикутника? (Трикутники, квадрати й шестикутники в кристалічних формах трапляються постійно.)
1.6. Як залежить тиск газу P від кількості атомів в одиниці об'єму пи — середньої швидкості атомів? Чи буде P просто пропорційним n і чи залежність відрізняється від лінійної?
1.7. Якщо теплота є не що інше, як рух молекул, то чим відрізняється гарячий, нерухомий бейсбольний м'ячик від холодного, але швидко рухомого?
1.8. Поясніть, чому й як тертя між рухомими частинами машини призводить до виділення тепла.
1.9. Хіміки виявили, що молекули гуми складаються з довгих ланцюжків атомів, які перехрещуються. Поясніть, чому шматок гуми нагрівається, якщо його розтягнути.
1.10 Що трапиться зі шматком гуми, на якому підвішено вантаж, якщо гуму нагріти? (Проробіть самі такий дослід.)
1.11. Вам дано велику кількість сталевих кульок однакового діаметра d і посудину відомого об'єму V. Усі габарити посудини набагато більші за діаметр кульок. Яка максимальна кількість кульок може поміститися в посудині?
До розділу 4. Збереження енергії
Розв'яжіть такі задачі, використовуючи закон збереження енергії та принцип віртуальної роботи.
4.1. Вантаж вагою W=50 кг підвішено в середній точці дроту АСВ, як показано на рисунку; АС=СB=5 м; AВ=5√2 м. Знайдіть натяг T дроту.
4.2. Драбина довжиною 3 м приставлена під кутом до гладенької вертикальної стіни. На її верхньому кінці є ролики (див. рисунок). Драбина важить 12 кг. На відстані 0,75 м від її верхнього кінця підвішено вантаж 24 кг. Знайдіть:
а) силу, з якою ролики тиснуть на стіну;
б) горизонтальну й вертикальну складові сили, з якою драбина тисне на землю.
4.3. Підйомний пристрій складається з однорідного стрижня довжиною L і вагою w; пристрій нижнім кінцем шарнірно з'єднано зі стінкою. З вертикаллю стрижень утворює сталий кут θ завдяки горизонтально натягнутому дроту, який з'єднано зі стрижнем на відстані x від шарніра. Вантаж W підвішено до верхньої точки стрижня. Знайдіть натяг T горизонтального дроту.
4.4. Ферма складається з легких алюмінієвих стрижнів, кінці яких шарнірно з'єднано одні з одними. У точці C ферма спирається на ролик, який може рухатися по гладенькій площині. Під час зварювання стрижень АВ нагрівається, причому його довжина збільшується на величину x. У результаті вантаж W зміщується по вертикалі на відстань y.
а) Як спрямоване зміщення W — угору чи вниз?
б) Яка сила діє на стрижень АВ (визначити треба й знак сили, тобто з'ясувати, розтягнутий стрижень чи стиснутий)?
4.5. Візок утримується на похилій площині вантажем w, підвішеним, як указано на рисунку. Тертям у всіх частинах пристрою можна знехтувати. Знайдіть W — вагу візка.
4.6. Вага котушки дорівнює w, а її великий і малий радіуси — R і r відповідно. За допомогою ниток, намотаних по малому радіусу, котушку прикріплено до нерухомого бруска, а знизу до неї на нитках, намотаних уже по великому радіусу, підвішено вантаж W (див. рисунок). Вагу вантажу підібрано так, що котушка перебуває в рівновазі. Чому дорівнює вага вантажу W?
4.7. У диференціальному вороті, який схематично зображено на рисунку, використовується ланцюг, погонний метр якого містить N ланок. Шківи верхнього блока забезпечено зубцями, які пропускаються крізь ланки ланцюга, причому шків більшого діаметра має n зубців, а шків меншого діаметра n—1. Тертя в системі таке, що сили, потрібні для піднімання або опускання вантажу W, відрізняються в R разів. Припускаючи, що тертя від напрямку руху не залежить, знайдіть ці сили.
4.8. Петля, зроблена з гнучкого важкого ланцюга вагою W, надіта на гладенький прямий круговий конус, висота якого h, а радіус основи r. Ланцюг лежить нерухомо в горизонтальній площині (вісь конуса напрямлена вертикально). Знайдіть натяг ланцюга.
4.9. Рухома рама АА′ВВ′ закріплена у вертикальній площині на шарнірах P і P′ (див. рисунок). Тертям у всіх рухомих з'єднаннях можна знехтувати. Усі розміри твердих кутників AA′CD і BB′GH однакові; крім того,
Розв'язуючи наведені нижче задачі, використовуйте ідеї та методи, викладені в першому розділі «Лекцій», а також ваш власний досвід і уяву. Про одержання точних числових результатів особливо не турбуйтеся.
1.1. За звичайних умов повітря має густину близько 0,001 г/см3, тоді як густина рідкого повітря приблизно 1 г/см3.
а) Оцініть кількість молекул в 1 см3 газоподібного та рідкого повітря.
б) Оцініть масу «молекули» повітря.
в) Розрахуйте середню відстань, яку молекула повітря проходить між двома послідовними зіткненнями з іншими молекулами за нормального тиску й температури. Цю відстань називають довжиною вільного пробігу.
г) Оцініть тиск, до якого необхідно відкачати вакуумну систему, щоб довжина вільного пробігу в ній дорівнювала 1 м.
1.2. В один із давніх днів палеозойської ери крапля пообідньої зливи впала на м'яку рівну землю й залишила на ній відбиток. Минав час, і на цей відбиток під час розкопок натрапив студент-геолог, що страждав від спеки й спраги. Осушуючи свою флягу, він від нічого робити прикидає, скільки молекул із тієї давньої краплі було у воді, яку він щойно випив. Оцініть і ви кількість цих молекул, використовуючи лише ті дані, які вам уже відомі. Щодо деталей, не наведених в умові задачі, зробіть самі слушні припущення.
1.3. Дія відбувається десь у Каліфорнії. На підвіконні біля відчиненого вікна залишили склянку з водою.
а) Як ви думаєте, скільки часу вона так простоїть, доки вода з неї не випарується повністю?
б) Скільки молекул при цьому випаровуватиметься з кожного квадратного сантиметра водної поверхні за секунду?
в) Чи існує зв'язок, і якщо так, то який, між відповіддю на запитання (а) і середньорічною кількістю опадів, що випадають на Землю?
1.4. Якщо атоми, з яких складаються всі тіла, перебувають у безперервному русі, то завдяки чому предмети зберігають сталу форму, іноді не змінюючись дуже довго (наприклад, скам'янілості)?
1.5. Чи можете ви пояснити, чому не існує кристалів із гранями у формі правильного п'ятикутника? (Трикутники, квадрати й шестикутники в кристалічних формах трапляються постійно.)
1.6. Як залежить тиск газу P від кількості атомів в одиниці об'єму пи — середньої швидкості атомів? Чи буде P просто пропорційним n і чи залежність відрізняється від лінійної?
1.7. Якщо теплота є не що інше, як рух молекул, то чим відрізняється гарячий, нерухомий бейсбольний м'ячик від холодного, але швидко рухомого?
1.8. Поясніть, чому й як тертя між рухомими частинами машини призводить до виділення тепла.
1.9. Хіміки виявили, що молекули гуми складаються з довгих ланцюжків атомів, які перехрещуються. Поясніть, чому шматок гуми нагрівається, якщо його розтягнути.
1.10 Що трапиться зі шматком гуми, на якому підвішено вантаж, якщо гуму нагріти? (Проробіть самі такий дослід.)
1.11. Вам дано велику кількість сталевих кульок однакового діаметра d і посудину відомого об'єму V. Усі габарити посудини набагато більші за діаметр кульок. Яка максимальна кількість кульок може поміститися в посудині?
До розділу 4. Збереження енергії
Розв'яжіть такі задачі, використовуючи закон збереження енергії та принцип віртуальної роботи.
4.1. Вантаж вагою W=50 кг підвішено в середній точці дроту АСВ, як показано на рисунку; АС=СB=5 м; AВ=5√2 м. Знайдіть натяг T дроту.4.2. Драбина довжиною 3 м приставлена під кутом до гладенької вертикальної стіни. На її верхньому кінці є ролики (див. рисунок). Драбина важить 12 кг. На відстані 0,75 м від її верхнього кінця підвішено вантаж 24 кг. Знайдіть:а) силу, з якою ролики тиснуть на стіну;
б) горизонтальну й вертикальну складові сили, з якою драбина тисне на землю.
4.3. Підйомний пристрій складається з однорідного стрижня довжиною L і вагою w; пристрій нижнім кінцем шарнірно з'єднано зі стінкою. З вертикаллю стрижень утворює сталий кут θ завдяки горизонтально натягнутому дроту, який з'єднано зі стрижнем на відстані x від шарніра. Вантаж W підвішено до верхньої точки стрижня. Знайдіть натяг T горизонтального дроту.4.4. Ферма складається з легких алюмінієвих стрижнів, кінці яких шарнірно з'єднано одні з одними. У точці C ферма спирається на ролик, який може рухатися по гладенькій площині. Під час зварювання стрижень АВ нагрівається, причому його довжина збільшується на величину x. У результаті вантаж W зміщується по вертикалі на відстань y.а) Як спрямоване зміщення W — угору чи вниз?
б) Яка сила діє на стрижень АВ (визначити треба й знак сили, тобто з'ясувати, розтягнутий стрижень чи стиснутий)?
4.5. Візок утримується на похилій площині вантажем w, підвішеним, як указано на рисунку. Тертям у всіх частинах пристрою можна знехтувати. Знайдіть W — вагу візка.4.6. Вага котушки дорівнює w, а її великий і малий радіуси — R і r відповідно. За допомогою ниток, намотаних по малому радіусу, котушку прикріплено до нерухомого бруска, а знизу до неї на нитках, намотаних уже по великому радіусу, підвішено вантаж W (див. рисунок). Вагу вантажу підібрано так, що котушка перебуває в рівновазі. Чому дорівнює вага вантажу W?4.7. У диференціальному вороті, який схематично зображено на рисунку, використовується ланцюг, погонний метр якого містить N ланок. Шківи верхнього блока забезпечено зубцями, які пропускаються крізь ланки ланцюга, причому шків більшого діаметра має n зубців, а шків меншого діаметра n—1. Тертя в системі таке, що сили, потрібні для піднімання або опускання вантажу W, відрізняються в R разів. Припускаючи, що тертя від напрямку руху не залежить, знайдіть ці сили.4.8. Петля, зроблена з гнучкого важкого ланцюга вагою W, надіта на гладенький прямий круговий конус, висота якого h, а радіус основи r. Ланцюг лежить нерухомо в горизонтальній площині (вісь конуса напрямлена вертикально). Знайдіть натяг ланцюга.
4.9. Рухома рама АА′ВВ′ закріплена у вертикальній площині на шарнірах P і P′ (див. рисунок). Тертям у всіх рухомих з'єднаннях можна знехтувати. Усі розміри твердих кутників AA′CD і BB′GH однакові; крім того,Зображення
Завдяки противазі wc рама за відсутності вантажів W1 і W2 перебуває в рівновазі. Якщо в точці D підвісити вантаж W1 вагою 0,5 кг, то який слід підвісити вантаж W2 в точці H, щоб зберегти рівновагу?
4.10. Через блок перекинуто рівні вантажі, які без тертя спираються на похилі площини (див. рисунок). Якщо дозволити вантажам рухатися, якої швидкості вони набудуть, пройшовши відстань D?
4.11. Два вантажі W1 і W2 різної ваги (W1>W2) утримуються в стані спокою на гладеньких похилих площинах. Якщо дозволити їм рухатися, то якою буде їхня швидкість після проходження відстані D?
4.12. У бак із площею поперечного перерізу A налито рідину густини ρ. Рідина вільно витікає з невеликого отвору, розташованого на відстані H нижче від рівня рідини. Площа отвору дорівнює α. Якщо внутрішнє тертя (в'язкість) у рідині відсутнє, з якою швидкістю вона витікає з отвору?
4.13. З розв'язання наведених вище задач має бути ясно, що розгляд статичної рівноваги за відсутності тертя можна звести, використовуючи принцип віртуальних переміщень, до проблеми суто геометричного характеру: куди зміститься одна точка, якщо мале зміщення іншої задано? У багатьох випадках на це запитання легко відповісти, використовуючи такі властивості трикутників:
I. Якщо за сталої довжини сторін d1 і d2 кут змінюється на малу величину Δα, то довжина протилежної сторони L змінюється на
4.10. Через блок перекинуто рівні вантажі, які без тертя спираються на похилі площини (див. рисунок). Якщо дозволити вантажам рухатися, якої швидкості вони набудуть, пройшовши відстань D?4.11. Два вантажі W1 і W2 різної ваги (W1>W2) утримуються в стані спокою на гладеньких похилих площинах. Якщо дозволити їм рухатися, то якою буде їхня швидкість після проходження відстані D?4.12. У бак із площею поперечного перерізу A налито рідину густини ρ. Рідина вільно витікає з невеликого отвору, розташованого на відстані H нижче від рівня рідини. Площа отвору дорівнює α. Якщо внутрішнє тертя (в'язкість) у рідині відсутнє, з якою швидкістю вона витікає з отвору?4.13. З розв'язання наведених вище задач має бути ясно, що розгляд статичної рівноваги за відсутності тертя можна звести, використовуючи принцип віртуальних переміщень, до проблеми суто геометричного характеру: куди зміститься одна точка, якщо мале зміщення іншої задано? У багатьох випадках на це запитання легко відповісти, використовуючи такі властивості трикутників:I. Якщо за сталої довжини сторін d1 і d2 кут змінюється на малу величину Δα, то довжина протилежної сторони L змінюється на
Зображення
II. Якщо довжини сторін прямокутного трикутника a, b і c змінюються відповідно на Δα, Δb і Δc, то ці зміни пов'язані між собою співвідношенням
Зображення
(с — гіпотенуза). Чи можете ви довести ці формули?
4.14. Вантажівка навантажена однаковими гладенькими колодами. Вона заїхала в кювет і стоїть, накренившись на один бік, причому дно кузова утворює з горизонталлю кут θ (крену в поздовжньому напрямку немає — вантажівка стоїть «на рівному кілі»). Закінчується розвантаження кузова. Якщо прибрати колоду, показану на рисунку пунктиром, то останні три колоди за найменшого зменшення кута θ розкотяться. Знайдіть кут θ.
4.15. Довжини похилих і горизонтальних стрижнів ферми, показаної на рисунку, співвідносяться як 5 : 6. Усі з'єднання шарнірні, вільні, і вага самої ферми нехтовно мала.
а) Які стрижні за даного положення вантажу W можна замінити гнучкими в'язями?
б) Знайдіть зусилля в стрижні BD.
4.16. Стрижень довжини R складено з двох однорідних шматків однакової довжини, один з яких важить удвічі більше за інший. Стрижень підвішено за кінці на двох нитках довжини R, прикріплених до цвяха в точці P. Який кут з горизонталлю утворює стрижень у положенні рівноваги?
4.17. З міцного дроту виготовлено рамку у формі прямокутного трикутника й поміщено у вертикальній площині, як показано на рисунку. По дроту без тертя ковзають зв'язані ниткою два вантажики вагою W1=100 г і W2=300 г. Чому дорівнюють натяг нитки й кут α у положенні рівноваги?
До розділу 6. Імовірність
6.1. «Молекула повітря» за температури 25° С і тиску 760 мм рт. ст., рухаючись із середньою швидкістю 450 м/с, встигає між двома послідовними зіткненнями пролетіти близько 7·10–6 см. Якщо в повітрі відсутній струминний, макроскопічний рух, то скільки приблизно часу знадобиться молекулі, щоб віддалитися на 1 см від точки, в якій вона перебуває в цей момент?
6.2. У сумці в хлопчика три червоні, дві зелені й одна біла кулька. Він виймає, не дивлячись, три перші кульки, що трапилися під руку. Яка ймовірність того, що:
а) усі три кульки різного кольору?
б) усі три кульки одного кольору?
6.3. Нерухома сфера радіуса b «обстрілюється» потоком маленьких кульок радіуса a. Припускатимемо, що розсіяння абсолютно пружне і що кут падіння дорівнює куту відбиття (вони відлічуються від лінії, яка сполучає центри сфери й кульки в момент дотику). Отримайте вираз для відносної частки кульок, що розсіюються на різні кути. Результат подайте у вигляді формули для перерізу розсіяння. Переконайтеся, що результат для повного перерізу розсіяння зводиться до очевидного виразу π(а+b)2.
До розділу 7. Теорія тяжіння
Наведемо деякі властивості еліпса. Його розміри й форма повністю визначаються заданням будь-яких двох із таких величин:
a — велика піввісь;
b — мала піввісь;
c — відстань від центра до одного з фокусів;
e — ексцентриситет;
rp — найкоротша відстань від фокуса до лінії еліпса;
ra — найбільша відстань від фокуса до лінії еліпса. Співвідношення між цими величинами мають вигляд 7.1. Відстань від Місяця до центра Землі змінюється від 363 300 км у перигеї до 405 500 км в апогеї, період обертання Місяця навколо Землі становить 27,322 доби. Штучний супутник Землі рухається по орбіті так, що відстань від земної поверхні в перигеї дорівнює 225 км, а в апогеї 710 км. Середній діаметр Землі дорівнює 12 756 км. Визначте період обертання супутника.
7.2. Супутник рухається по коловій орбіті радіуса R навколо великого небесного тіла маси M. Маса супутника m.
а) Використовуючи співвідношення s=at2/2 і міркування, викладені в розд. 7 «Лекцій», отримайте вираз для доцентрового прискорення, яке зазнає супутник, що рухається по коловій орбіті. Виразіть це прискорення через орбітальну швидкість і радіус орбіти. б) Вважаючи ma=GMm/R2, отримайте третій закон Кеплера.
7.3. а) Порівнюючи параметри орбітальних рухів Землі навколо Сонця та Місяця навколо Землі, визначте відношення маси Сонця до маси Землі. (Можете при цьому використати співвідношення, отримані в попередній задачі.)
б) Іо, супутник Юпітера, робить оберт по орбіті радіуса 421 800 км за 1,769 доби. Визначте відношення маси Юпітера до маси Землі.
7.4. Використовуючи уявлення про те, що два тіла, які взаємно притягуються, безперервно «падають» одне на одне й у результаті обертаються навколо однієї спільної нерухомої точки (центра мас системи), покажіть, що період обертання за фіксованої відстані R між тілами залежить лише від суми їхніх мас, але не від відношення мас. Це твердження слушне й для еліптичних орбіт. Спробуйте його довести.
7.5. Дві зорі a і b рухаються одна навколо одної під дією взаємного гравітаційного притягання. Велика піввісь орбіти цього відносного руху, виміряна в астрономічних одиницях (a. о.), дорівнює R, а період обертання становить T років. Отримайте вираз для відношення суми мас зір ma+mb до маси Сонця.
7.6. Тригонометричний паралакс Сіріуса (тобто кут, під яким із Сіріуса видно радіус земної орбіти) дорівнює 0,378 кут. с. Використовуючи це значення та числові дані, наведені на фіг. 7.7 в «Лекціях» (вип. 1, стор. 131), визначте якомога точніше сумарну масу системи Сіріуса щодо маси Сонця:
а) вважаючи, що площина орбіти відносного руху Сіріуса A і Сіріуса B перпендикулярна до напрямку на Землю; б) ураховуючи, що реальний кут між площиною орбіти і напрямком на Землю відрізняється від прямого, чи є отримане вами значення маси граничним? Якщо так, то це верхня межа чи нижня?
7.7. Ексцентриситет земної орбіти дорівнює 0,0167. Знайдіть відношення максимального значення орбітальної швидкості Землі до мінімального значення.
7.8. У 1986 р. очікується поява комети Галлея. Це буде її сьоме повернення з подорожі навколо Сонця, якщо починати відлік із тих днів 1456 р., коли перелякані люди підносили в церквах молитви, просячи захистити їх від «диявола, турка і комети». Під час її останнього проходження через перигелій 19 квітня 1910 р. було виміряно відстань між нею і Сонцем, яка виявилася
рівною 0,60 а. о.
а) На яку відстань віддаляється комета від Сонця в найдальшій точці своєї траєкторії?
б) Чому дорівнює відношення максимального значення її орбітальної швидкості до мінімального?
7.9. Як можна визначити масу Місяця?
7.10. Радіуси Землі та Місяця дорівнюють 6378 і 1738 км відповідно, а їхні маси перебувають у відношенні 81,3 : 1. Обчисліть прискорення сили тяжіння на Місяці, якщо на Землі воно дорівнює 9,8 м/с2.
7.11. Якою має бути точність експериментального визначення g, щоб став помітним «добовий хід» цієї величини через наявність місячного притягання? Для простоти припускатимемо, що лабораторія, в якій виконуються вимірювання, має таке географічне розташування, що Місяць проходить над нею в зеніті, а «під нею» — в надирі. Нехтуйте впливом припливів.
До розділу 8. Рух
8.1. Тіло рухається по прямій лінії зі сталим прискоренням a. При t=0 воно перебуває в точці х=х0 і має швидкість vx=vx0. Покажіть, що в момент часу t положення і швидкість тіла визначаються співвідношеннями
4.14. Вантажівка навантажена однаковими гладенькими колодами. Вона заїхала в кювет і стоїть, накренившись на один бік, причому дно кузова утворює з горизонталлю кут θ (крену в поздовжньому напрямку немає — вантажівка стоїть «на рівному кілі»). Закінчується розвантаження кузова. Якщо прибрати колоду, показану на рисунку пунктиром, то останні три колоди за найменшого зменшення кута θ розкотяться. Знайдіть кут θ.4.15. Довжини похилих і горизонтальних стрижнів ферми, показаної на рисунку, співвідносяться як 5 : 6. Усі з'єднання шарнірні, вільні, і вага самої ферми нехтовно мала.а) Які стрижні за даного положення вантажу W можна замінити гнучкими в'язями?
б) Знайдіть зусилля в стрижні BD.
4.16. Стрижень довжини R складено з двох однорідних шматків однакової довжини, один з яких важить удвічі більше за інший. Стрижень підвішено за кінці на двох нитках довжини R, прикріплених до цвяха в точці P. Який кут з горизонталлю утворює стрижень у положенні рівноваги?4.17. З міцного дроту виготовлено рамку у формі прямокутного трикутника й поміщено у вертикальній площині, як показано на рисунку. По дроту без тертя ковзають зв'язані ниткою два вантажики вагою W1=100 г і W2=300 г. Чому дорівнюють натяг нитки й кут α у положенні рівноваги?До розділу 6. Імовірність
6.1. «Молекула повітря» за температури 25° С і тиску 760 мм рт. ст., рухаючись із середньою швидкістю 450 м/с, встигає між двома послідовними зіткненнями пролетіти близько 7·10–6 см. Якщо в повітрі відсутній струминний, макроскопічний рух, то скільки приблизно часу знадобиться молекулі, щоб віддалитися на 1 см від точки, в якій вона перебуває в цей момент?
6.2. У сумці в хлопчика три червоні, дві зелені й одна біла кулька. Він виймає, не дивлячись, три перші кульки, що трапилися під руку. Яка ймовірність того, що:
а) усі три кульки різного кольору?
б) усі три кульки одного кольору?
6.3. Нерухома сфера радіуса b «обстрілюється» потоком маленьких кульок радіуса a. Припускатимемо, що розсіяння абсолютно пружне і що кут падіння дорівнює куту відбиття (вони відлічуються від лінії, яка сполучає центри сфери й кульки в момент дотику). Отримайте вираз для відносної частки кульок, що розсіюються на різні кути. Результат подайте у вигляді формули для перерізу розсіяння. Переконайтеся, що результат для повного перерізу розсіяння зводиться до очевидного виразу π(а+b)2.
До розділу 7. Теорія тяжінняНаведемо деякі властивості еліпса. Його розміри й форма повністю визначаються заданням будь-яких двох із таких величин:
a — велика піввісь;
b — мала піввісь;
c — відстань від центра до одного з фокусів;
e — ексцентриситет;
rp — найкоротша відстань від фокуса до лінії еліпса;
ra — найбільша відстань від фокуса до лінії еліпса. Співвідношення між цими величинами мають вигляд 7.1. Відстань від Місяця до центра Землі змінюється від 363 300 км у перигеї до 405 500 км в апогеї, період обертання Місяця навколо Землі становить 27,322 доби. Штучний супутник Землі рухається по орбіті так, що відстань від земної поверхні в перигеї дорівнює 225 км, а в апогеї 710 км. Середній діаметр Землі дорівнює 12 756 км. Визначте період обертання супутника.
7.2. Супутник рухається по коловій орбіті радіуса R навколо великого небесного тіла маси M. Маса супутника m.
а) Використовуючи співвідношення s=at2/2 і міркування, викладені в розд. 7 «Лекцій», отримайте вираз для доцентрового прискорення, яке зазнає супутник, що рухається по коловій орбіті. Виразіть це прискорення через орбітальну швидкість і радіус орбіти. б) Вважаючи ma=GMm/R2, отримайте третій закон Кеплера.
7.3. а) Порівнюючи параметри орбітальних рухів Землі навколо Сонця та Місяця навколо Землі, визначте відношення маси Сонця до маси Землі. (Можете при цьому використати співвідношення, отримані в попередній задачі.)
б) Іо, супутник Юпітера, робить оберт по орбіті радіуса 421 800 км за 1,769 доби. Визначте відношення маси Юпітера до маси Землі.
7.4. Використовуючи уявлення про те, що два тіла, які взаємно притягуються, безперервно «падають» одне на одне й у результаті обертаються навколо однієї спільної нерухомої точки (центра мас системи), покажіть, що період обертання за фіксованої відстані R між тілами залежить лише від суми їхніх мас, але не від відношення мас. Це твердження слушне й для еліптичних орбіт. Спробуйте його довести.
7.5. Дві зорі a і b рухаються одна навколо одної під дією взаємного гравітаційного притягання. Велика піввісь орбіти цього відносного руху, виміряна в астрономічних одиницях (a. о.), дорівнює R, а період обертання становить T років. Отримайте вираз для відношення суми мас зір ma+mb до маси Сонця.
7.6. Тригонометричний паралакс Сіріуса (тобто кут, під яким із Сіріуса видно радіус земної орбіти) дорівнює 0,378 кут. с. Використовуючи це значення та числові дані, наведені на фіг. 7.7 в «Лекціях» (вип. 1, стор. 131), визначте якомога точніше сумарну масу системи Сіріуса щодо маси Сонця:
а) вважаючи, що площина орбіти відносного руху Сіріуса A і Сіріуса B перпендикулярна до напрямку на Землю; б) ураховуючи, що реальний кут між площиною орбіти і напрямком на Землю відрізняється від прямого, чи є отримане вами значення маси граничним? Якщо так, то це верхня межа чи нижня?
7.7. Ексцентриситет земної орбіти дорівнює 0,0167. Знайдіть відношення максимального значення орбітальної швидкості Землі до мінімального значення.
7.8. У 1986 р. очікується поява комети Галлея. Це буде її сьоме повернення з подорожі навколо Сонця, якщо починати відлік із тих днів 1456 р., коли перелякані люди підносили в церквах молитви, просячи захистити їх від «диявола, турка і комети». Під час її останнього проходження через перигелій 19 квітня 1910 р. було виміряно відстань між нею і Сонцем, яка виявилася
рівною 0,60 а. о.
а) На яку відстань віддаляється комета від Сонця в найдальшій точці своєї траєкторії?
б) Чому дорівнює відношення максимального значення її орбітальної швидкості до мінімального?
7.9. Як можна визначити масу Місяця?
7.10. Радіуси Землі та Місяця дорівнюють 6378 і 1738 км відповідно, а їхні маси перебувають у відношенні 81,3 : 1. Обчисліть прискорення сили тяжіння на Місяці, якщо на Землі воно дорівнює 9,8 м/с2.
7.11. Якою має бути точність експериментального визначення g, щоб став помітним «добовий хід» цієї величини через наявність місячного притягання? Для простоти припускатимемо, що лабораторія, в якій виконуються вимірювання, має таке географічне розташування, що Місяць проходить над нею в зеніті, а «під нею» — в надирі. Нехтуйте впливом припливів.
До розділу 8. Рух
8.1. Тіло рухається по прямій лінії зі сталим прискоренням a. При t=0 воно перебуває в точці х=х0 і має швидкість vx=vx0. Покажіть, що в момент часу t положення і швидкість тіла визначаються співвідношеннями
Зображення
Зображення
8.2. Виключіть час із формул, наведених у попередній задачі, і покажіть, що в будь-який момент часу виконується рівність
Зображення
8.3. Узагальніть результати двох останніх задач на випадок тривимірного руху з постійним прискоренням, проекції якого на координатні осі дорівнюють аx, аy і аz.
8.4. Снаряд випущено з гармати, встановленої на рівні землі, з початковою швидкістю v під кутом θ до горизонту. Нехтуючи опором повітря, обчисліть відстань, яку він пролетить, і максимальну висоту, якої він досягне в польоті.
8.5. Під яким кутом до горизонту слід встановити ствол гармати, щоб снаряд (див. попередню задачу) пролетів максимальну відстань?
8.6. Новачок, незнайомий зі звичаями регулювальників руху на наших приміських дорогах, був покараний штрафом за перевищення швидкості. Тому, побачивши на рівній ділянці дороги плакат «Перевірте спідометр», він вирішує скористатися цією порадою. Пройшовши лінію «0» розміченої ділянки шосе, він натискає на акселератор і протягом усього часу перевірки змушує свою машину рухатися з постійним прискоренням. Він помічає, що повз стовпчик із позначкою «0,1 милі» його машина проходить через 16 с після початку випробування, а ще через 8 с він проїжджає повз позначку «0,2 милі».
а) Яким буде в цей момент показання його спідометра?
б) З яким прискоренням рухалася машина?
8.7. Ракета, запущена у вертикальному напрямку, рухається з прискоренням 2g протягом усіх 50 с роботи двигуна. Нехтуючи опором повітря і зміною величини g з висотою:
а) накресліть діаграму v— t (залежність швидкості від часу) для всього часу польоту;
б) визначте максимальну висоту, якої досягла ракета;
в) розрахуйте повний час польоту від моменту запуску до повернення на Землю.
8.8. На довгій горизонтальній ділянці полігона випробовуються ракетні й авіаційні реактивні двигуни. Одного разу візок із ракетним двигуном, рушаючи з місця, рухався з постійним прискоренням, поки не вигоріло все паливо, а потім він продовжував рухатися з постійною швидкістю. Паливо, як виявилося, скінчилося рівно посередині відміряної відстані. Потім із тієї самої початкової точки почав розганятися візок з авіаційним реактивним двигуном, який пройшов з постійним прискоренням всю відстань. Виявилося, що обидва візки пройшли відому відстань за однаковий час. Чому дорівнює відношення прискорень, які розвивають ракетний і авіаційний двигуни?
8.9. Міномет установлено на відстані 8100 м від вертикального обриву заввишки 105 м (див. схему). Необхідно мінометним вогнем уразити цілі, приховані за обривом. Як близько до основи обриву можуть «підібратися» міни, якщо їхня початкова швидкість становить 300 м/с?
8.10. Кут можна вимірювати довжиною дуги кола, яку відтинає кут, якщо його вершина міститься в центрі кола. Якщо S — довжина дуги, a R — радіус кола, то кут у радіанах дорівнює
8.4. Снаряд випущено з гармати, встановленої на рівні землі, з початковою швидкістю v під кутом θ до горизонту. Нехтуючи опором повітря, обчисліть відстань, яку він пролетить, і максимальну висоту, якої він досягне в польоті.
8.5. Під яким кутом до горизонту слід встановити ствол гармати, щоб снаряд (див. попередню задачу) пролетів максимальну відстань?
8.6. Новачок, незнайомий зі звичаями регулювальників руху на наших приміських дорогах, був покараний штрафом за перевищення швидкості. Тому, побачивши на рівній ділянці дороги плакат «Перевірте спідометр», він вирішує скористатися цією порадою. Пройшовши лінію «0» розміченої ділянки шосе, він натискає на акселератор і протягом усього часу перевірки змушує свою машину рухатися з постійним прискоренням. Він помічає, що повз стовпчик із позначкою «0,1 милі» його машина проходить через 16 с після початку випробування, а ще через 8 с він проїжджає повз позначку «0,2 милі».
а) Яким буде в цей момент показання його спідометра?
б) З яким прискоренням рухалася машина?
8.7. Ракета, запущена у вертикальному напрямку, рухається з прискоренням 2g протягом усіх 50 с роботи двигуна. Нехтуючи опором повітря і зміною величини g з висотою:
а) накресліть діаграму v— t (залежність швидкості від часу) для всього часу польоту;
б) визначте максимальну висоту, якої досягла ракета;
в) розрахуйте повний час польоту від моменту запуску до повернення на Землю.
8.8. На довгій горизонтальній ділянці полігона випробовуються ракетні й авіаційні реактивні двигуни. Одного разу візок із ракетним двигуном, рушаючи з місця, рухався з постійним прискоренням, поки не вигоріло все паливо, а потім він продовжував рухатися з постійною швидкістю. Паливо, як виявилося, скінчилося рівно посередині відміряної відстані. Потім із тієї самої початкової точки почав розганятися візок з авіаційним реактивним двигуном, який пройшов з постійним прискоренням всю відстань. Виявилося, що обидва візки пройшли відому відстань за однаковий час. Чому дорівнює відношення прискорень, які розвивають ракетний і авіаційний двигуни?
8.9. Міномет установлено на відстані 8100 м від вертикального обриву заввишки 105 м (див. схему). Необхідно мінометним вогнем уразити цілі, приховані за обривом. Як близько до основи обриву можуть «підібратися» міни, якщо їхня початкова швидкість становить 300 м/с?8.10. Кут можна вимірювати довжиною дуги кола, яку відтинає кут, якщо його вершина міститься в центрі кола. Якщо S — довжина дуги, a R — радіус кола, то кут у радіанах дорівнює
Зображення
а) Покажіть, що якщо θ≪1 рад, то sinθ≈θ,cosθ≈1.
б) Використовуючи отриманий результат і формули для косинуса й синуса суми двох кутів, знайдіть похідні від sinx і cosx, застосовуючи основну формулу
б) Використовуючи отриманий результат і формули для косинуса й синуса суми двох кутів, знайдіть похідні від sinx і cosx, застосовуючи основну формулу
Зображення
8.11. Тіло рухається по колу радіуса R проти годинникової стрілки з постійною швидкістю v. Центр кола міститься на початку прямокутної системи координат (x, y), і в момент t=0 тіло перебуває в точці з координатами (R, 0).а) Знайдіть x, y, vx, vy, ax, ay як функції часу.
б) Покажіть, що
Зображення
а крапка над літерою означає похідну за часом, так що
Зображення
8.12. Невеликий камінчик застряг у візерунку протектора автомобільної шини радіуса R. Шина котиться по горизонтальній дорозі без проковзування з постійною швидкістю v. Знайдіть вирази для координат камінчика x і y як функцій часу (в момент часу t=0 камінчик торкається дороги). Знайдіть також залежність від часу компонент швидкості й прискорення камінчика.
До розділу 9. Динамічні закони Ньютона
9.1. Частинка з масою m рухається в області простору, де на неї діє сила, пропорційна швидкості частинки й перпендикулярна одночасно двом напрямкам — вектору швидкості та осі z. У початковий момент швидкість частинки дорівнює v0 і лежить у площині x — y. Покажіть, що частинка рухається по коловій орбіті, і знайдіть радіус цієї орбіти. Нехай коефіцієнт пропорційності у виразі для сили через швидкість дорівнює β, тобто F=βv.
9.2. Знайдіть радіуси кривини орбіти, зображеної на фіг. 9.6 у «Лекціях» (вип. 1, стор. 173) у моменти часу t=0, t=0,82 і t=2,086 с.
9.3. Хлопчик кидає м'яч угору під кутом 70° до горизонту й потрапляє прямо у відчинене вікно, яке розташоване на 9,6 м вище від його плеча. М'яч влітає у вікно горизонтально.
а) З якою швидкістю вилетів м'яч із руки?
б) Чому дорівнює радіус кривини траєкторії м'яча, коли він перелітає через підвіконня? Чи можете ви визначити радіус кривини
траєкторії в будь-який момент часу?
9.4. Джим і Джо, два фахівці з космічної фізики, що виросли на різних планетах, зустрічаються на міжпланетному симпозіумі Палати мір і ваг, присвяченому затвердженню універсальної системи фізичних одиниць. Джим з гордістю описує заслуги системи MKSA, якою користуються всі цивілізовані люди на Землі. Джо з не меншою гордістю вихваляє принади системи M′K′S′A′, якою користуються цивілізовані люди по всій Сонячній системі, крім Землі. Якщо постійні множники, які пов'язують одиниці маси, довжини й часу в цих двох системах, дорівнюють μ, λ і τ, так що
До розділу 9. Динамічні закони Ньютона
9.1. Частинка з масою m рухається в області простору, де на неї діє сила, пропорційна швидкості частинки й перпендикулярна одночасно двом напрямкам — вектору швидкості та осі z. У початковий момент швидкість частинки дорівнює v0 і лежить у площині x — y. Покажіть, що частинка рухається по коловій орбіті, і знайдіть радіус цієї орбіти. Нехай коефіцієнт пропорційності у виразі для сили через швидкість дорівнює β, тобто F=βv.
9.2. Знайдіть радіуси кривини орбіти, зображеної на фіг. 9.6 у «Лекціях» (вип. 1, стор. 173) у моменти часу t=0, t=0,82 і t=2,086 с.
9.3. Хлопчик кидає м'яч угору під кутом 70° до горизонту й потрапляє прямо у відчинене вікно, яке розташоване на 9,6 м вище від його плеча. М'яч влітає у вікно горизонтально.
а) З якою швидкістю вилетів м'яч із руки?
б) Чому дорівнює радіус кривини траєкторії м'яча, коли він перелітає через підвіконня? Чи можете ви визначити радіус кривини
траєкторії в будь-який момент часу?
9.4. Джим і Джо, два фахівці з космічної фізики, що виросли на різних планетах, зустрічаються на міжпланетному симпозіумі Палати мір і ваг, присвяченому затвердженню універсальної системи фізичних одиниць. Джим з гордістю описує заслуги системи MKSA, якою користуються всі цивілізовані люди на Землі. Джо з не меншою гордістю вихваляє принади системи M′K′S′A′, якою користуються цивілізовані люди по всій Сонячній системі, крім Землі. Якщо постійні множники, які пов'язують одиниці маси, довжини й часу в цих двох системах, дорівнюють μ, λ і τ, так що
Зображення
то які множники знадобляться для переведення одиниць вимірювання швидкості, прискорення, сили й енергії з однієї системи в іншу?
9.5. Як будуть пов'язані між собою числові значення гравітаційної сталої, виміряні в двох системах одиниць, описаних у попередній задачі?
9.6. Чому дорівнюватиме числове значення величини GMΟ, якщо відстань вимірювати в астрономічних одиницях, а час у роках?
9.7. Якщо виготовити модель Сонячної системи в одну k-ту натуральної величини з матеріалів тієї самої середньої густини, яка відома для справжніх планет і Сонця, то як залежатимуть від «масштабного фактора» k періоди обігу «планет» моделі по своїх орбітах?
9.8. На схемі зображено машину Атвуда — одне з перших пристосувань для вимірювання прискорення сили тяжіння. Маси блока P і ниток нехтовно малі, тертя немає. З обох боків блока підвішено вантажі однакової маси M, і система перебуває в рівновазі. Потім на один із вантажів кладеться маленький важок m, і цей вантаж починає опускатися. Після того як він пройде відстань h, важок підхоплюється спеціальним упором, і вантажі продовжують рух з постійною швидкістю v. Знайдіть прискорення сили тяжіння g, якщо величини m, M, h і v відомі.
9.9. Двоє молодих марсіан, Паоло і Франческа, хочуть переправитися через марсіанський канал Ріміні, але жодна гондола не бере їх обох одразу, а переправлятися в різних човнах вони відмовилися. Кмітливий гондольєр Джузеппе примудряється все-таки заробити на їхньому переїзді. Він підвішує цю парочку на щоглі (див. малюнок) за допомогою невагомих і абсолютно гладких блоків і мотузок (характерна особливість усіх марсіанських конструкцій) і швидко переправляє закоханих через канал, поки жоден із них не встигає торкнутися ні щогли, ні палуби. Чи багато при цьому Джузеппе виграє в навантаженні? Нагадуємо: натяг невагомої нитки, перекинутої без тертя через невагомий блок, однаковий з обох боків блока.
9.10. Космічний мандрівник збирається вирушити на Місяць. У нього є пружинні терези і гиря A масою 1 кг. Якщо підвісити цю гирю на пружині терезів на Землі, вони покажуть 1 кгс. Опустившись на певній ділянці місячної поверхні, де прискорення сили тяжіння точно не відоме (відомо лише, що воно приблизно в шість разів менше, ніж на Землі), космонавт підбирає камінь B, який витягує на терезах той самий 1 кгс. Потім він підвішує A і В на нитці, перекинутій через блок, як показано на малюнку, і виявляє, що камінь опускається з прискоренням 1,2 м/с2. Чому дорівнює маса каменя B?
9.11. До стелі ліфта, маса якого М2, підвішено вантаж маси M1. Прикладена сила F змушує ліфт рухатися з прискоренням угору [F більша за (M1+M2)g]. Вантаж М1 перебуває на відстані S від підлоги ліфта.
а) Знайдіть прискорення ліфта.
б) Чому дорівнює натяг нитки, якою вантаж прив'язано до стелі?
в) Нитка раптово обірвалася. Чому дорівнює прискорення ліфта і вантажу М1 в наступний момент?
г) Скільки часу мине від моменту розриву нитки до удару вантажу М1 об підлогу?
9.12. Маляр працює в підвісному кріслі (див. малюнок). Його вага 72 кгс. Йому знадобилося терміново піднятися вгору. Він починає тягти за мотузку з такою силою, що його тиск на крісло зменшується до 40 кгс. Саме крісло важить 12 кгс.
а) Чому дорівнює прискорення маляра і крісла?
б) Чому дорівнює повне навантаження на блок?
9.13. Подивіться на малюнок. Яку постійну горизонтальну силу потрібно прикласти до M, щоб M1 і М2 відносно M не рухалися?
9.14. У системі, зображеній на малюнку, тертя між будь-якими поверхнями немає. Якщо вантажику з масою m=150 г, що перебуває над рамою на відстані 1,2 м, дозволити рухатися, то за який час він пройде цю відстань? Маса рами М=1650г.
9.15. Вантаж, підвішений на пружині, нерухомий. Потім він приводиться в рух ударом, спрямованим знизу вгору, і в початковий момент його швидкість дорівнює одиниці. Маса й пружність пружини такі, що рівняння руху має вигляд x=— x. Знайдіть максимальну висоту, якої досягне вантаж, шляхом чисельного інтегрування рівняння руху.
9.16. Тіло з масою m рухається прямолінійно. Рух гальмується силою, пропорційною швидкості тіла, F= –kv. Знайдіть x як функцію часу чисельним інтегруванням, якщо в початковий момент t=0, х=0 і v=v0. Знайдіть час t1/2, за який тіло втратить половину своєї швидкості, і максимальну відстань хm, яку пройде тіло.
Примітка. а) Доберіть часовий і лінійний масштаби так, щоб рівняння руху мало прості числові коефіцієнти.
б) Вигадайте схему розрахунку (аналогічну наведеній у тексті «Лекцій»), яка забезпечувала б добру точність при порівняно великому кроці Δt.
в) Скористайтеся міркуваннями розмірності, щоб з'ясувати, як t1/2 і хm залежать від v0, k і m, а рівняння руху розв'яжіть лише для одного зручного значення v0, скажімо для v0= 1,00 (у модифікованих одиницях x і t).
9.17. Заряджена частинка рухається в електричному та магнітному полях згідно з рівняннями руху
9.5. Як будуть пов'язані між собою числові значення гравітаційної сталої, виміряні в двох системах одиниць, описаних у попередній задачі?
9.6. Чому дорівнюватиме числове значення величини GMΟ, якщо відстань вимірювати в астрономічних одиницях, а час у роках?
9.7. Якщо виготовити модель Сонячної системи в одну k-ту натуральної величини з матеріалів тієї самої середньої густини, яка відома для справжніх планет і Сонця, то як залежатимуть від «масштабного фактора» k періоди обігу «планет» моделі по своїх орбітах?
9.8. На схемі зображено машину Атвуда — одне з перших пристосувань для вимірювання прискорення сили тяжіння. Маси блока P і ниток нехтовно малі, тертя немає. З обох боків блока підвішено вантажі однакової маси M, і система перебуває в рівновазі. Потім на один із вантажів кладеться маленький важок m, і цей вантаж починає опускатися. Після того як він пройде відстань h, важок підхоплюється спеціальним упором, і вантажі продовжують рух з постійною швидкістю v. Знайдіть прискорення сили тяжіння g, якщо величини m, M, h і v відомі.9.9. Двоє молодих марсіан, Паоло і Франческа, хочуть переправитися через марсіанський канал Ріміні, але жодна гондола не бере їх обох одразу, а переправлятися в різних човнах вони відмовилися. Кмітливий гондольєр Джузеппе примудряється все-таки заробити на їхньому переїзді. Він підвішує цю парочку на щоглі (див. малюнок) за допомогою невагомих і абсолютно гладких блоків і мотузок (характерна особливість усіх марсіанських конструкцій) і швидко переправляє закоханих через канал, поки жоден із них не встигає торкнутися ні щогли, ні палуби. Чи багато при цьому Джузеппе виграє в навантаженні? Нагадуємо: натяг невагомої нитки, перекинутої без тертя через невагомий блок, однаковий з обох боків блока.9.10. Космічний мандрівник збирається вирушити на Місяць. У нього є пружинні терези і гиря A масою 1 кг. Якщо підвісити цю гирю на пружині терезів на Землі, вони покажуть 1 кгс. Опустившись на певній ділянці місячної поверхні, де прискорення сили тяжіння точно не відоме (відомо лише, що воно приблизно в шість разів менше, ніж на Землі), космонавт підбирає камінь B, який витягує на терезах той самий 1 кгс. Потім він підвішує A і В на нитці, перекинутій через блок, як показано на малюнку, і виявляє, що камінь опускається з прискоренням 1,2 м/с2. Чому дорівнює маса каменя B?9.11. До стелі ліфта, маса якого М2, підвішено вантаж маси M1. Прикладена сила F змушує ліфт рухатися з прискоренням угору [F більша за (M1+M2)g]. Вантаж М1 перебуває на відстані S від підлоги ліфта.а) Знайдіть прискорення ліфта.
б) Чому дорівнює натяг нитки, якою вантаж прив'язано до стелі?
в) Нитка раптово обірвалася. Чому дорівнює прискорення ліфта і вантажу М1 в наступний момент?
г) Скільки часу мине від моменту розриву нитки до удару вантажу М1 об підлогу?
9.12. Маляр працює в підвісному кріслі (див. малюнок). Його вага 72 кгс. Йому знадобилося терміново піднятися вгору. Він починає тягти за мотузку з такою силою, що його тиск на крісло зменшується до 40 кгс. Саме крісло важить 12 кгс.а) Чому дорівнює прискорення маляра і крісла?
б) Чому дорівнює повне навантаження на блок?
9.13. Подивіться на малюнок. Яку постійну горизонтальну силу потрібно прикласти до M, щоб M1 і М2 відносно M не рухалися?9.14. У системі, зображеній на малюнку, тертя між будь-якими поверхнями немає. Якщо вантажику з масою m=150 г, що перебуває над рамою на відстані 1,2 м, дозволити рухатися, то за який час він пройде цю відстань? Маса рами М=1650г.9.15. Вантаж, підвішений на пружині, нерухомий. Потім він приводиться в рух ударом, спрямованим знизу вгору, і в початковий момент його швидкість дорівнює одиниці. Маса й пружність пружини такі, що рівняння руху має вигляд x=— x. Знайдіть максимальну висоту, якої досягне вантаж, шляхом чисельного інтегрування рівняння руху.
9.16. Тіло з масою m рухається прямолінійно. Рух гальмується силою, пропорційною швидкості тіла, F= –kv. Знайдіть x як функцію часу чисельним інтегруванням, якщо в початковий момент t=0, х=0 і v=v0. Знайдіть час t1/2, за який тіло втратить половину своєї швидкості, і максимальну відстань хm, яку пройде тіло.
Примітка. а) Доберіть часовий і лінійний масштаби так, щоб рівняння руху мало прості числові коефіцієнти.
б) Вигадайте схему розрахунку (аналогічну наведеній у тексті «Лекцій»), яка забезпечувала б добру точність при порівняно великому кроці Δt.
в) Скористайтеся міркуваннями розмірності, щоб з'ясувати, як t1/2 і хm залежать від v0, k і m, а рівняння руху розв'яжіть лише для одного зручного значення v0, скажімо для v0= 1,00 (у модифікованих одиницях x і t).
9.17. Заряджена частинка рухається в електричному та магнітному полях згідно з рівняннями руху
Зображення
При t=0 частинка перебуває в точці (0,0), і її швидкість має складові vx=1,00 і vy=0. Визначте тип руху за допомогою чисельного інтегрування. Прочитайте примітку (б) до попередньої задачі.
9.18. Міна вилітає зі ствола міномета зі швидкістю 300 м/с під кутом 45° до горизонту. Її рух гальмується силою, пропорційною кубу швидкості (F= —kv3). Коефіцієнт пропорційності k такий, що при швидкості 300 м/с сила опору вдвічі перевищує вагу міни. Чисельним інтегруванням знайдіть наближені значення максимальної висоти, на яку підніметься міна, і відстань від точки пострілу, на якій вона впаде на землю. Порівняйте їх з величинами, які виходять за відсутності опору повітря.
До розділу 10. Закон збереження імпульсу
10.1. У горизонтальному повітряному жолобі (його описано в розд. 10 «Лекцій», вип. 1, стор. 181) можуть вільно рухатися два тіла. Одне нерухоме, а інше налітає на нього, і відбувається абсолютно пружне зіткнення, після чого тіла розлітаються в протилежних напрямках з рівними швидкостями. Чому дорівнює відношення їхніх мас?
10.2. Два однакові масивні тіла рухаються назустріч одне одному в горизонтальному повітряному жолобі з однаковими за величиною швидкостями v і –v. Відбувається майже пружне зіткнення, і вони розлітаються в протилежні боки з дещо меншими швидкостями. При зіткненні втрачається частка кінетичної енергії f≪1. Якби до зіткнення одне з цих тіл було нерухоме, якою була б швидкість другого тіла після зіткнення? (Цю маленьку залишкову швидкість Δv легко виразити через v — кінцеву швидкість тіла, яке до зіткнення було нерухоме, і таким шляхом визначити пружність пружинних буферів.) Примітка. Якщо x≪1, то √1 —x≈ 1 —x/2.
10.3. Супутник Землі вагою 10 кг із середнім поперечним перерізом 0,50 м2 рухається по коловій орбіті на висоті 200 км, де середній пробіг молекул вимірюється багатьма метрами і густина повітря дорівнює 1,6·10–10 кг/м3. Наближено вважатимемо зіткнення молекул із супутником абсолютно непружними (молекули не те щоб прилипають до супутника, але відскакують від нього з дуже малими відносними швидкостями). Підрахуйте, яка гальмівна сила діятиме на супутник унаслідок тертя об повітря. Як залежатиме ця сила від швидкості супутника? Чи зменшуватиметься швидкість супутника під дією всіх прикладених до нього сил? (Врахуйте залежність орбітальної швидкості супутника від висоти колової орбіти.)
10.4. Ракета, початкова маса якої М0 кг, викидає продукти згоряння палива з постійною швидкістю v0 (відносно ракети). За 1 с викидається dm/dt= —r0 кг/с газів.
а) Розрахуйте прискорення ракети в початковий момент, нехтуючи силою тяжіння.
б) Якщо швидкість витікання v0=2,0 км/с, скільки кілограмів газів за секунду необхідно викидати для створення тяги 105 кгс?
в) Запишіть диференціальне рівняння, яке пов'язує швидкість ракети з її залишковою масою, і, якщо можете, розв'яжіть це рівняння.
10. 5. Якщо два тіла рухаються по одній прямій, то існує така система координат, у якій імпульс одного тіла дорівнює за величиною й протилежний за напрямком імпульсу другого тіла. Це означає, що сумарний імпульс двох тіл у такій системі дорівнює нулю. Така система відліку називається системою центра мас (скорочено ц. м.). Якщо маси тіл дорівнюють т1 і т2, а тіла рухаються зі швидкостями v1 і v2 відповідно, то покажіть, що швидкість системи ц. м. дорівнює
9.18. Міна вилітає зі ствола міномета зі швидкістю 300 м/с під кутом 45° до горизонту. Її рух гальмується силою, пропорційною кубу швидкості (F= —kv3). Коефіцієнт пропорційності k такий, що при швидкості 300 м/с сила опору вдвічі перевищує вагу міни. Чисельним інтегруванням знайдіть наближені значення максимальної висоти, на яку підніметься міна, і відстань від точки пострілу, на якій вона впаде на землю. Порівняйте їх з величинами, які виходять за відсутності опору повітря.
До розділу 10. Закон збереження імпульсу
10.1. У горизонтальному повітряному жолобі (його описано в розд. 10 «Лекцій», вип. 1, стор. 181) можуть вільно рухатися два тіла. Одне нерухоме, а інше налітає на нього, і відбувається абсолютно пружне зіткнення, після чого тіла розлітаються в протилежних напрямках з рівними швидкостями. Чому дорівнює відношення їхніх мас?
10.2. Два однакові масивні тіла рухаються назустріч одне одному в горизонтальному повітряному жолобі з однаковими за величиною швидкостями v і –v. Відбувається майже пружне зіткнення, і вони розлітаються в протилежні боки з дещо меншими швидкостями. При зіткненні втрачається частка кінетичної енергії f≪1. Якби до зіткнення одне з цих тіл було нерухоме, якою була б швидкість другого тіла після зіткнення? (Цю маленьку залишкову швидкість Δv легко виразити через v — кінцеву швидкість тіла, яке до зіткнення було нерухоме, і таким шляхом визначити пружність пружинних буферів.) Примітка. Якщо x≪1, то √1 —x≈ 1 —x/2.
10.3. Супутник Землі вагою 10 кг із середнім поперечним перерізом 0,50 м2 рухається по коловій орбіті на висоті 200 км, де середній пробіг молекул вимірюється багатьма метрами і густина повітря дорівнює 1,6·10–10 кг/м3. Наближено вважатимемо зіткнення молекул із супутником абсолютно непружними (молекули не те щоб прилипають до супутника, але відскакують від нього з дуже малими відносними швидкостями). Підрахуйте, яка гальмівна сила діятиме на супутник унаслідок тертя об повітря. Як залежатиме ця сила від швидкості супутника? Чи зменшуватиметься швидкість супутника під дією всіх прикладених до нього сил? (Врахуйте залежність орбітальної швидкості супутника від висоти колової орбіти.)
10.4. Ракета, початкова маса якої М0 кг, викидає продукти згоряння палива з постійною швидкістю v0 (відносно ракети). За 1 с викидається dm/dt= —r0 кг/с газів.
а) Розрахуйте прискорення ракети в початковий момент, нехтуючи силою тяжіння.
б) Якщо швидкість витікання v0=2,0 км/с, скільки кілограмів газів за секунду необхідно викидати для створення тяги 105 кгс?
в) Запишіть диференціальне рівняння, яке пов'язує швидкість ракети з її залишковою масою, і, якщо можете, розв'яжіть це рівняння.
10. 5. Якщо два тіла рухаються по одній прямій, то існує така система координат, у якій імпульс одного тіла дорівнює за величиною й протилежний за напрямком імпульсу другого тіла. Це означає, що сумарний імпульс двох тіл у такій системі дорівнює нулю. Така система відліку називається системою центра мас (скорочено ц. м.). Якщо маси тіл дорівнюють т1 і т2, а тіла рухаються зі швидкостями v1 і v2 відповідно, то покажіть, що швидкість системи ц. м. дорівнює
Зображення
10.6. Узагальніть результат задачі 10.5 на довільне число тіл, що рухаються по одній прямій, тобто знайдіть швидкість системи координат, у якій сумарний імпульс усіх цих тіл дорівнює нулю.
10.7. Нехай T — повна кінетична енергія двох тіл у задачі 10.5, а Тц.м.— їхня повна кінетична енергія в системі ц. м. Покажіть, що
10.7. Нехай T — повна кінетична енергія двох тіл у задачі 10.5, а Тц.м.— їхня повна кінетична енергія в системі ц. м. Покажіть, що
Зображення
10.8. Чи можете ви узагальнити результат задачі 10.7 на довільну кількість тіл?
10. 9. Нейтрон з кінетичною енергією E зазнає лобового зіткнення з нерухомим ядром С12 і відскакує від нього після абсолютно пружного зіткнення в напрямку, прямо протилежному початковому напрямку свого руху. Як зміниться кінетична енергія нейтрона після зіткнення?
10.10. Швидкість рушничної кулі можна виміряти за допомогою балістичного маятника: куля з відомою масою m і невідомою швидкістю v потрапляє в нерухомий дерев'яний брусок маси M, підвішений на нитці довжиною L, і застряє в ньому. Брусок при цьому починає рухатися. Амплітуду його коливань x можна виміряти і, використовуючи закон збереження енергії, визначити тим самим швидкість бруска одразу після потрапляння в нього кулі. Виразіть швидкість кулі через m, M, L і x.
До розділу 11. Вектори
11.1. Якщо три вектори задані рівностями a=3i+2j—k, b=2i—j+k і c=i+3j, отримайте
a)a + b,
б)а —b,
в) аx,
г) a·i,
д) a·b,
е) (а·с)b—(а·b)с.
11.2. Велосипедист їде зі швидкістю 10 миль за годину в північному напрямку, і йому здається, що вітер (який дме зі швидкістю 6 миль за годину звідкись із північного сходу) спрямований майже назустріч йому, під кутом 15° до лінії його руху.
а) Визначте справжній напрямок вітру.
б) Знайдіть уявний напрямок вітру з погляду велосипедиста, який їде у зворотному напрямку з тією ж швидкістю 10 миль за годину.
11.3. Ви перебуваєте на судні, яке йде на схід із постійною швидкістю 15 вузлів. Корабель, що йде постійним курсом з відомою швидкістю 26 вузлів, перебуває за 6 миль південніше. Пізніше він проходить у вас за кормою, причому відстань найбільшого зближення становить 3 милі.
а) Знайдіть курс цього корабля.
б) Який час минув між двома моментами, описаними в задачі?
11.4. Колесо радіуса R котиться без ковзання горизонтальною поверхнею. Колесо розташоване у вертикальній площині, а його вісь рухається горизонтально з постійною швидкістю v відносно поверхні. Обчисліть величину і напрямок швидкості довільної точки на ободі колеса. Переконайтеся, що швидкості точок на ободі такі, ніби колесо оберталося навколо миттєвої осі, що проходить через точку дотику колеса з горизонтальною поверхнею.
11.5. Моторний човен, швидкість якого відносно води дорівнює v, рухається прямолінійною ділянкою річки. Швидкість течії постійна і дорівнює u. Спочатку човен піднімається вгору за течією на відстань d від своєї стоянки і повертається назад, а потім вирушає в пункт на протилежному березі річки якраз навпроти стоянки і повертається назад. Ширина річки також дорівнює d. Для простоти вважатимемо, що човен весь час рухається з постійною швидкістю, і на розворотах час не втрачається. Якщо tv — час поїздки вздовж річки, tA— час поїздки впоперек, a tL— час, за який човен пройшов би відстань 2d по озеру, то:
а) чому дорівнює відношення tv/tA?
б) чому дорівнює відношення tA/tL?
11.6. Людина, що стоїть на березі річки завширшки 1 милю, хоче переправитися на інший берег, у прямо протилежну точку. Вона може зробити це двома способами: 1) плисти весь час під кутом до течії, так щоб результуюча швидкість увесь час була перпендикулярна берегу; 2) плисти прямо до протилежного берега, а відстань, на яку її знесе течією, пройти потім берегом пішки. Пливе вона зі швидкістю 2,5 милі за годину, а йде зі швидкістю 4 милі за годину. Швидкість течії 2 милі за годину. Який спосіб дасть змогу переправитися швидше?
11.7. Дано два однакових клини з кутами нахилу 45° і однаковими масами M1=M2=8,0 кг. Усі площини абсолютно гладкі, як і у вантажу масою M=384 кг, який потрібно підняти за допомогою цих клинів. Обидва клини лежать на гладкій горизонтальній площині; один із них упирається у вертикальну стіну, а до іншого прикладена горизонтальна сила F=592 кгс.
а) Знайдіть величину і напрямок прискорення рухомого клина M1
б) Знайдіть величину і напрямок прискорення вантажу M.
в) З якою силою тисне нерухомий клин М2 на вантаж M?
11.8. Матеріальна точка масою m висить на кінці нитки довільної заданої довжини, а інший кінець нитки закріплений на кульовому шарнірі, в якому відсутнє тертя. Ця матеріальна точка приводиться в рух по круговому горизонтальному шляху, який лежить у площині, віддаленій від шарніра на H. Знайдіть період руху.
11.9. Узагальніть результати задач 10.5 і 10.8 на тривимірний рух, використовуючи векторну символіку.
Введіть позначення M=i=1∑nтi.
11.10. Частинка» масою m1=2 кг, що рухається зі швидкістю v1=3i+2j—k м/с, зазнає абсолютно непружного зіткнення з іншою частинкою, маса якої m2=3 кг, а швидкість v2=–2i+2j+4k м/с. Знайдіть швидкість утвореної складеної частинки.
11.11. Знайдіть кінетичну енергію частинок, описаних у задачі 11.10, в системі ц. м. до зіткнення.
11.12. Тіло масою 1 кг, що рухається точно на північ зі швидкістю 6 м/с, стикається з нерухомим тілом, маса якого 2 кг. Після зіткнення тіло з меншою масою рухається під кутом 45° до напрямку свого початкового руху (на північний схід) зі швидкістю 2,82 м/с.
а) Чому дорівнює швидкість тіла масою 2 кг?
б) Яка частка кінетичної енергії в системі ц. м. «зникла» через непружність зіткнення?
в) На який кут відхилилося легше тіло в системі ц. м.?
11.13. Рухома частинка зазнає абсолютно пружного зіткнення з нерухомою частинкою рівної маси. Покажіть, що після зіткнення частинки розлітаються під прямим кутом.
При аналізі двочастинкових зіткнень корисно використовувати такий підхід:
1) Знайдіть vц.м., тобто швидкість системи ц. м.
2) Відніміть vц.м., від v1 і v2 (швидкості першої і другої частинок до зіткнення), щоб отримати початкові швидкості в системі ц. м., тобто v′1 і v′2.
3) Імпульси обох частинок тепер рівні за величиною і протилежні за напрямком.
4) Відбувається зіткнення, внаслідок якого:
а) повертається лінія відносного руху частинок 1 і 2;
б) абсолютні величини векторів v′1 і v′2 збільшуються, зменшуються або залишаються незмінними залежно від того, виділяється, поглинається чи залишається незмінною енергія в процесі зіткнення.
5) Додайте vц.м. до швидкостей v′1 і v′2 у системі ц. м. після зіткнення. Отримаєте швидкості v1 і v2 після зіткнення в «лабораторній» системі.
11.14. Дві маленькі кульки A і B рухаються під дією сили тяжіння з прискоренням 9,8 м/с2. Маса кожної кульки дорівнює 1 г (прискорення вважати спрямованим уздовж осі z).
Задані такі початкові умови: при t=0
ra(0) = 7i + 4,9k м, va(0) = 7i + 3j м/с,
rb(0) = 49i + 4,9k м, vb (0) = —7i + 3j м/с.
Знайдіть ra(t) і rb(t) для всіх моментів часу t>0.
11.15. Частинка масою т1 налітає зі швидкістю v1 на нерухому частинку, маса якої т2=3т1. Відбувається абсолютно пружне зіткнення, після якого частинка т2 рухається під кутом θ2=45° до початкового напрямку руху частинки т1 (див. рисунок). Потрібно знайти θ1 — кут відхилення першої частинки і величини швидкостей u1 і u2.
11.16. Частинка масою M налітає на нерухому частинку масою m (m<M), і відбувається пружне зіткнення. Знайдіть максимально можливе значення кута відхилення частинки, що налітає.
11.17. Частинка масою m пружно стикається з нерухомою, маса якої M>m, і відхиляється від початкового напрямку на 90°. Під яким кутом θ до напрямку початкового руху полетить важча «частинка віддачі»?
11.18. Нехай у зіткненні, описаному в попередній задачі, втрачається частка 1—α2 кінетичної енергії в системі ц. м. Чому дорівнює в цьому випадку кут вильоту частинки віддачі, нерухомої до зіткнення?
11.19. Частинка масою 1 кг рухається так, що її положення в будь-який момент часу визначається радіусом-вектором
10. 9. Нейтрон з кінетичною енергією E зазнає лобового зіткнення з нерухомим ядром С12 і відскакує від нього після абсолютно пружного зіткнення в напрямку, прямо протилежному початковому напрямку свого руху. Як зміниться кінетична енергія нейтрона після зіткнення?
10.10. Швидкість рушничної кулі можна виміряти за допомогою балістичного маятника: куля з відомою масою m і невідомою швидкістю v потрапляє в нерухомий дерев'яний брусок маси M, підвішений на нитці довжиною L, і застряє в ньому. Брусок при цьому починає рухатися. Амплітуду його коливань x можна виміряти і, використовуючи закон збереження енергії, визначити тим самим швидкість бруска одразу після потрапляння в нього кулі. Виразіть швидкість кулі через m, M, L і x.
До розділу 11. Вектори
11.1. Якщо три вектори задані рівностями a=3i+2j—k, b=2i—j+k і c=i+3j, отримайте
a)a + b,
б)а —b,
в) аx,
г) a·i,
д) a·b,
е) (а·с)b—(а·b)с.
11.2. Велосипедист їде зі швидкістю 10 миль за годину в північному напрямку, і йому здається, що вітер (який дме зі швидкістю 6 миль за годину звідкись із північного сходу) спрямований майже назустріч йому, під кутом 15° до лінії його руху.
а) Визначте справжній напрямок вітру.
б) Знайдіть уявний напрямок вітру з погляду велосипедиста, який їде у зворотному напрямку з тією ж швидкістю 10 миль за годину.
11.3. Ви перебуваєте на судні, яке йде на схід із постійною швидкістю 15 вузлів. Корабель, що йде постійним курсом з відомою швидкістю 26 вузлів, перебуває за 6 миль південніше. Пізніше він проходить у вас за кормою, причому відстань найбільшого зближення становить 3 милі.
а) Знайдіть курс цього корабля.
б) Який час минув між двома моментами, описаними в задачі?
11.4. Колесо радіуса R котиться без ковзання горизонтальною поверхнею. Колесо розташоване у вертикальній площині, а його вісь рухається горизонтально з постійною швидкістю v відносно поверхні. Обчисліть величину і напрямок швидкості довільної точки на ободі колеса. Переконайтеся, що швидкості точок на ободі такі, ніби колесо оберталося навколо миттєвої осі, що проходить через точку дотику колеса з горизонтальною поверхнею.
11.5. Моторний човен, швидкість якого відносно води дорівнює v, рухається прямолінійною ділянкою річки. Швидкість течії постійна і дорівнює u. Спочатку човен піднімається вгору за течією на відстань d від своєї стоянки і повертається назад, а потім вирушає в пункт на протилежному березі річки якраз навпроти стоянки і повертається назад. Ширина річки також дорівнює d. Для простоти вважатимемо, що човен весь час рухається з постійною швидкістю, і на розворотах час не втрачається. Якщо tv — час поїздки вздовж річки, tA— час поїздки впоперек, a tL— час, за який човен пройшов би відстань 2d по озеру, то:
а) чому дорівнює відношення tv/tA?
б) чому дорівнює відношення tA/tL?
11.6. Людина, що стоїть на березі річки завширшки 1 милю, хоче переправитися на інший берег, у прямо протилежну точку. Вона може зробити це двома способами: 1) плисти весь час під кутом до течії, так щоб результуюча швидкість увесь час була перпендикулярна берегу; 2) плисти прямо до протилежного берега, а відстань, на яку її знесе течією, пройти потім берегом пішки. Пливе вона зі швидкістю 2,5 милі за годину, а йде зі швидкістю 4 милі за годину. Швидкість течії 2 милі за годину. Який спосіб дасть змогу переправитися швидше?
11.7. Дано два однакових клини з кутами нахилу 45° і однаковими масами M1=M2=8,0 кг. Усі площини абсолютно гладкі, як і у вантажу масою M=384 кг, який потрібно підняти за допомогою цих клинів. Обидва клини лежать на гладкій горизонтальній площині; один із них упирається у вертикальну стіну, а до іншого прикладена горизонтальна сила F=592 кгс.а) Знайдіть величину і напрямок прискорення рухомого клина M1
б) Знайдіть величину і напрямок прискорення вантажу M.
в) З якою силою тисне нерухомий клин М2 на вантаж M?
11.8. Матеріальна точка масою m висить на кінці нитки довільної заданої довжини, а інший кінець нитки закріплений на кульовому шарнірі, в якому відсутнє тертя. Ця матеріальна точка приводиться в рух по круговому горизонтальному шляху, який лежить у площині, віддаленій від шарніра на H. Знайдіть період руху.
11.9. Узагальніть результати задач 10.5 і 10.8 на тривимірний рух, використовуючи векторну символіку.
Введіть позначення M=i=1∑nтi.
11.10. Частинка» масою m1=2 кг, що рухається зі швидкістю v1=3i+2j—k м/с, зазнає абсолютно непружного зіткнення з іншою частинкою, маса якої m2=3 кг, а швидкість v2=–2i+2j+4k м/с. Знайдіть швидкість утвореної складеної частинки.
11.11. Знайдіть кінетичну енергію частинок, описаних у задачі 11.10, в системі ц. м. до зіткнення.
11.12. Тіло масою 1 кг, що рухається точно на північ зі швидкістю 6 м/с, стикається з нерухомим тілом, маса якого 2 кг. Після зіткнення тіло з меншою масою рухається під кутом 45° до напрямку свого початкового руху (на північний схід) зі швидкістю 2,82 м/с.
а) Чому дорівнює швидкість тіла масою 2 кг?
б) Яка частка кінетичної енергії в системі ц. м. «зникла» через непружність зіткнення?
в) На який кут відхилилося легше тіло в системі ц. м.?
11.13. Рухома частинка зазнає абсолютно пружного зіткнення з нерухомою частинкою рівної маси. Покажіть, що після зіткнення частинки розлітаються під прямим кутом.
При аналізі двочастинкових зіткнень корисно використовувати такий підхід:
1) Знайдіть vц.м., тобто швидкість системи ц. м.
2) Відніміть vц.м., від v1 і v2 (швидкості першої і другої частинок до зіткнення), щоб отримати початкові швидкості в системі ц. м., тобто v′1 і v′2.
3) Імпульси обох частинок тепер рівні за величиною і протилежні за напрямком.
4) Відбувається зіткнення, внаслідок якого:
а) повертається лінія відносного руху частинок 1 і 2;
б) абсолютні величини векторів v′1 і v′2 збільшуються, зменшуються або залишаються незмінними залежно від того, виділяється, поглинається чи залишається незмінною енергія в процесі зіткнення.
5) Додайте vц.м. до швидкостей v′1 і v′2 у системі ц. м. після зіткнення. Отримаєте швидкості v1 і v2 після зіткнення в «лабораторній» системі.
11.14. Дві маленькі кульки A і B рухаються під дією сили тяжіння з прискоренням 9,8 м/с2. Маса кожної кульки дорівнює 1 г (прискорення вважати спрямованим уздовж осі z).
Задані такі початкові умови: при t=0
ra(0) = 7i + 4,9k м, va(0) = 7i + 3j м/с,
rb(0) = 49i + 4,9k м, vb (0) = —7i + 3j м/с.
Знайдіть ra(t) і rb(t) для всіх моментів часу t>0.
11.15. Частинка масою т1 налітає зі швидкістю v1 на нерухому частинку, маса якої т2=3т1. Відбувається абсолютно пружне зіткнення, після якого частинка т2 рухається під кутом θ2=45° до початкового напрямку руху частинки т1 (див. рисунок). Потрібно знайти θ1 — кут відхилення першої частинки і величини швидкостей u1 і u2.11.16. Частинка масою M налітає на нерухому частинку масою m (m<M), і відбувається пружне зіткнення. Знайдіть максимально можливе значення кута відхилення частинки, що налітає.
11.17. Частинка масою m пружно стикається з нерухомою, маса якої M>m, і відхиляється від початкового напрямку на 90°. Під яким кутом θ до напрямку початкового руху полетить важча «частинка віддачі»?
11.18. Нехай у зіткненні, описаному в попередній задачі, втрачається частка 1—α2 кінетичної енергії в системі ц. м. Чому дорівнює в цьому випадку кут вильоту частинки віддачі, нерухомої до зіткнення?
11.19. Частинка масою 1 кг рухається так, що її положення в будь-який момент часу визначається радіусом-вектором
Зображення
а) Визначте положення, швидкість, прискорення і кінетичну енергію частинки в моменти часу t=0 і t=1 с.
б) Отримайте вираз для сили, яка змушує частинку рухатися.
в) Знайдіть радіус кривини траєкторії частинки в момент часу t=1 с.
11.20. У початковий момент частинка перебуває в точці r0 і має швидкість v0. Визначте її подальший рух під дією сили тяжіння.
11.21. Використайте векторну алгебру для знаходження відстані по дузі великого кола між двома точками земної поверхні, довгота і широта яких дорівнюють відповідно (λ1,φ1) і (λ2,φ2).
Примітка. Використайте прямокутну систему координат із початком у центрі Землі. Одну вісь цієї системи спрямуйте вздовж земної осі, іншу — у напрямку, який визначається кутами λ=0, φ=0, а третю — під кутами λ=0, φ=90°. (Довгота нехай змінюється від 0 до 360° зі сходу на захід.)
11.22. Чому дорівнюють величина і напрямок прискорення Місяця:
а) у новий місяць?
б) у першу чверть?
в) у повний місяць?
Примітка. Відстань від Землі до Сонця дорівнює 1,5·108 км, відстань від Землі до Місяця 3,85·105км, маса Сонця становить 3,33· 105 земних мас.
До розділу 12. Характеристики сили
12. 1. Цеглина маси m ковзає по похилій площині, яка утворює з горизонтом кут θ. Якщо коефіцієнт тертя ковзання μ<tgθ, то з яким прискоренням рухатиметься цеглина:
а) вгору по площині?
б) вниз по площині?
в) під кутом φ до горизонтальної лінії на площині?
(Уявіть собі, що до площини прикладена гладенька лінійка, вздовж якої й рухається цеглина. Використайте на похилій площині координати x і y; x спрямуйте по горизонталі, а y — вгору по похилій площині.)
12. 2. Нехай у попередній задачі m=1,00 кг, μ=0,20, а θ=30°. Якщо цеглина рухається в початковий момент по похилій площині вгору зі швидкістю 3,00 м/с, то:
а) як далеко вгору вона підніметься?
б) скільки часу їй знадобиться, щоб потрапити в найвищу точку і повернутися у вихідну?
в) скільки енергії вона втратить за цей час?
12.3. Тіло вагою W перебуває у спокої на шорсткій площині, нахиленій до горизонту під кутом α.
а) Коефіцієнт статичного тертя μ=2tgα; знайдіть мінімальну горизонтальну силу Hмін, яка здатна буде привести тіло в рух (див. малюнок).
б) У якому напрямку почне рухатися тіло?
12.4. Вантаж вагою 1 кг підвішений на двох нитках. Перша нитка довжиною 1,5 м прив'язана до кільця, яке ковзає по горизонтальному стрижню (див. малюнок). Коефіцієнт тертя між кільцем і стрижнем дорівнює 0,75. До другої нитки прив'язаний вантажик, і вона перекинута через блок, закріплений на стрижні на 2,5 м лівіше кільця. Вантаж, підвішений до другого кінця нитки, збільшують доти, поки кільце не почне ковзати. Знайдіть:
а) величину вантажу W, при якій кільце почне ковзати,
б) натяг нитки довжиною 1,5 м і кут θ.
12.5. На малюнку показано в розрізі найпростіший вертикальний замок. Нижня його частина A може рухатися по горизонтальному пазу. Стінки паза абсолютно гладенькі, але площини дотику брусків A і B, нахилені під 45° до горизонталі, шорсткі, і коефіцієнт тертя між ними дорівнює μ. Яка мінімальна сила F, яку потрібно прикласти, щоб привести частини замка в рух, якщо маса засувки B дорівнює m?
12.6. Один необережний молодий чоловік проводить такий дослід. Він ставить плоскі медичні терези на дерев'яну підставку з роликами, яка може скочуватися без тертя по похилій площині (див. малюнок). Потім сам стає на терези і котиться вниз, спостерігаючи за показаннями терезів. Чому дорівнює кут нахилу площини, якщо терези показують у цей момент 120 фунтів, а молодий чоловік важить 160 фунтів?
12.7. У пристрої, показаному на малюнку, вантаж М1 ковзає без тертя по похилій площині; θ=30°, М1=400 г, М2=200 г. Знайдіть прискорення вантажу М2 і натяг ниток.
12.8. Довжина похилої площини, зображеної на малюнку, 130 см, верхній її кінець розташований на 50 см вище нижнього. На цій площині лежать один на одному два бруски з масами т1 (200 г) і т2 (60 г). Коефіцієнт статичного тертя між брусками дорівнює 0,5, а коефіцієнт тертя ковзання між площиною і нижнім бруском 0,33. До нижнього бруска прикладена сила F, паралельна похилій площині.
а) Чому дорівнює прискорення нижнього бруска в той момент, коли верхній тільки-тільки починає зісковзувати з нього?
б) Чому дорівнює значення сили F перед початком цього зісковзування?
12.9. Куб маси M притулений до стіни в нахиленому положенні, як показано на малюнку. Між кубом і стіною тертя немає, але між кубом і підлогою воно є, і величини коефіцієнта тертя ,и як раз ледь вистачає на те, щоб куб не почав ковзати. Якщо 0<θ<45°, знайдіть це мінімальне значення коефіцієнта тертя як функцію θ. Перевірте свою відповідь, розглянувши граничні випадки θ→0 і θ→45°, і розрахуйте значення θ, при якому μ=1.
12.10. Кронштейн для підвішування невеликих вантажів, який легко встановлюється на будь-якій висоті, дуже зручний. Один такий кронштейн зображено на малюнку, там же наведено й основні розміри. Він може пересуватися по вертикальній стійці й утримується на одному рівні силою тертя. Якщо коефіцієнт статичного тертя між кронштейном і стійкою дорівнює 0,30, а вага вантажу, підвішеного на відстані x від стійки, у 50 разів перевищує вагу самого кронштейна, яким буде мінімальне значення x, при якому кронштейн не зісковзує по стовпу?
12.11. а) Мотузка, що рухається з невеликою швидкістю v, треться об циліндричний стовп (див. малюнок). Кут Δθ набагато менший за 1 рад. Якщо натяг мотузки з одного боку стовпа дорівнює T+ΔT, а з іншого T, то чому дорівнює різниця ΔT, яка виникає за рахунок тертя?
б) Проінтегруйте результат для ΔT, отриманий у пункті (а), і знайдіть відношення натягів на двох кінцях мотузки, яка обгортається навколо стовпа на кінцевий кут α і натягнута так, що починає проковзувати.
12.12. Тіло перебуває біля основи абсолютно гладкої смуги завдовжки 1м, нахиленої під кутом 20° до горизонталі. Смуга починає рухатися з горизонтальним прискоренням а=4,00 м/с2. За який час тіло досягне верхнього краю смуги?
12.13.Напишіть розмірності
а) електричного поля E;
б) магнітної індукції B;
в) відношення E/B;
г) гравітаційного поля.
12.14.Заряджена частинка рухається в площині, перпендикулярній магнітному полю В. Покажіть, що рух відбувається по круговій орбіті, і знайдіть радіус орбіти.
12.15.Знайдіть час одного оберту частинки з попередньої задачі. Відповідь на це питання потрібно знати при керуванні циклотроном. Чому?
12.16.Частинка з масою m і зарядом q рухається в електромагнітному полі, у якого від нуля відмінні
тільки компоненти Еy і Вz.
а) Напишіть рівняння руху частинки.
б) Застосуйте перетворення Галілея до координат частинки: x′=x—(Еy/Вz) t,
y′=y
z′=z
в) Який висновок після цього можна зробити про рух частинки у взаємно перпендикулярних електричному і магнітному полях?
До розділу 14. Робота і потенціальна енергія
14.1. Сила F= 1,5yi+3x2j—0,2(x2+y2)k ньютон діє на матеріальну точку масою 1,00 кг. При t=0 положення частинки описується радіус-вектором r=2i+3j м, і вона рухається зі швидкістю v=2j+k м/с. Знайдіть для t=0:
а) силу, яка діє на частинку;
б) прискорення частинки;
в) її кінетичну енергію;
г) швидкість зміни кінетичної енергії.
14.2. Знайдіть приблизно положення, швидкість і кінетичну енергію частинки з попередньої задачі в момент t=0,01 с.
14.3. Частинка рухається від точки (0, –1,0) до точки (0, +1,0) по абсолютно гладенькому шляху під дією тієї самої, що й у задачі 14.1, сили F (плюс деяка сила, яка утримує частинку і не дає їй «зійти зі шляху»). Знайдіть роботу, здійснену силою F для двох варіантів траєкторії:
а) пряма вздовж осі y;
б) коло в площині z — у.
Чи є поле сили F консервативним?
14.4. Матеріальна точка масою 6,0 кг може рухатися вздовж осі x без тертя. У кожному з перелічених нижче випадків вона починає рух при x=0 і t=0.
1) Точка проходить відстань у Зм під дією сили F=(3+4x) ньютон (x у метрах).
а) Якої швидкості вона при цьому набуде?
б) Яке її прискорення наприкінці шляху?
в) Чому дорівнює потужність, що витрачається на її рух у цей момент? 2) Точка рухається протягом 3 с під дією сили F=(З+4t) ньютон (час у секундах). Дайте відповіді на питання (а) — (в) для цього випадку.
14.5. Сферична оболонка радіуса 0,5 м рівномірно заряджена до потенціалу 106 в. Знайдіть її заряд.
14.6. Як правило, конденсатор складається з двох металевих тіл, які несуть заряди різного знака. Ємність C визначається як відношення заряду на одному з тіл до різниці потенціалів між ними:
Визначте ємність двох концентричних сфер із радіусами A і B.
14.7. Якби Земля несла некомпенсований електричний заряд 1 кулон, чому дорівнював би її потенціал?
14.8. Автомобіль важить 1000 кгс. Максимальна потужність, яку розвиває його двигун, дорівнює 120 квт. Нехай ця максимальна потужність досягається на швидкості 60 км/год. Яке прискорення автомобіля на цій швидкості?
14.9. Гнучкий кабель довжиною L і вагою M кгс на погонний метр перекинутий через блок, маса і радіус якого нехтовно малі. Тертя в блоці відсутнє. У початковий момент кабель перебуває в положенні рівноваги, з якого його виводить слабкий ривок за один із кінців. Довша частина починає переважувати, і кабель з прискоренням зісковзує з блока. Знайдіть швидкість кабелю в той момент, коли через блок проходить його кінець.
14.10. Вода (густина її 1 г/см3) прокачується крізь гладенький шланг і вилітає з його наконечника, поперечний переріз якого дорівнює 35 см2. Струмінь спрямований під кутом 30° до горизонту і злітає на 4,8 м вище вихідного отвору. Подавальний шланг насоса занурений у великий резервуар, рівень води в якому на 2,4 м нижче наконечника. Якщо повний ККД насоса разом з електромотором становить 60%, яку потужність споживає мотор?
14.11. Світові рекорди в штовханні ядра, метанні диска і списа становили в 1960 р. 19,40, 59,96 і 86,09 м відповідно. Маси цих метальних снарядів дорівнюють відповідно 7,257, 1,99 і 0,806 кг. Округліть ці цифри і порівняйте роботу, витрачену кожним спортсменом у рекордному кидку для трьох снарядів, припускаючи щоразу, що снаряд вилітає під кутом 45° з рівня 1,8 м
над землею. Опором повітря знехтуйте.
14.12. Потужність двигуна машини 85 к. с., а вага машини 1200 кгс. При русі з постійною швидкістю 48 км/год потужність, яку розвиває двигун, дорівнює всього 20 к. с. Знайдіть величину найкрутішого нахилу, на який ця машина може підніматися з такою швидкістю, вважаючи, що опір тертя від нахилу дороги не залежить. (Величину нахилу характеризуйте або кутом по відношенню до
горизонталі, або якою-небудь функцією цього кута.)
14.13. Маса M деякого сферичного тіла радіуса R рівномірно розподілена по його об'єму. Якими є гравітаційний потенціал і напруженість гравітаційного поля, яке створює це тіло на різних відстанях від його центра? Подайте результат графічно.
14.14. Чашка пружинних ваг важить 0,025 кгс, а пружність пружини становить 15,3 ньютон/м. Вантажик масою m= 50 г падає на чашку з висоти h=9,0 см. Зіткнення абсолютно непружне. На яку максимальну відстань опуститься вантажик? Відлік ведеться від точки, з якої він почав падати.
14.15. Пружина з пружною сталою k розтягнута під дією постійної сили F і перебуває в рівновазі. Вважаючи розтяг як і раніше пропорційним силі, показати, що при зміщеннях відносно нового положення рівноваги пружна стала та сама.
14.16. Невеликий візок рухається без тертя по похилому шляху, у нижній точці якого встановлена «мертва петля» радіуса R. З якої висоти H має почати рух візок, щоб пройти петлю, не зірвавшись?
14.17. Матеріальна точка перебуває у спокої у верхній точці абсолютно гладкої сфери радіуса R, а потім починає ковзати вниз по поверхні сфери під дією сили тяжіння. Яку відстань пройде вона вниз від початкової точки, перш ніж відірветься від сфери?
14.18. Невелике тіло маси m рухається під впливом гравітаційного тяжіння по еліптичній орбіті навколо масивного тіла маси M. Важке тіло можна вважати нерухомим. Велика піввісь орбіти дорівнює a, її ексцентриситет дорівнює e. Обчисліть повну енергію тіла E (кінетичну плюс потенціальну). Зверніть увагу на те, що результат не залежить від ексцентриситету.
14.19.а) Покажіть, що площа еліпса дорівнює πab.
б) Отримайте третій закон Кеплера для еліптичних орбіт.
в) Покажіть, що орбіти всіх тіл, на які на одиницю маси припадає однакова енергія, відповідають рівним періодам обертання. (Для простоти припускайте, що m«M.)
14.20. Швидкість, яку необхідно надати тілу, щоб воно покинуло гравітаційне поле Землі, дорівнює приблизно 11 км/с. Якщо міжпланетний корабель після згоряння всього палива (при виході з атмосфери) рухався зі швидкістю 12 км/с, якою буде його швидкість на відстані 106 км від Землі?
14.21. Двигуни космічного корабля припиняють роботу десь у районі Землі. Яку мінімальну швидкість повинен набрати космічний корабель, щоб покинути межі Сонячної системи, маючи «на виході» швидкість 16 км/с відносно Сонця? Швидкість Землі в її орбітальному русі дорівнює 30 км/с.
14.22. Космічний корабель із попередньої задачі повинен покинути Сонячну систему у певному напрямку. Яка максимальна швидкість запуску із Землі, яка може для цього знадобитися?
14.23. Потрібно вивести космічний корабель на навколосонячну орбіту з перигелієм 0,01 A.О. і тим самим періодом обертання по орбіті, який має Земля (1 рік). З якою швидкістю і в якому напрямку відносно лінії Земля—Сонце потрібно запустити цей корабель із Землі? Орбітальна швидкість Землі дорівнює 30 км/с.
14.24. Усередині сферичного тіла радіуса R і густини ρ є сферична порожнина радіуса R/4. Її центр міститься на відстані R/4 від точки С — центра великої сфери, на лінії PC, що з'єднує C з точкою P, яка міститься на відстані X від поверхні великої сфери (див. малюнок). Знайдіть прискорення сили тяжіння а в точці P.
б) Отримайте вираз для сили, яка змушує частинку рухатися.
в) Знайдіть радіус кривини траєкторії частинки в момент часу t=1 с.
11.20. У початковий момент частинка перебуває в точці r0 і має швидкість v0. Визначте її подальший рух під дією сили тяжіння.
11.21. Використайте векторну алгебру для знаходження відстані по дузі великого кола між двома точками земної поверхні, довгота і широта яких дорівнюють відповідно (λ1,φ1) і (λ2,φ2).
Примітка. Використайте прямокутну систему координат із початком у центрі Землі. Одну вісь цієї системи спрямуйте вздовж земної осі, іншу — у напрямку, який визначається кутами λ=0, φ=0, а третю — під кутами λ=0, φ=90°. (Довгота нехай змінюється від 0 до 360° зі сходу на захід.)
11.22. Чому дорівнюють величина і напрямок прискорення Місяця:
а) у новий місяць?
б) у першу чверть?
в) у повний місяць?
Примітка. Відстань від Землі до Сонця дорівнює 1,5·108 км, відстань від Землі до Місяця 3,85·105км, маса Сонця становить 3,33· 105 земних мас.
До розділу 12. Характеристики сили
12. 1. Цеглина маси m ковзає по похилій площині, яка утворює з горизонтом кут θ. Якщо коефіцієнт тертя ковзання μ<tgθ, то з яким прискоренням рухатиметься цеглина:
а) вгору по площині?
б) вниз по площині?
в) під кутом φ до горизонтальної лінії на площині?
(Уявіть собі, що до площини прикладена гладенька лінійка, вздовж якої й рухається цеглина. Використайте на похилій площині координати x і y; x спрямуйте по горизонталі, а y — вгору по похилій площині.)
12. 2. Нехай у попередній задачі m=1,00 кг, μ=0,20, а θ=30°. Якщо цеглина рухається в початковий момент по похилій площині вгору зі швидкістю 3,00 м/с, то:
а) як далеко вгору вона підніметься?
б) скільки часу їй знадобиться, щоб потрапити в найвищу точку і повернутися у вихідну?
в) скільки енергії вона втратить за цей час?
12.3. Тіло вагою W перебуває у спокої на шорсткій площині, нахиленій до горизонту під кутом α.а) Коефіцієнт статичного тертя μ=2tgα; знайдіть мінімальну горизонтальну силу Hмін, яка здатна буде привести тіло в рух (див. малюнок).
б) У якому напрямку почне рухатися тіло?
12.4. Вантаж вагою 1 кг підвішений на двох нитках. Перша нитка довжиною 1,5 м прив'язана до кільця, яке ковзає по горизонтальному стрижню (див. малюнок). Коефіцієнт тертя між кільцем і стрижнем дорівнює 0,75. До другої нитки прив'язаний вантажик, і вона перекинута через блок, закріплений на стрижні на 2,5 м лівіше кільця. Вантаж, підвішений до другого кінця нитки, збільшують доти, поки кільце не почне ковзати. Знайдіть:а) величину вантажу W, при якій кільце почне ковзати,
б) натяг нитки довжиною 1,5 м і кут θ.
12.5. На малюнку показано в розрізі найпростіший вертикальний замок. Нижня його частина A може рухатися по горизонтальному пазу. Стінки паза абсолютно гладенькі, але площини дотику брусків A і B, нахилені під 45° до горизонталі, шорсткі, і коефіцієнт тертя між ними дорівнює μ. Яка мінімальна сила F, яку потрібно прикласти, щоб привести частини замка в рух, якщо маса засувки B дорівнює m?12.6. Один необережний молодий чоловік проводить такий дослід. Він ставить плоскі медичні терези на дерев'яну підставку з роликами, яка може скочуватися без тертя по похилій площині (див. малюнок). Потім сам стає на терези і котиться вниз, спостерігаючи за показаннями терезів. Чому дорівнює кут нахилу площини, якщо терези показують у цей момент 120 фунтів, а молодий чоловік важить 160 фунтів?12.7. У пристрої, показаному на малюнку, вантаж М1 ковзає без тертя по похилій площині; θ=30°, М1=400 г, М2=200 г. Знайдіть прискорення вантажу М2 і натяг ниток.12.8. Довжина похилої площини, зображеної на малюнку, 130 см, верхній її кінець розташований на 50 см вище нижнього. На цій площині лежать один на одному два бруски з масами т1 (200 г) і т2 (60 г). Коефіцієнт статичного тертя між брусками дорівнює 0,5, а коефіцієнт тертя ковзання між площиною і нижнім бруском 0,33. До нижнього бруска прикладена сила F, паралельна похилій площині.а) Чому дорівнює прискорення нижнього бруска в той момент, коли верхній тільки-тільки починає зісковзувати з нього?
б) Чому дорівнює значення сили F перед початком цього зісковзування?
12.9. Куб маси M притулений до стіни в нахиленому положенні, як показано на малюнку. Між кубом і стіною тертя немає, але між кубом і підлогою воно є, і величини коефіцієнта тертя ,и як раз ледь вистачає на те, щоб куб не почав ковзати. Якщо 0<θ<45°, знайдіть це мінімальне значення коефіцієнта тертя як функцію θ. Перевірте свою відповідь, розглянувши граничні випадки θ→0 і θ→45°, і розрахуйте значення θ, при якому μ=1.12.10. Кронштейн для підвішування невеликих вантажів, який легко встановлюється на будь-якій висоті, дуже зручний. Один такий кронштейн зображено на малюнку, там же наведено й основні розміри. Він може пересуватися по вертикальній стійці й утримується на одному рівні силою тертя. Якщо коефіцієнт статичного тертя між кронштейном і стійкою дорівнює 0,30, а вага вантажу, підвішеного на відстані x від стійки, у 50 разів перевищує вагу самого кронштейна, яким буде мінімальне значення x, при якому кронштейн не зісковзує по стовпу?12.11. а) Мотузка, що рухається з невеликою швидкістю v, треться об циліндричний стовп (див. малюнок). Кут Δθ набагато менший за 1 рад. Якщо натяг мотузки з одного боку стовпа дорівнює T+ΔT, а з іншого T, то чому дорівнює різниця ΔT, яка виникає за рахунок тертя?б) Проінтегруйте результат для ΔT, отриманий у пункті (а), і знайдіть відношення натягів на двох кінцях мотузки, яка обгортається навколо стовпа на кінцевий кут α і натягнута так, що починає проковзувати.
12.12. Тіло перебуває біля основи абсолютно гладкої смуги завдовжки 1м, нахиленої під кутом 20° до горизонталі. Смуга починає рухатися з горизонтальним прискоренням а=4,00 м/с2. За який час тіло досягне верхнього краю смуги?
12.13.Напишіть розмірності
а) електричного поля E;
б) магнітної індукції B;
в) відношення E/B;
г) гравітаційного поля.
12.14.Заряджена частинка рухається в площині, перпендикулярній магнітному полю В. Покажіть, що рух відбувається по круговій орбіті, і знайдіть радіус орбіти.
12.15.Знайдіть час одного оберту частинки з попередньої задачі. Відповідь на це питання потрібно знати при керуванні циклотроном. Чому?
12.16.Частинка з масою m і зарядом q рухається в електромагнітному полі, у якого від нуля відмінні
тільки компоненти Еy і Вz.
а) Напишіть рівняння руху частинки.
б) Застосуйте перетворення Галілея до координат частинки: x′=x—(Еy/Вz) t,
y′=y
z′=z
в) Який висновок після цього можна зробити про рух частинки у взаємно перпендикулярних електричному і магнітному полях?
До розділу 14. Робота і потенціальна енергія
14.1. Сила F= 1,5yi+3x2j—0,2(x2+y2)k ньютон діє на матеріальну точку масою 1,00 кг. При t=0 положення частинки описується радіус-вектором r=2i+3j м, і вона рухається зі швидкістю v=2j+k м/с. Знайдіть для t=0:
а) силу, яка діє на частинку;
б) прискорення частинки;
в) її кінетичну енергію;
г) швидкість зміни кінетичної енергії.
14.2. Знайдіть приблизно положення, швидкість і кінетичну енергію частинки з попередньої задачі в момент t=0,01 с.
14.3. Частинка рухається від точки (0, –1,0) до точки (0, +1,0) по абсолютно гладенькому шляху під дією тієї самої, що й у задачі 14.1, сили F (плюс деяка сила, яка утримує частинку і не дає їй «зійти зі шляху»). Знайдіть роботу, здійснену силою F для двох варіантів траєкторії:
а) пряма вздовж осі y;
б) коло в площині z — у.
Чи є поле сили F консервативним?
14.4. Матеріальна точка масою 6,0 кг може рухатися вздовж осі x без тертя. У кожному з перелічених нижче випадків вона починає рух при x=0 і t=0.
1) Точка проходить відстань у Зм під дією сили F=(3+4x) ньютон (x у метрах).
а) Якої швидкості вона при цьому набуде?
б) Яке її прискорення наприкінці шляху?
в) Чому дорівнює потужність, що витрачається на її рух у цей момент? 2) Точка рухається протягом 3 с під дією сили F=(З+4t) ньютон (час у секундах). Дайте відповіді на питання (а) — (в) для цього випадку.
14.5. Сферична оболонка радіуса 0,5 м рівномірно заряджена до потенціалу 106 в. Знайдіть її заряд.
14.6. Як правило, конденсатор складається з двох металевих тіл, які несуть заряди різного знака. Ємність C визначається як відношення заряду на одному з тіл до різниці потенціалів між ними:
Визначте ємність двох концентричних сфер із радіусами A і B.
14.7. Якби Земля несла некомпенсований електричний заряд 1 кулон, чому дорівнював би її потенціал?
14.8. Автомобіль важить 1000 кгс. Максимальна потужність, яку розвиває його двигун, дорівнює 120 квт. Нехай ця максимальна потужність досягається на швидкості 60 км/год. Яке прискорення автомобіля на цій швидкості?
14.9. Гнучкий кабель довжиною L і вагою M кгс на погонний метр перекинутий через блок, маса і радіус якого нехтовно малі. Тертя в блоці відсутнє. У початковий момент кабель перебуває в положенні рівноваги, з якого його виводить слабкий ривок за один із кінців. Довша частина починає переважувати, і кабель з прискоренням зісковзує з блока. Знайдіть швидкість кабелю в той момент, коли через блок проходить його кінець.
14.10. Вода (густина її 1 г/см3) прокачується крізь гладенький шланг і вилітає з його наконечника, поперечний переріз якого дорівнює 35 см2. Струмінь спрямований під кутом 30° до горизонту і злітає на 4,8 м вище вихідного отвору. Подавальний шланг насоса занурений у великий резервуар, рівень води в якому на 2,4 м нижче наконечника. Якщо повний ККД насоса разом з електромотором становить 60%, яку потужність споживає мотор?
14.11. Світові рекорди в штовханні ядра, метанні диска і списа становили в 1960 р. 19,40, 59,96 і 86,09 м відповідно. Маси цих метальних снарядів дорівнюють відповідно 7,257, 1,99 і 0,806 кг. Округліть ці цифри і порівняйте роботу, витрачену кожним спортсменом у рекордному кидку для трьох снарядів, припускаючи щоразу, що снаряд вилітає під кутом 45° з рівня 1,8 м
над землею. Опором повітря знехтуйте.
14.12. Потужність двигуна машини 85 к. с., а вага машини 1200 кгс. При русі з постійною швидкістю 48 км/год потужність, яку розвиває двигун, дорівнює всього 20 к. с. Знайдіть величину найкрутішого нахилу, на який ця машина може підніматися з такою швидкістю, вважаючи, що опір тертя від нахилу дороги не залежить. (Величину нахилу характеризуйте або кутом по відношенню до
горизонталі, або якою-небудь функцією цього кута.)
14.13. Маса M деякого сферичного тіла радіуса R рівномірно розподілена по його об'єму. Якими є гравітаційний потенціал і напруженість гравітаційного поля, яке створює це тіло на різних відстанях від його центра? Подайте результат графічно.
14.14. Чашка пружинних ваг важить 0,025 кгс, а пружність пружини становить 15,3 ньютон/м. Вантажик масою m= 50 г падає на чашку з висоти h=9,0 см. Зіткнення абсолютно непружне. На яку максимальну відстань опуститься вантажик? Відлік ведеться від точки, з якої він почав падати.
14.15. Пружина з пружною сталою k розтягнута під дією постійної сили F і перебуває в рівновазі. Вважаючи розтяг як і раніше пропорційним силі, показати, що при зміщеннях відносно нового положення рівноваги пружна стала та сама.
14.16. Невеликий візок рухається без тертя по похилому шляху, у нижній точці якого встановлена «мертва петля» радіуса R. З якої висоти H має почати рух візок, щоб пройти петлю, не зірвавшись?
14.17. Матеріальна точка перебуває у спокої у верхній точці абсолютно гладкої сфери радіуса R, а потім починає ковзати вниз по поверхні сфери під дією сили тяжіння. Яку відстань пройде вона вниз від початкової точки, перш ніж відірветься від сфери?
14.18. Невелике тіло маси m рухається під впливом гравітаційного тяжіння по еліптичній орбіті навколо масивного тіла маси M. Важке тіло можна вважати нерухомим. Велика піввісь орбіти дорівнює a, її ексцентриситет дорівнює e. Обчисліть повну енергію тіла E (кінетичну плюс потенціальну). Зверніть увагу на те, що результат не залежить від ексцентриситету.
14.19.а) Покажіть, що площа еліпса дорівнює πab.
б) Отримайте третій закон Кеплера для еліптичних орбіт.
в) Покажіть, що орбіти всіх тіл, на які на одиницю маси припадає однакова енергія, відповідають рівним періодам обертання. (Для простоти припускайте, що m«M.)
14.20. Швидкість, яку необхідно надати тілу, щоб воно покинуло гравітаційне поле Землі, дорівнює приблизно 11 км/с. Якщо міжпланетний корабель після згоряння всього палива (при виході з атмосфери) рухався зі швидкістю 12 км/с, якою буде його швидкість на відстані 106 км від Землі?
14.21. Двигуни космічного корабля припиняють роботу десь у районі Землі. Яку мінімальну швидкість повинен набрати космічний корабель, щоб покинути межі Сонячної системи, маючи «на виході» швидкість 16 км/с відносно Сонця? Швидкість Землі в її орбітальному русі дорівнює 30 км/с.
14.22. Космічний корабель із попередньої задачі повинен покинути Сонячну систему у певному напрямку. Яка максимальна швидкість запуску із Землі, яка може для цього знадобитися?
14.23. Потрібно вивести космічний корабель на навколосонячну орбіту з перигелієм 0,01 A.О. і тим самим періодом обертання по орбіті, який має Земля (1 рік). З якою швидкістю і в якому напрямку відносно лінії Земля—Сонце потрібно запустити цей корабель із Землі? Орбітальна швидкість Землі дорівнює 30 км/с.
14.24. Усередині сферичного тіла радіуса R і густини ρ є сферична порожнина радіуса R/4. Її центр міститься на відстані R/4 від точки С — центра великої сфери, на лінії PC, що з'єднує C з точкою P, яка міститься на відстані X від поверхні великої сфери (див. малюнок). Знайдіть прискорення сили тяжіння а в точці P.