Відкриття законів динаміки, або законів руху, стало одним із найбільш драматичних моментів в історії науки. До Ньютона рух різних тіл, наприклад планет, здавався вченим загадкою, але після відкриття Ньютона все раптом стало зрозумілим. Змогли обчислити навіть дуже слабкі відхилення від законів Кеплера, зумовлені впливом інших планет. Рух маятника, коливання вантажу, підвішеного на пружині, та інші незрозумілі досі явища розкрили свої загадки завдяки законам Ньютона. Те саме можна сказати і про цей розділ. До нього ви не могли розрахувати, як рухається вантажик, прикріплений до пружини, не кажучи вже про те, щоб визначити вплив Юпітера і Сатурна на рух Урана. Але після цього розділу вам стане доступним і те, і інше!
Перший великий крок у розумінні руху зробив Галілей, коли відкрив свій принцип інерції: тіло, надане самому собі, якщо на нього не діє жодна сила, зберігає свій прямолінійний рух зі сталою швидкістю, з якою рухалося доти, або залишається в спокої, якщо доти спочивало. Звичайно, в природі такого не буває. Спробуйте штовхнути кубик, що стоїть на столі. Він зупиниться. Причина в тому, що кубик треться об стіл, він не наданий самому собі. Треба мати дуже багату уяву, щоб побачити за цим принцип інерції. Природно, потрібно ще розв'язати таке питання: а як змінюється швидкість тіла, якщо на нього щось діє? Відповідь дав Ньютон. Він сформулював три закони. Перший закон являє собою просто повторення принципу інерції Галілея. Другий закон говорить про те, як змінюється швидкість тіла, коли на нього діють різні впливи, тобто коли на нього діють сили. Третій закон у якомусь сенсі описує сили, але про нього ми поговоримо трохи пізніше. Тут ітиметься про Другий закон, згідно з яким під дією сили рух тіл змінюється так: швидкість зміни з часом певної величини, яку називають кількістю руху, або імпульсом, пропорційна силі. Пізніше ми запишемо коротке математичне формулювання цього закону, а зараз розберімося в його змісті. Імпульс і швидкість — речі різні. У фізиці вживається багато слів, і кожне з них, на відміну від звичайної розмовної мови, має точний смисл. Прикладом може слугувати слово «імпульс», і ми повинні визначити його точно. Штовхніть злегка рукою якийсь легкий предмет — він одразу почне рухатися. Якщо з такою самою силою штовхнути набагато важчий предмет, то він рухатиметься значно повільніше. По суті, слід говорити не про «легкий» чи «важкий» предмет, а про менш масивний або більш масивний, оскільки між вагою і інерцією предмета є різниця, яку треба розуміти. (Скільки важить тіло — це одне, а наскільки важко його розігнати — зовсім інше.) Однак на поверхні Землі вага та інерція пропорційні одна одній і часто розглядаються як чисельно рівні. Це часто призводить до нерозуміння різниці між ними. На Марсі, наприклад, вага предметів відрізнятиметься від ваги на Землі, але інертність залишиться тією самою, тобто знадобиться та сама кількість сили, щоб подолати інерцію тіла. Кількісною мірою інертності є маса. Її можна виміряти так: просто прив'язати предмет на мотузці, крутити його з певною швидкістю і виміряти ту силу, яка потрібна, щоб його втримати. Цим способом можна виміряти масу будь-яких предметів. Імпульс — це просто добуток маси тіла на його швидкість. Тепер можна записати Другий закон Ньютона в математичній формі:
Перший великий крок у розумінні руху зробив Галілей, коли відкрив свій принцип інерції: тіло, надане самому собі, якщо на нього не діє жодна сила, зберігає свій прямолінійний рух зі сталою швидкістю, з якою рухалося доти, або залишається в спокої, якщо доти спочивало. Звичайно, в природі такого не буває. Спробуйте штовхнути кубик, що стоїть на столі. Він зупиниться. Причина в тому, що кубик треться об стіл, він не наданий самому собі. Треба мати дуже багату уяву, щоб побачити за цим принцип інерції. Природно, потрібно ще розв'язати таке питання: а як змінюється швидкість тіла, якщо на нього щось діє? Відповідь дав Ньютон. Він сформулював три закони. Перший закон являє собою просто повторення принципу інерції Галілея. Другий закон говорить про те, як змінюється швидкість тіла, коли на нього діють різні впливи, тобто коли на нього діють сили. Третій закон у якомусь сенсі описує сили, але про нього ми поговоримо трохи пізніше. Тут ітиметься про Другий закон, згідно з яким під дією сили рух тіл змінюється так: швидкість зміни з часом певної величини, яку називають кількістю руху, або імпульсом, пропорційна силі. Пізніше ми запишемо коротке математичне формулювання цього закону, а зараз розберімося в його змісті. Імпульс і швидкість — речі різні. У фізиці вживається багато слів, і кожне з них, на відміну від звичайної розмовної мови, має точний смисл. Прикладом може слугувати слово «імпульс», і ми повинні визначити його точно. Штовхніть злегка рукою якийсь легкий предмет — він одразу почне рухатися. Якщо з такою самою силою штовхнути набагато важчий предмет, то він рухатиметься значно повільніше. По суті, слід говорити не про «легкий» чи «важкий» предмет, а про менш масивний або більш масивний, оскільки між вагою і інерцією предмета є різниця, яку треба розуміти. (Скільки важить тіло — це одне, а наскільки важко його розігнати — зовсім інше.) Однак на поверхні Землі вага та інерція пропорційні одна одній і часто розглядаються як чисельно рівні. Це часто призводить до нерозуміння різниці між ними. На Марсі, наприклад, вага предметів відрізнятиметься від ваги на Землі, але інертність залишиться тією самою, тобто знадобиться та сама кількість сили, щоб подолати інерцію тіла. Кількісною мірою інертності є маса. Її можна виміряти так: просто прив'язати предмет на мотузці, крутити його з певною швидкістю і виміряти ту силу, яка потрібна, щоб його втримати. Цим способом можна виміряти масу будь-яких предметів. Імпульс — це просто добуток маси тіла на його швидкість. Тепер можна записати Другий закон Ньютона в математичній формі:
Зображення
Розгляньмо детальніше деякі його сторони. Під час написання закону, подібного до цього, зазвичай використовується багато інтуїтивних ідей; щось мається на увазі, щось припускається і комбінується в наближений «закон». Але після цього необхідно знову повернутися назад і детально вивчити, що означає кожен член. Якщо ж намагатися зробити це з самого початку, можна безнадійно заплутатися. Тому ми вважаємо деякі положення самі собою зрозумілими і такими, що не потребують жодного доведення. По-перше, ми вважаємо, що маси тіл сталі. Це, взагалі кажучи, неправильно, але ми почнемо з ньютонівського наближення, коли маса вважається сталою і незмінною з плином часу. По-друге, якщо скласти разом два предмети, то маса тіла, що утворилося, дорівнює сумі їхніх мас. Це положення неявно припускав Ньютон, коли писав свої рівняння, інакше вони були б безглузді. Нехай, наприклад, маса змінюється обернено пропорційно швидкості, але тоді імпульс ніколи б не змінювався і закон втратив би будь-який зміст, за винятком хіба того, що ви знаєте, як змінюється маса зі швидкістю. Тож спочатку ми вважаємо масу незмінною.
Кілька слів про силу. Як перше грубе наближення ми розглядали силу як якийсь поштовх чи тягу, яку можуть створити наші м'язи, але тепер, користуючись рівнянням руху, ми можемо визначити її точніше. Дуже важливо пам'ятати, що закон Ньютона включає не лише зміну величини імпульсу, а й зміну його напрямку. Отже, якщо маса стала, то рівняння (9.1) можна записати у вигляді
Зображення
де а — прискорення, тобто «швидкість зміни швидкості». Другий закон Ньютона означає не тільки те, що зміни, викликані даною силою, обернено пропорційні масі, а й те, що напрямок зміни швидкості збігається з напрямком дії сили. Важливо розуміти, що термін «прискорення» має у фізиці ширший смисл, ніж у звичайній розмовній мові. Він означає не лише збільшення швидкості, а й уповільнення ( у цьому разі ми кажемо, що прискорення від'ємне), і зміну напрямку руху. У розд. 7 ми вже познайомилися з прискоренням, спрямованим під прямим кутом до швидкості, і бачили, що предмет, який рухається по колу радіусом R зі швидкістю v, за малий інтервал часу t відхиляється від свого прямого шляху на відстань 1/2(v2/R)t2. Отже, у цьому випадку прискорення спрямоване під прямим кутом до напрямку руху і дорівнює
Зображення
Таким чином, сила, що діє під прямим кутом до швидкості, викликає викривлення шляху, причому радіус кривини можна знайти, поділивши силу на масу тіла (при цьому ми дістаємо прискорення) і використовуючи потім формулу (9.3).
Термін «швидкість» також має у фізиці ширший смисл, ніж у повсякденному житті. Це не просто якась кількість метрів за секунду, тобто абсолютна величина швидкості, а й напрямок переміщення в кожний момент часу. Математично ми можемо описати і величину, і напрямок швидкості, якщо будемо задавати зміну координат тіла з плином часу. Нехай, наприклад, у якийсь момент тіло рухається так, як це показано на фіг. 9.1. Тоді за малий проміжок часу Δt воно пройде якусь відстань Δх у напрямку осі х, Δу у напрямку осі у і Δz у напрямку осі z. Результатом же цих змін координат буде переміщення Δs вздовж діагоналі паралелепіпеда зі сторонами Δх, Δy, Δz, які таким чином пов'язані зі складовими швидкості й інтервалом:
Термін «швидкість» також має у фізиці ширший смисл, ніж у повсякденному житті. Це не просто якась кількість метрів за секунду, тобто абсолютна величина швидкості, а й напрямок переміщення в кожний момент часу. Математично ми можемо описати і величину, і напрямок швидкості, якщо будемо задавати зміну координат тіла з плином часу. Нехай, наприклад, у якийсь момент тіло рухається так, як це показано на фіг. 9.1. Тоді за малий проміжок часу Δt воно пройде якусь відстань Δх у напрямку осі х, Δу у напрямку осі у і Δz у напрямку осі z. Результатом же цих змін координат буде переміщення Δs вздовж діагоналі паралелепіпеда зі сторонами Δх, Δy, Δz, які таким чином пов'язані зі складовими швидкості й інтервалом:
Зображення
