Кінетична енергія обертання

Продовжимо вивчення динаміки обертання. Обговорюючи аналогію між лінійним і кутовим рухом у розд. 18, ми використовували теорему про роботу, але нічого не говорили про кінетичну енергію. Якою буде кінетична енергія твердого тіла, що обертається навколо якоїсь осі з кутовою швидкістю ω? Користуючись нашою аналогією, можна негайно вгадати правильну відповідь. Момент інерції відповідає масі, кутова швидкість відповідає звичайній швидкості, тож кінетична енергія має дорівнювати 1/2Iω². Так воно й є насправді, і зараз ми це покажемо. Припустімо, що тіло обертається навколо якоїсь осі, так що кожна точка рухається зі швидкістю ωr_i, де r_i — відстань від даної точки до осі. Якщо маса цієї точки дорівнює m_i, то повна кінетична енергія всього тіла дорівнює просто сумі кінетичних енергій усіх частинок

Наприкінці розд. 18 ми відзначали, що існують дуже цікаві явища, пов'язані з обертанням не абсолютно твердого тіла, здатного змінювати свій момент інерції. А саме, у прикладі з обертовим столом у нас був момент інерції I₁ і кутова швидкість ω₁ при витягнутих руках. Зігнувши руки, ми змінили момент інерції до I₂, а кутову швидкість — до ω₂. Оскільки в нас немає жодних моментів сил відносно осі обертання стола, то момент кількості руху має залишитися сталим. Це означає, що I₁ω₁ = I₂ω₂. А що можна сказати про енергію? Це дуже цікаве питання. Зігнувши руки, ми починаємо обертатися швидше, але момент інерції при цьому зменшується, і може здатися, що кінетична енергія має залишитися тією самою. Це, однак, неправильно, бо насправді зберігається Iω, а не Iω². Порівняймо тепер кінетичні енергії на початку і в кінці. Спочатку кінетична енергія дорівнює 1/2I₁ω²₁=1/2Lω₁, де L=I₁ω₁=I₂ω₂— момент кількості руху. Точно так само кінетична енергія в кінці дорівнює Т=1/2Lω₂, а оскільки ω₂ > ω₁ то кінетична енергія в кінці виявляється більшою, ніж на початку. Отже, спочатку, коли руки були витягнуті, ми оберталися з якоюсь кінетичною енергією, потім, зігнувши руки, ми стали обертатися швидше, і наша кінетична енергія зросла. А як бути із законом збереження енергії? Адже хтось має виконати роботу, щоб збільшити енергію? Це зробили ми самі! Але коли, в який момент? Коли ми тримаємо гантелі горизонтально, то жодної роботи не виконуємо. Випрямляючи руки в сторони і згинаючи їх, ми теж не можемо виконати жодної роботи. Це, однак, правильно лише доти, доки немає жодного обертання! Під час обертання ж на гантелі діє відцентрова сила. Вони прагнуть вирватися з наших рук, тож, згинаючи під час обертання руки, ми долаємо протидію відцентрової сили. Робота, яка на це витрачається, і становить різницю в кінетичних енергіях обертання. Ось звідки береться цей додаток. Існує ще одне дуже цікаве явище, яке ми розглянемо лише описово, щоб просто мати про нього уявлення. Хоча вивчення цього явища вимагає дещо більшого досвіду, але згадати про нього варто, бо воно дуже цікаве і дає багато цікавих ефектів. Візьмемо знову експеримент з обертовим столиком. Розгляньмо окремо тіло і руки, з погляду людини, яка обертається на столику. Зігнувши руки з гантелями, ми стали обертатися швидше, але зауважте, що тіло при цьому не змінило свого моменту інерції; проте воно стало обертатися швидше, ніж раніше. Якби ми провели навколо тіла коло і розглянули тільки предмети всередині цього кола, то їхній момент кількості руху змінився б; вони закрутилися б швидше. Отже, коли ми згинаємо руки, на тіло має діяти момент сили. Однак відцентрова сила не може дати жодного моменту, оскільки вона спрямована по радіусу. Це свідчить про те, що серед сил, які виникають в обертовій системі, відцентрова сила не самотня: є ще й інша сила. Ця інша сила має назву коріолісової сили, або сили Коріоліса. Вона має дуже дивну властивість: виявляється, що якщо ми в обертовій системі рухаємо якийсь предмет, то вона штовхає його вбік. Як і відцентрова сила, ця сила уявна. Але якщо ми живемо в обертовій системі і хочемо щось рухати по радіусу, то для цього ми маємо тягти його дещо вбік. Саме ця «бокова» сила створює момент, який розкручує наше тіло. Перейдімо тепер до формул і покажемо, як коріолісова сила працює на практиці. Нехай Мік сидить на каруселі, яка здається йому нерухомою. З погляду Джо, який стоїть на землі і знає справжні закони механіки, карусель крутиться. Припустімо, що ми провели радіальну пряму на каруселі, і нехай Мік рухає прямо вздовж цієї лінії якусь масу. Я хочу показати, що для того, щоб усе було так, як ми описали, потрібна бокова сила. Це можна побачити, звернувши увагу на момент кількості руху маси, що обертається. Вона крутиться весь час з однією й тією самою кутовою швидкістю ω, тому її момент кількості руху дорівнює
L = mv_тангr = mωr*r = mωr²
Якщо маса розташована близько до центра, то він порівняно малий, але якщо ми пересуваємо її в нове положення і якщо ми збільшуємо г, то маса т набуває більшого моменту кількості руху, тобто під час руху по радіусу на неї має діяти якийсь момент сили. (Щоб на каруселі рухатися по радіусу, потрібно нахилитися і штовхатися вбік. Спробуйте якось самі проробити це.) Оскільки момент сили дорівнює швидкості зміни L під час руху маси m по радіусу, то

де через F_K позначено силу Коріоліса. Насправді ми хотіли дізнатися, яку бокову силу має прикладати Мік, щоб рухати масу m зі швидкістю v_r=dr/dt. Як бачите, вона дорівнює F_K = τ/r =2mωv_r. Тепер, маючи формулу для коріолісової сили, розгляньмо трохи докладніше всю картину в цілому. Як можна зрозуміти причину виникнення цієї сили з елементарних міркувань? Зауважте, що коріолісова сила не залежить від відстані до осі і тому діє навіть на осі! Виявляється, що легше за все зрозуміти саме силу, яка діє на осі обертання. Для цього потрібно просто поглянути на все, що відбувається, з інерціальної системи Джо, який стоїть на землі. На фіг. 19.4 показано три послідовних положення маси т, яка при t=0 проходить через вісь. Через обертання каруселі маса, як ми бачимо, рухається не по прямій лінії, а по якомусь кривому шляху, що дотикається діаметра в точці r=0. Але для того, щоб вона рухалася по кривому шляху, має діяти прискорювальна сила. Це і є коріолісова сила. Однак з коріолісовою силою ми стикаємося не лише в подібних ситуаціях. Можна показати, що якщо предмет рухається з постійною швидкістю по краю диска, то на нього теж діє коріолісова сила. Чому? Мік бачить предмет, що рухається зі швидкістю v_м, а Джо бачить його таким, що рухається по колу зі швидкістю v_д=v_м+ω_r, оскільки предмет додатково переноситься каруселлю. Як ми вже знаємо, сила, що діє в цьому випадку, буде, по суті, повністю відцентровою силою швидкості v_д, що дорівнює mv²_д/r. Але, з погляду Міка, вона має складатися з трьох частин. Усе це можна записати в такому вигляді:

Отже, F_r — це сила, яку вимірює Мік. Спробуймо зрозуміти, звідки що береться. Чи може Мік визнати перший член? «Звісно,— сказав би він,— навіть якби я не обертався, то така відцентрова сила мала б виникнути, якби побігти по колу зі швидкістю иы». Отже, це просто відцентрова сила, появи якої Мік очікує і яка не має нічого спільного з обертанням каруселі. Крім того, Мік думає, що має бути ще одна відцентрова сила, яка діє навіть на нерухомі предмети на його каруселі. Це дає третій член. Однак на додачу до них є ще один член — другий, який знову дорівнює 2mωv_М. Раніше, при радіальній швидкості, коріолісова сила F_K була тангенціальною. Тепер же, при тангенціальній швидкості, вона радіальна. Справді, один вираз відрізняється від іншого лише знаком. Сила завжди має один і той самий напрямок відносно швидкості незалежно від того, куди спрямована швидкість. Вона діє під прямим кутом до швидкості і дорівнює за величиною 2mωv.