Розгляньмо тепер проблему визначення моменту інерції різних тіл. Загальна формула для знаходження моменту інерції об'єкта відносно осі z має вигляд
Зображення
Іншими словами, потрібно скласти всі маси, помноживши кожну з них на квадрат її відстані до осі (x2i + y2i). Зауважте, що це правильно навіть для тривимірного тіла, попри те, що відстань має такий «двовимірний вигляд». Утім, здебільшого ми обмежуватимемося двовимірними тілами.
Як простий приклад розгляньмо стрижень, що обертається відносно осі, яка проходить через його кінець і перпендикулярна до нього (фіг. 19.3). Нам потрібно тепер підсумувати всі маси, помножені на квадрати відстані х (у цьому випадку всі у — нульові). Під сумою, звісно, я маю на увазі інтеграл від х2, помножений на «елементики» маси. Якщо ми поділимо стрижень на шматочки довжиною dx, то відповідний елемент маси буде пропорційний dx, а якби dx становило довжину всього стрижня, то його маса дорівнювала б М. Тому
Як простий приклад розгляньмо стрижень, що обертається відносно осі, яка проходить через його кінець і перпендикулярна до нього (фіг. 19.3). Нам потрібно тепер підсумувати всі маси, помножені на квадрати відстані х (у цьому випадку всі у — нульові). Під сумою, звісно, я маю на увазі інтеграл від х2, помножений на «елементики» маси. Якщо ми поділимо стрижень на шматочки довжиною dx, то відповідний елемент маси буде пропорційний dx, а якби dx становило довжину всього стрижня, то його маса дорівнювала б М. Тому
Зображення
Розмірність моменту інерції завжди дорівнює масі, помноженій на квадрат довжини, тож єдина суттєва величина, яку ми обчислили, це множник 1/3.
А чому дорівнюватиме момент інерції I, якщо вісь обертання проходить через середину стрижня? Щоб знайти його, нам знову потрібно взяти інтеграл, але вже в межах від —1/2L до +1/2L. Зауважмо, однак, одну особливість цього випадку. Такий стрижень з віссю, що проходить через центр, можна уявляти собі як два стрижні з віссю, що проходить через кінець, причому маса кожного з них дорівнює М/2, а довжина дорівнює L/2. Моменти інерції двох таких стрижнів дорівнюють одне одному й обчислюються за формулою (19.5). Тому момент інерції всього стрижня дорівнює
Зображення
Таким чином, стрижень набагато легше крутити за середину, ніж за кінець.
Можна, звісно, продовжити обчислення моментів інерції інших тіл, які нас цікавлять. Але оскільки такі розрахунки вимагають великого досвіду в обчисленні інтегралів (що дуже важливо само собою), вони як такі не становлять для нас великого інтересу. Утім, тут є деякі дуже цікаві й корисні теореми. Нехай є якесь тіло, і ми хочемо дізнатися його момент інерції відносно якоїсь осі. Це означає, що ми хочемо знайти його інертність при обертанні навколо цієї осі. Якщо ми рухатимемо тіло за стрижень, що підпирає його центр мас так, щоб воно не поверталося при обертанні навколо осі (у цьому разі на нього не діють жодні моменти сил інерції, тому тіло не буде повертатися, коли ми почнемо рухати його), то, щоб повернути його, знадобиться точно така сама сила, як якби вся маса була зосереджена в центрі мас і момент інерції дорівнював би просто I1 = MR2ц.м., де Rц.м. — відстань від центра мас до осі обертання. Однак ця формула, звісно, неправильна. Вона не дає правильного моменту інерції тіла. Адже насправді при повороті тіло обертається. Крутиться не тільки центр мас (що давало б величину I1), саме тіло теж має повертатися відносно центра мас. Таким чином, до моменту інерції I1 потрібно додати Iц — момент інерції відносно центра мас. Правильна відповідь полягає в тому, що момент інерції відносно будь-якої осі дорівнює
Зображення
Ця теорема називається теоремою про паралельне перенесення осі. Доводиться вона дуже легко. Момент інерції відносно будь-якої осі дорівнює сумі мас, помножених на суму квадратів х і у, тобто I = Σmi(x2i + y2i). Ми зараз зосередимо нашу увагу на х, однак усе достеменно можна повторити і для у. Нехай координата х є відстанню даної окремої точки від початку координат; подивімося, однак, як усе зміниться, якщо ми вимірюватимемо відстань х` від центра мас замість х від початку координат. Щоб це з'ясувати, ми маємо написати
xi = x`i + Xц.м.
Підносячи цей вираз до квадрата, знаходимо
x2i = x`2i + 2Xц.м.x`i + X2ц.м.
Що вийде, якщо помножити його на mi і просумувати за всіма i? Виносячи сталі величини за знак суми, знаходимо Ix = Σmix`2i + 2Xц.м.Σmix`i + X2ц.м.Σmi Третю суму підрахувати легко; це просто МХ2ц.м. . Другий член складається з двох множників, один з яких Σmix`i; він дорівнює x`-координаті центра мас. Але це має дорівнювати нулю, адже х` відлічується від центра мас, а в цій системі координат середнє положення всіх частинок, зважене їхніми масами, дорівнює нулю. Перший же член, очевидно, є х-частиною Iц. Таким чином, ми і приходимо до формули (19.7). Перевірмо формулу (19.7) на одному прикладі. Просто перевіримо, чи застосовна вона для стрижня. Ми вже знайшли, що момент інерції стрижня відносно його кінця має дорівнювати ML2/3. А центр мас стрижня, звісно, міститься на відстані L/2. Таким чином, ми маємо отримати, що ML2/3=ML2/12+M(L/2)2. Оскільки одна четверта + одна дванадцята = одній третій, то ми не зробили жодної грубої помилки. До речі, щоб знайти момент інерції (19.5), зовсім не обов'язково обчислювати інтеграл. Можна просто припустити, що він дорівнює величині ML2, помноженій на якийсь невідомий коефіцієнт γ. Після цього можна скористатися міркуваннями про дві половинки і для моменту інерції (19.6) отримати коефіцієнт 1/4γ. Використовуючи тепер теорему про паралельне перенесення осі, доведемо, що γ=1/4γ + 1/4, звідки γ=1/3. Завжди можна знайти якийсь обхідний шлях! Застосовуючи теорему про паралельні осі, важливо пам'ятати, що вісь Iц має бути паралельна осі, відносно якої ми хочемо обчислювати момент інерції. Варто, мабуть, згадати ще про одну властивість, яка часто буває дуже корисною при знаходженні моменту інерції деяких типів тіл. Вона полягає в такому: якщо в нас є плоска фігура і трійка координатних осей з початком координат, розташованим у цій площині, і віссю z, спрямованою перпендикулярно до неї, то момент інерції цієї фігури відносно осі z дорівнює сумі моментів інерції відносно осей х і у. Доводиться це зовсім просто. Зауважмо, що
xi = x`i + Xц.м.
Підносячи цей вираз до квадрата, знаходимо
x2i = x`2i + 2Xц.м.x`i + X2ц.м.
Що вийде, якщо помножити його на mi і просумувати за всіма i? Виносячи сталі величини за знак суми, знаходимо Ix = Σmix`2i + 2Xц.м.Σmix`i + X2ц.м.Σmi Третю суму підрахувати легко; це просто МХ2ц.м. . Другий член складається з двох множників, один з яких Σmix`i; він дорівнює x`-координаті центра мас. Але це має дорівнювати нулю, адже х` відлічується від центра мас, а в цій системі координат середнє положення всіх частинок, зважене їхніми масами, дорівнює нулю. Перший же член, очевидно, є х-частиною Iц. Таким чином, ми і приходимо до формули (19.7). Перевірмо формулу (19.7) на одному прикладі. Просто перевіримо, чи застосовна вона для стрижня. Ми вже знайшли, що момент інерції стрижня відносно його кінця має дорівнювати ML2/3. А центр мас стрижня, звісно, міститься на відстані L/2. Таким чином, ми маємо отримати, що ML2/3=ML2/12+M(L/2)2. Оскільки одна четверта + одна дванадцята = одній третій, то ми не зробили жодної грубої помилки. До речі, щоб знайти момент інерції (19.5), зовсім не обов'язково обчислювати інтеграл. Можна просто припустити, що він дорівнює величині ML2, помноженій на якийсь невідомий коефіцієнт γ. Після цього можна скористатися міркуваннями про дві половинки і для моменту інерції (19.6) отримати коефіцієнт 1/4γ. Використовуючи тепер теорему про паралельне перенесення осі, доведемо, що γ=1/4γ + 1/4, звідки γ=1/3. Завжди можна знайти якийсь обхідний шлях! Застосовуючи теорему про паралельні осі, важливо пам'ятати, що вісь Iц має бути паралельна осі, відносно якої ми хочемо обчислювати момент інерції. Варто, мабуть, згадати ще про одну властивість, яка часто буває дуже корисною при знаходженні моменту інерції деяких типів тіл. Вона полягає в такому: якщо в нас є плоска фігура і трійка координатних осей з початком координат, розташованим у цій площині, і віссю z, спрямованою перпендикулярно до неї, то момент інерції цієї фігури відносно осі z дорівнює сумі моментів інерції відносно осей х і у. Доводиться це зовсім просто. Зауважмо, що
Зображення
Момент інерції однорідної прямокутної пластинки, наприклад з масою М, шириною ω і довжиною L відносно осі, перпендикулярної до неї й такої, що проходить через її центр, дорівнює просто
Зображення
оскільки момент інерції відносно осі, що лежить у площині пластинки й паралельна її довжині, дорівнює Mω2/12, тобто точно такий самий, як і для стрижня довжиною ω, а момент інерції відносно іншої осі в тій самій площині дорівнює ML2/12, такий самий, як і для стрижня довжиною L.
Отже, перелічмо властивості моменту інерції відносно даної осі, яку ми назвемо віссю z:
Зображення
1. Момент інерції дорівнює
2. Якщо предмет складається з кількох частин, причому момент інерції кожної з них відомий, то повний момент інерції дорівнює сумі моментів інерції цих частин.
3. Момент інерції відносно будь-якої даної осі дорівнює моменту інерції відносно паралельної осі, що проходить через центр мас, плюс добуток повної маси на квадрат відстані даної осі від центра мас.
4. Момент інерції плоскої фігури відносно осі, перпендикулярної до її площини, дорівнює сумі моментів інерції відносно будь-яких двох інших взаємно перпендикулярних осей, що лежать у площині фігури і перетинаються з перпендикулярною віссю.
3. Момент інерції відносно будь-якої даної осі дорівнює моменту інерції відносно паралельної осі, що проходить через центр мас, плюс добуток повної маси на квадрат відстані даної осі від центра мас.
4. Момент інерції плоскої фігури відносно осі, перпендикулярної до її площини, дорівнює сумі моментів інерції відносно будь-яких двох інших взаємно перпендикулярних осей, що лежать у площині фігури і перетинаються з перпендикулярною віссю.
Зображення
У табл. 19.1 наведено моменти інерції деяких елементарних фігур, що мають однорідну густину мас, а в табл. 19.2 — моменти інерції деяких фігур, які можна отримати з табл. 19.1, скориставшись переліченими вище властивостями.
Зображення
