Момент кількості руху

Хоча дотепер ми розглядали тільки спеціальний випадок твердого тіла, властивості моменту та його математичний вираз цікаві навіть тоді, коли тіло не тверде. Можна довести дуже цікаву теорему: подібно до того, як зовнішня сила дорівнює швидкості зміни величини p, яку називають повним імпульсом системи частинок, так і момент сили дорівнює швидкості зміни деякої величини L, яку називають моментом кількості руху, або кутовим моментом групи частинок.  Щоб довести це, розгляньмо систему частинок, на яку діють сили, і подивимося, що станеться із системою в результаті дії обертальних моментів, створених цими силами. Для початку давайте візьмемо тільки одну частинку. Така частинка з масою m і віссю О зображена на фіг. 18.3. Вона не обов'язково має обертатися по колу навколо осі О, а може рухатися й по еліпсу, подібно до планети навколо Сонця, або по якійсь іншій кривій. Головне те, що вона рухається, що на неї діє сила, яка прискорює її відповідно до звичайних законів: x-компонента сили дорівнює масі, помноженій на x-компоненту прискорення, і т. д. Але подивимося тепер, як діє момент сили. Він, як ви знаєте, дорівнює xF_y—yF_x, а х- і y-компоненти сили в свою чергу дорівнюють масі, помноженій відповідно на х- і y-компоненту прискорення, так що

Хоча одразу й не видно, що цей вираз є похідною від якоїсь простої величини, але насправді він дорівнює похідній від xm(dy/dt)—ym(dx/dt). Справді,

Виявляється, таким чином, що момент сили дорівнює швидкості зміни з часом деякої величини! Давайте звернемо увагу на цю величину і перш за все дамо їй ім'я. Вона буде називатися моментом кількості руху, або кутовим моментом, і позначатися літерою L Хоча в усіх наших міркуваннях ми не брали до уваги теорію відносності, тим не менш другий вираз для L вірний і з її урахуванням. Отже, ми виявили, що у звичайного імпульсу теж існує обертальний аналог — кутовий момент, який пов'язаний з компонентами імпульсу точно так само, як момент сили пов'язаний з компонентами сили! Тож якщо ми хочемо обчислити момент кількості руху відносно якоїсь осі, то маємо взяти тангенціальну складову імпульсу і помножити її на радіус. Іншими словами, кутовий момент показує, наскільки швидко рухається частинка навколо якогось центра, адже він враховує тільки тангенціальну частину імпульсу. Більше того, чим далі від центра віддалена лінія, вздовж якої спрямований імпульс, тим більшим буде кутовий момент. Точно так само, оскільки геометрія в цьому випадку та сама, що й у випадку моменту сили, існує плече імпульсу (воно, звісно, не збігається з плечем сили, що діє на частинку), яке дорівнює відстані лінії імпульсу від осі. Таким чином, кутовий момент дорівнює просто величині імпульсу, помноженого на його плече. Точно так само, як і для моменту сили, для кутового моменту ми можемо написати такі три формули:

Момент кількості руху, як і момент сили, залежить від положення осі, відносно якої він обчислюється. Перш ніж перейти до розгляду більш ніж однієї частинки, застосуймо отримані вище результати до руху планети навколо Сонця. У якому напрямку діє сила? Звісно, у напрямку до Сонця. А яким при цьому буде момент сили? Звісно, все залежить від того, в якому місці ми виберемо вісь, однак результат вийде зовсім простим, якщо як точку обертання вибрати саме Сонце. Оскільки момент сили дорівнює силі, помноженій на її плече, або компоненті сили, перпендикулярній до радіуса r, помноженій на r, то в цьому випадку немає жодної тангенціальної складової сили, а тому момент сили відносно осі, що проходить через Сонце, дорівнює нулю. Отже, момент кількості руху має залишатися сталим. Давайте-но подивимося, що це означає. Добуток тангенціальної компоненти швидкості на масу і радіус, будучи моментом кількості руху, має залишатися сталим, тому що швидкість його зміни є момент сили, який у нашому випадку дорівнює нулю. Це означає, що залишається сталим добуток тангенціальної компоненти швидкості на радіус, оскільки маса-то вже, звісно, не змінюється. Але таку величину, що характеризує рух планети, ми вже обчислювали раніше. Припустімо, що ми взяли маленький проміжок часу At. Яку відстань пройде планета при своєму русі з точки Р у точку Q (фіг. 18.3)? Наскільки велика площа тієї області, яку «замітає» пряма, що з'єднує планету із Сонцем? Нехтуючи площею QQ`P, яка дуже мала порівняно з OPQ, знаходимо, що площа цієї області дорівнює половині основи PQ, помноженої на висоту OR. Іншими словами, «заметена» площа дорівнює половині добутку швидкості на її плече. Тож швидкість зміни цієї площі пропорційна моменту кількості руху, який залишається сталим. Отже, ми отримаємо, що закон Кеплера про рівні площі за рівні проміжки часу є просто словесним описом закону збереження моменту кількості руху, коли моменти зовнішніх сил відсутні.