Однорідна деформація

Як перший приклад подивімося, що відбувається з прямокутним бруском за однорідного гідростатичного стискання. Помістімо брусок у резервуар із водою. При цьому виникне сила, що діє на кожну грань бруска і пропорційна його площі (фіг. 38.2). Оскільки гідростатичний тиск однорідний, то напруження (сила на одиничну площу) на кожній грані бруска буде однаковим.
Насамперед знайдемо зміну довжини бруска. Її можна розглядати як суму змін довжин, які відбувалися б у трьох незалежних задачах, зображених на фіг. 38.3.

   Задача 1. Якщо ми прикладемо до кінців бруска тиск p, то деформація стискання буде від'ємна і дорівнюватиме p/Y:

   Задача 2. Якщо ми натиснемо на горизонтальні грані бруска, то деформація по висоті дорівнюватиме —p/Y, а відповідна деформація в боковому напрямку становитиме +σp/Y. Отримуємо

   Задача 3. Якщо ми прикладемо до сторін бруска тиск p, то деформація тиску знову дорівнюватиме p/Y, але тепер нам потрібно визначити деформацію довжини. Для цього бокову деформацію треба помножити на –σ. Бокова деформація дорівнює

Комбінуючи результати цих трьох задач, тобто записуючи Δl як Δl₁ + Δl₂ + Δl₃, отримуємо

Задача, звісно, симетрична в усіх трьох напрямках, тому

Цікаво також знайти зміну об'єму за гідростатичного тиску. Оскільки V = lwh, то для малих переміщень можна записати

Скориставшись (38.6) і (38.7), маємо

Є охочі називати ΔV/V об'ємною деформацією і писати

Об'ємне напруження p (гідростатичний тиск) пропорційне спричиненій ним об'ємній деформації — знову закон Гука. Коефіцієнт K називається об'ємним модулем і пов'язаний з іншими сталими виразом

Оскільки коефіцієнт K становить певний практичний інтерес, то в багатьох довідниках замість Y і σ наводяться Y і K. Але якщо вам потрібно знати σ, ви завжди можете отримати це значення з формули (38.9). З цієї формули видно також, що коефіцієнт Пуассона σ має бути меншим за ¹/₂. Якби це було не так, то об'ємний модуль K був би від'ємним, і матеріал при збільшенні тиску розширювався б. Це дало б змогу здобувати механічну енергію з будь-якого кубика, тобто це означало б, що кубик перебуває в нестійкій рівновазі. Якби він почав розширюватися, то розширення тривало б саме собою з вивільненням енергії.
Подивімося, що вийде, якщо ми прикладемо до чогось «косе» напруження. Під косим, або зсувним, напруженням ми розуміємо такий вплив, як показано на фіг. 38.4. Як попередню задачу подивімося, якою буде деформація кубика під дією сил, показаних на фіг. 38.5. Знову можна розділити цю задачу на дві: вертикальний тиск і горизонтальний розтяг. Позначаючи через A площу грані кубика, ми отримуємо для зміни горизонтальної довжини

Зміна ж висоти по вертикалі дорівнює просто тому самому виразу з протилежним знаком.
 
Припустімо тепер, що ми маємо той самий кубик, і піддамо його дії зсувних сил, показаних на фіг. 38.6, а. Зауважмо тепер, що всі сили мають бути рівними, бо на тіло не повинен діяти жоден момент сил, і воно має перебувати в рівновазі. (Подібні сили мають діяти також і у випадку, зображеному на фіг. 38.4, оскільки кубик перебуває в рівновазі. Вони забезпечуються тим, що кубик «приклеєний» до столу.) За таких умов кажуть, що кубик перебуває в стані чистого зсуву. Але зверніть увагу, що якщо ми розріжемо кубик площинами під кутом 45°, скажімо, вздовж діагоналі A на фіг. 38.6, а, то повна сила, яка діє в цій площині, нормальна до неї і дорівнює √2G. Площа, на якій діє ця сила, дорівнює √2A; отже, напруження, нормальне до цієї площини, буде просто G/A. Так само, якщо взяти площину, нахилену під кутом 45° в інший бік, тобто по діагоналі B, то ми побачимо, що на ній діє нормальне здавлювальне напруження, що дорівнює  —G/A. З цього зрозуміло, що напруження при «чистому стисканні» еквівалентне комбінації розтягувального й стискального напружень, спрямованих під прямим кутом одне до одного і під кутом 45° до початкових граней кубика. Внутрішні напруження й деформації будуть такими самими, як і у великому кубику матеріалу під дією сил, показаних на фіг. 38.6, б. Але цю задачу ми вже розв'язали. Зміна довжини діагоналі задається рівнянням (38.10):

(Одна діагональ скорочується, а інша видовжується.)
 
Часто деформацію зсуву зручно описувати за допомогою кута «викривлення» кубика θ, показаного на фіг. 38.7. З геометрії фігури ви бачите, що горизонтальний зсув δ верхнього краю дорівнює √2ΔD, так що

Напруження зсуву g визначається як відношення тангенціальної сили, що діє на грань, до площі грані g = G/A. Скориставшись рівнянням (38.11), з (38.12) отримуємо

Коефіцієнт пропорційності μ називається модулем зсуву (або іноді коефіцієнтом жорсткості). Ось як він виражається через Y і σ:

До речі, модуль зсуву має бути додатним, інакше ми могли б отримати енергію від самочинного зсуву кубика. З рівняння (38.14) очевидно, що стала σ має бути більшою за —1. Тепер ми знаємо, що σ лежить між —1 і ¹/₂, але на практиці вона, однак, завжди більша за нуль. Як останній приклад станів подібного типу, коли напруженість стала по всьому матеріалу, розгляньмо задачу про брусок, який розтягується і водночас закріплений так, що бокове скорочення неможливе. (Технічно трохи легше стискати брусок і стримувати його боки від «розпирання», але, по суті, — це та сама задача.) Що при цьому відбувається? На брусок мають діяти бокові сили, які перешкоджають зміні його товщини, — сили, яких ми не знаємо безпосередньо, але які слід обчислити. Ця задача того самого штибу, що ми розв'язували, але лише з трохи іншою алгеброю. Уявіть собі сили, що діють на всі три сторони, як це показано на фіг. 38.8. Ми обчислимо зміну розмірів і підберемо такі поперечні сили, щоб ширина і висота залишалися сталими. Дотримуючись звичайних міркувань, ми отримуємо для трьох напружень

Але оскільки за умовою Δl_y і Δl_z дорівнюють нулю, то рівняння (38.16) і (38.17) дають два співвідношення, що пов'язують F_y і F_z з F_x. Розв'язуючи їх спільно, знайдемо

а підставляючи (38.18) у (38.15), отримуємо

Це співвідношення ви часто можете зустріти «перевернутим» і з перетвореним квадратичним поліномом за σ, тобто

Коли ви утримуєте боки, модуль Юнга множиться на певну складну функцію σ. З рівняння (38.19) можна одразу побачити, що множник перед Y завжди більший за одиницю. Розтягнути брусок, коли його боки утримуються, набагато важче. Це означає також, що брусок стає жорсткішим, коли його бокові сторони закріплені, ніж коли вони вільні.