Згинання балки

Розглянемо тепер інше практичне питання — згинання балки, стрижня або бруска. Чому дорівнюють сили, потрібні для згинання балки довільного поперечного перерізу? Ми визначимо ці сили для балки круглого перерізу, але відповідь  буде  придатна для балки будь-якої форми. Щоб заощадити час, ми де-не-де спростимо справу, так що теорія, яку ми розвинемо, буде лише наближеною. Наші результати правильні лише за умови, що радіус згинання набагато більший за товщину балки.
 
Уявіть, що ви вхопилися за обидва кінці прямої балки і зігнули її у вигляді кривої, схожої на ту, що зображена на фіг. 38.11. Що ж відбувається всередині балки? Раз вона викривлена, отже, матеріал на внутрішній стороні згину стиснутий, а на зовнішній стороні розтягнутий. Але є якась поверхня, більш-менш паралельна осі балки, яка і не стиснута, і не розтягнута. Називається вона нейтральною поверхнею. Очевидно, ця поверхня проходить десь «посередині» поперечного перерізу. Можна показати (але я не робитиму цього тут), що для невеликого згину простої балки нейтральна поверхня проходить через «центр ваги» поперечного перерізу. Але це справедливо лише для «чистого» згину, тобто коли балка не розтягується і не стискається як ціле.
При чистому згині тонкий поперечний відрізок балки збурений (фіг. 38.12, а). Матеріал під нейтральною поверхнею зазнає деформації стискання, яка пропорційна відстані від нейтральної поверхні, а матеріал над нею розтягнутий теж пропорційно відстані від нейтральної поверхні. Таким чином, поздовжнє видовження Δl пропорційне висоті y. Константа пропорційності дорівнює просто довжині l, поділеній на радіус кривини балки (див. фіг. 38.12):

Тож напруження, тобто сила, що діє на одиничну площу в якійсь маленькій смужці поблизу y, теж пропорційне відстані від нейтральної поверхні

Тепер розглянемо ті сили, які призвели б до подібної деформації. Сили, що діють на маленький відрізок, зображений на фіг. 38.12, показано на тому самому рисунку. Якщо ми візьмемо будь-який поперечний переріз, то сили, що діють на ньому, спрямовані в один бік вище нейтральної поверхні і в інший — нижче неї. Виходить пара сил, яка створює «згинальний момент» M, під яким ми розуміємо момент сили відносно нейтральної лінії. Інтегруючи добуток сили на відстань від нейтральної поверхні, можна обчислити повний момент на одній із граней відрізка фіг. 38.12:

Згідно з (38.34), dF =Y(y/R)dA, так що

Але інтеграл від у²dА можна назвати «моментом інерції» геометричного поперечного перерізу відносно горизонтальної осі, що проходить через його «центр мас»; ми будемо позначати його через I, тобто

Рівняння (38.36) дає нам співвідношення між згинальним моментом M і кривиною балки 1/R. «Жорсткість» балки пропорційна Y і моменту інерції I. Іншими словами, якщо ви хочете якусь балку, скажімо, з алюмінію, зробити якомога жорсткішою, ви повинні якомога більше речовини помістити якомога далі від осі, відносно якої береться момент інерції. Але цього не можна доводити до краю, бо тоді балка не викривлятиметься так, як ми припустили: вона зігнеться або скрутиться і знову стане слабшою. Ось чому каркасні балки роблять у формі букви I або Н (фіг. 38.13).
Як приклад застосування нашого рівняння (38.36) для балки обчислимо відхилення консольної балки під дією зосередженої сили W, що діє на її вільний кінець (фіг. 38.14). (Консольна балка закріплена одним кінцем, який вмурований у стіну.) Якою ж тоді буде форма балки? Позначимо відхилення на відстані x від закріпленого кінця через z; ми хочемо знайти z(x). Будемо обчислювати лише малі відхилення. Як ви знаєте з курсу математики, кривина 1/R будь-якої кривої z(x) задається виразом

Нас цікавлять лише малі згини (звичайна річ в інженерних конструкціях), тому квадратом похідної (dz/dx)² можна знехтувати порівняно з одиницею і вважати

Нам потрібно ще знати згинальний момент M. Він є функцією від x, оскільки в будь-якому поперечному перерізі він дорівнює моменту відносно нейтральної осі. Вагою самої балки знехтуємо і будемо враховувати тільки силу W, що діє вниз на її вільний кінець. (Якщо хочете, можете самі врахувати її вагу.) При цьому згинальний момент на відстані x дорівнює

бо це і є момент сил відносно точки x, з яким діє вантаж W, тобто вантаж, який має підтримувати балка. Отримуємо

Це рівняння можна проінтегрувати без жодних фокусів і отримати

скориставшись попередньо нашим припущенням, що z (0) = 0 і що dz/dx у точці x = 0 теж дорівнює нулю. Це і є граничні умови. А відхилення кінця буде

тобто відхилення зростає пропорційно кубу довжини балки. При виведенні нашої наближеної теорії ми припускали, що при згинанні поперечний переріз бруска не змінюється. Коли товщина бруска мала порівняно з радіусом кривини, поперечний переріз змінюється дуже мало, і все гаразд. Однак у загальному випадку цим ефектом знехтувати не можна — зігніть пальцями канцелярську гумку, і ви самі переконаєтеся в цьому. Якщо спочатку поперечний переріз був прямокутним, то, зігнувши гумку, ви побачите, як вона випинається біля основи (фіг. 38.15). Це виходить тому, що, згідно з відношенням Пуассона, при стисканні основи матеріал «роздається» вбік. Гумку дуже легко зігнути або розтягнути, але вона дещо нагадує рідину в тому відношенні, що змінити її об'єм дуже важко. Це й позначається при згинанні гумки. Для нестисливих матеріалів відношення Пуассона було б точно рівне ¹/₂, а для гумки воно близьке до цього числа.