Тепер скористаємося нашою теорією, щоб зрозуміти, що відбувається при поздовжньому згині бруска, опори або стрижня. Розглянемо те, що зображено на фіг. 38.16. Тут стрижень, зазвичай прямий, утримується в зігнутому вигляді двома протилежними силами, що тиснуть на його кінці. Знайдемо форму стрижня і величину сил, що діють на кінці.Нехай відхилення стрижня від прямої лінії між кінцями буде y(x), де x — відстань від одного кінця. Згинальний момент M у точці P на рисунку дорівнює силі F, помноженій на плече, перпендикулярне напрямку y:
Зображення
Скориставшись виразом для моменту (38.36), маємо
Зображення
За малих відхилень можна вважати 1/R = —d2y/dx2 (від'ємний знак обрано тому, що кривина спрямована вниз). Звідси
Зображення
тобто з'явилося диференціальне рівняння для синуса. Таким чином, для малих відхилень крива такого поздовжньо зігнутого стрижня являє собою синусоїду. «Довжина хвилі» λ цієї синусоїди вдвічі більша за відстань L між кінцями. Якщо згин невеликий, вона просто дорівнює подвоєній довжині незігнутого стрижня. Таким чином, отримується крива
Зображення
Беручи другу похідну, знаходимо
Зображення
Порівнюючи це з (38.45), бачимо, що сила дорівнює
Зображення
Для малого поздовжнього згину сила не залежить від переміщення у!Фізично ж виходить ось що. Якщо сила F менша за визначену рівнянням (38.46), то жодного поздовжнього згину не відбувається. Але якщо вона хоч трохи більша за цю силу, то балка раптово і дуже сильно зігнеться, тобто під дією сил, що перевищують критичну величину π2YI/L2 (яку часто називають «силою Ейлера»), балка буде «гнутися». Якщо на другому поверсі будівлі розмістити такий вантаж, що навантаження на підтримувальні колони перевищить силу Ейлера, будівля обрушиться. Інша область, де дуже важливі поздовжньо згинальні сили, — це космічні ракети. З одного боку, ракета повинна витримувати свою вагу на стартовому майданчику й винести напруження під час прискорення, а з іншого — дуже важливо звести вагу всієї конструкції до мінімуму, щоб корисне навантаження і корисна потужність двигунів були якомога більшими.
Фактично перевищення сили Ейлера зовсім не означає, що після цього балка повністю зруйнується. Коли відхилення стає великим, сила завдяки члену (dz/dx)2 у рівнянні (38.38), яким ми знехтували, буде насправді більшою за обчислену. Щоб знайти сили при великому поздовжньому згинанні стрижня, ми повинні повернутися до точного рівняння (38.44), яке отримувалося до використання наближеного зв'язку між R і y. Рівняння (38.44) має досить прості геометричні властивості. Розв'язується воно трохи складніше, зате набагато цікавіше. Замість того щоб описувати криву через x і y, можна скористатися двома новими змінними: S — відстанню вздовж кривої і θ — нахилом дотичної до кривої (фіг. 38.17.) Тоді кривина дорівнюватиме швидкості зміни кута з відстанню
Зображення
Тому точне рівняння (38.44) можна записати у вигляді
Зображення
Після взяття похідної цього рівняння за S і заміни dy/dS на sin θ отримаємо
Зображення
[Якщо кути θ малі, то ми знову приходимо до рівняння (38.45), отже, тут усе гаразд].Не знаю, чи можете ви ще дивуватися, але рівняння (38.47) вийшло в точності таким самим, як і для коливань маятника з великою амплітудою (звісно, із заміною F/YI іншою сталою). Ще раніше, у розд. 9 (вип. 1), ми дізналися, як знаходити розв'язок такого рівняння числовим методом. У відповіді ви отримаєте чарівну криву. На фіг. 38.18 показано три криві для різних значень сталої F/YI.