Закон Гука

Теорія пружності займається поведінкою тіл, яким притаманна властивість відновлювати свій розмір і форму після зняття деформівних сил. Певною мірою цими пружними властивостями  володіють  усі тверді тіла. Якби ми мали час займатися цим предметом довше, нам довелося б розглянути безліч питань: поведінку напружених матеріалів, закони пружності    і загальну теорію пружності, атомний механізм, що визначає пружні властивості, і, нарешті, обмеження законів пружності, коли сили стають настільки великими, що виникає пластична течія і руйнування. Детальний розгляд усіх цих питань потребував би значно більше часу, ніж ми маємо, тому від дечого нам доведеться відмовитися. Наприклад, ми не будемо обговорювати питання пластичності й обмежень законів пружності. (Цього ми торкнемося лише дуже коротко, коли мова піде про дислокації в металах.) Ми не зможемо також обговорити механізм пружності, тож наше дослідження не матиме тієї повноти, до якої ми прагнули в попередніх розділах. Основна мета лекції — ознайомити вас із деякими способами поводження з такими практичними задачами, як, наприклад, задача про згинання бруска.
 
Якщо ви натиснете на шматок матеріалу, то матеріал «піддасться» — він деформується. За достатньо малих сил відносне переміщення різних точок матеріалу пропорційне силі. Така поведінка називається пружною. Ми будемо говорити тільки про таку пружну поведінку. Спочатку ми випишемо фундаментальний закон пружності, а потім застосуємо його до кількох різних ситуацій.
 
Припустимо, що ми взяли прямокутний брусок довжиною l, шириною w і висотою h (фіг. 38.1). Якщо ми потягнемо за його кінець із силою F, то його довжина збільшиться на Δl. У всіх випадках ми будемо припускати, що зміна довжини становить малу частку від початкової. Насправді матеріали, подібні до сталі або дерева, руйнуються ще до того, як зміна довжини сягне кількох відсотків від початкового значення. Досліди показують, що для великого числа матеріалів за достатньо малих видовжень сила пропорційна видовженню

Це співвідношення відоме як закон Гука.
 
Видовження бруска Δl залежить і від його довжини. Це можна продемонструвати такими міркуваннями. Якщо ми скріпимо разом два однакових бруски кінець до кінця, то на кожен діятиме та сама сила, і кожен із них видовжиться на Δl. Таким чином, видовження бруска довжиною 2l буде вдвічі більшим за видовження бруска того самого поперечного перерізу, але довжиною l. Щоб отримати величину, яка повніше характеризує сам матеріал і менше залежить від форми зразка, будемо оперувати відношенням Δl/l (видовження до початкової довжини). Це відношення пропорційне силі, але не залежить від l:

Сила F залежить також від площі перерізу бруска. Припустимо, що ми поставили два бруски бік у бік. Тоді для даного видовження Δl ми повинні прикласти силу F до кожного бруска, тобто для комбінації двох брусків потрібна вдвічі більша сила. За даної величини розтягу сила має бути пропорційна площі поперечного перерізу бруска A. Щоб отримати закон, у якому коефіцієнт пропорційності не залежить від розмірів тіла, ми для прямокутного бруска будемо писати закон Гука у вигляді

Стала Y визначається тільки властивостями самого матеріалу; її називають модулем Юнга. (Зазвичай модуль Юнга позначають буквою E, але цю букву ми вже використали для електричного поля, для енергії та для е. р. с., тож тепер краще взяти іншу.)
 
Силу, що діє на одиничну площу, називають напруженням, а видовження ділянки, віднесене до її довжини, тобто відносне видовження називають деформацією. Рівняння (38.3) можна переписати так:

За розтягу, що підпорядковується закону Гука, виникає ще одне ускладнення: якщо брусок матеріалу розтягується в одному напрямку, то під прямим кутом до розтягу він стискається. Зменшення товщини пропорційне самій товщині w і ще відношенню Δl/l. Відносне бокове стиснення однакове як для ширини, так і для висоти, і зазвичай записується у вигляді

де стала σ характеризує нову властивість матеріалу і називається відношенням Пуассона. Це число додатне за знаком, за величиною менше за ¹/₂. (Те, що стала σ загалом мусить бути додатною, «розумно», але нізвідки не випливає, що вона обов'язково мусить бути такою.)
 
Дві константи Y і σ повністю визначають пружні властивості однорідного ізотропного (тобто некристалічного) матеріалу. У кристалічному матеріалі розтяг і скорочення в різних напрямках можуть бути різними, тому й пружних сталих може бути значно більше. Тимчасово ми обмежимо наш розгляд однорідними ізотропними матеріалами, властивості яких можуть бути описані сталими σ і Y. Як завжди, існує безліч способів опису властивостей. Дехто, наприклад, воліє описувати пружні властивості матеріалів іншими сталими. Але таких сталих завжди береться дві, і вони можуть бути пов'язані з нашими σ і Y.
 
Останній загальний закон, який нам потрібен,— це принцип суперпозиції. Оскільки обидва закони (38.4) і (38.5) лінійні щодо сил і переміщень, принцип суперпозиції працюватиме. Якщо за одного набору сил ви отримуєте якесь додаткове переміщення, то результівне переміщення буде сумою переміщень, які отримались би за незалежної дії цих наборів сил.
 
Тепер ми маємо всі потрібні загальні принципи: принцип суперпозиції та рівняння (38.4) і (38.5), тобто все, що потрібно для опису пружності. Утім, з такою самою підставою можна було б заявити: у нас є закони Ньютона, і це все, що потрібно для механіки. Або, маючи рівняння Максвелла, ми маємо все необхідне для опису електрики. Це, звісно, так; із цих принципів ви справді можете отримати майже все, бо ваші теперішні математичні можливості дозволяють просунутися досить далеко. Але ми все ж розглянемо лише деякі спеціальні застосування.