Скручування стрижня. Хвилі зсуву

Звернімося тепер до складнішого прикладу, коли різні частини матеріалу напружені по-різному. Розглянемо скручений стрижень — скажімо, привідний вал якоїсь машини або підвіс із кварцової нитки, що застосовується в точних приладах. З дослідів із маятником кручення ви, мабуть, знаєте, що момент сил, який діє на закручуваний стрижень, пропорційний куту, причому константа пропорційності, очевидно, залежить від довжини стрижня, його радіуса і властивостей матеріалу. Але яким чином — от у чому питання? Тепер ми спроможні відповісти на нього: просто потрібно трохи розібратися в геометрії.
На фіг. 38.9, а показано циліндричний стрижень, що має довжину L і радіус a, один з кінців якого закручено на кут φ відносно іншого. Якщо ми хочемо пов'язати деформацію з тим, що вже відомо, то стрижень можна уявити таким, що складається з безлічі циліндричних оболонок, і з'ясувати, що відбувається в кожній із цих оболонок.
Почнемо з розгляду тонкого короткого циліндра радіусом r (меншим, ніж a) і товщиною Δr, як показано на фіг. 38.9, б. Якщо тепер подивитися на шматочок усередині цього циліндра, який спочатку був маленьким квадратом, то можна помітити, що він перетворився на паралелограм. Кожен елемент циліндра зсувається, а кут зсуву θ дорівнює

Тому напруження зсуву g у матеріалі буде [з рівняння (38.13)]

Напруження зрізу дорівнює тангенціальній силі ΔF, що діє на кінець квадратика, поділеній на його площу ΔlΔr (див. фіг. 38.9, в):

Сила ΔF, що діє на кінець такого квадратика, створює відносно осі стрижня момент сил Δτ, що дорівнює

Повний момент τ дорівнює сумі таких моментів по всьому периметру циліндра. Додаючи достатню кількість таких шматків так, щоб усі Δl становили 2πr, знаходимо, що повний момент сил для порожнистої труби дорівнює

Або, використовуючи рівняння (38.21),

Ми отримали, що жорсткість τ/φ порожнистої труби щодо кручення пропорційна кубу радіуса r і товщині Δr і обернено пропорційна його довжині L.
 
Тепер уявіть собі, що стрижень зроблений із цілої серії таких концентричних труб, кожна з яких закручена на кут φ (хоча внутрішні напруження в кожній трубі різні). Повний момент дорівнює сумі моментів, потрібних для скручування кожної оболонки, так що для суцільного стрижня

де інтеграл береться від 0 до а — радіуса стрижня. Після інтегрування отримуємо

Якщо закручувати стрижень, то його момент виявляється пропорційним куту і четвертому степеню діаметра: стрижень удвічі більшого радіуса вшістнадцятеро жорсткіший щодо кручення.
 
Перш ніж розпрощатися з крученням, розгляньмо застосування теорії до однієї цікавої задачі — хвиль кручення. Візьмемо довгий стрижень і несподівано закрутимо один його кінець; уздовж стрижня, як показано на фіг. 38.10, а, піде хвиля кручення. Це явище цікавіше, ніж просте статичне скручування. Подивімося, чи можемо ми зрозуміти, як це відбувається.
 
Нехай z — відстань від деякої точки до основи стрижня. Для статичного закручування момент сил на всій довжині стрижня однаковий і пропорційний φ/L — повному куту обертання на повну довжину. Але в нашій задачі важлива місцева деформація кручення, яка, як ви одразу зрозумієте, дорівнює ∂φ/∂z. Якщо кручення вздовж стрижня нерівномірне, то рівняння (38.25) слід замінити таким!

Подивімося тепер, що ж відбувається з елементом довжини Δz, який показано в збільшеному масштабі на фіг. 38.10, б. На кінці 1 маленького відрізка стрижня діє момент τ(z), а на кінці 2— інший момент сил τ(z+Δz). Якщо величина Δz достатньо мала, то можна скористатися розкладом у ряд Тейлора і, зберігши лише два члени, написати

Повний момент сил Δτ, що діє на маленький відрізок стрижня між  z і Δz, дорівнює різниці τ(z) і
τ(z + Δz), або Δτ = (∂τ/∂z)Δz. Диференціюючи рівняння (38.26), отримуємо

Дія цього повного моменту має викликати кутове прискорення відрізка стрижня. Його маса дорівнює

де ρ — густина матеріалу. У розд. 19 (вип. 2) ми знайшли, що момент інерції кругового циліндра дорівнює mr²/2; позначаючи момент інерції нашого відрізка через ΔΙ, отримуємо

Закон Ньютона говорить нам, що момент сили дорівнює добутку моменту інерції на кутове прискорення, або

Зібравши тепер усе воєдино, знаходимо

Ви, мабуть, уже впізнали, що це таке: це одновимірне хвильове рівняння. Ми отримали, що хвилі кручення поширюються стрижнем зі швидкістю

Чим густіший стрижень за однакової жорсткості, тим повільніше рухається хвиля, а чим він жорсткіший, тим хвиля біжить швидше. Її швидкість не залежить від діаметра стрижня.
 
Хвилі кручення являють собою окремий випадок хвиль зсуву. Хвилі зсуву в загальному випадку — це такі хвилі, за яких деформація не змінює об'єму жодної частини матеріалу. У хвилях кручення ми стикаємося з особливим розподілом напружень зсуву — вони розподілені по колу. Але хвилі за будь-якого розподілу напружень зсуву поширюватимуться з однаковою швидкістю, яка визначається формулою (38.32). Сейсмологи, наприклад, виявили, що такі хвилі зсуву поширюються й усередині Землі.
 
У світі пружних явищ можливий і інший сорт хвиль усередині твердого матеріалу. Якщо ви щось штовхнете, то можете збудити «поздовжні» хвилі, так звані хвилі «стискання». Вони подібні до звукових хвиль у повітрі або у воді, тобто переміщення речовини в них відбувається в той самий бік, що й поширення хвилі. (На поверхні пружного тіла можуть поширюватися й інші типи хвиль, які називаються «хвилями Релея». Деформація в них ні поздовжня, ні поперечна. Однак у нас немає часу говорити про них докладно.)
 
Раз уже ми торкнулися питання про хвилі, то яка швидкість хвиль чистого стискання у великому твердому тілі, подібному до Землі? Я сказав «великому», бо швидкість звуку у масивному тілі відрізняється від швидкості, властивої, скажімо, тонкому стрижню. Під масивним тілом я маю на увазі тіло, поперечні розміри якого набагато більші за довжину хвилі звуку. Тому, натискаючи на такий об'єкт, можна виявити, що він не «роздається» вбік — він може стискатися тільки в одному напрямку. На щастя, однак, ми вже розібрали спеціальний випадок стискання «здавленого» пружного матеріалу, а в розд. 47 (вип. 4) ми ознайомилися ще зі швидкістю звуку в газі. Міркуючи так само, як і вище, ви можете переконатися, що швидкість звуку в твердому тілі дорівнює √Y′/ρ, де Y′ — «поздовжній модуль», тобто тиск, поділений на відносну зміну довжини (для випадку «здавленого» стрижня). Це дорівнює просто відношенню Δl/l до F/A, отриманому нами в рівнянні (38.20). Таким чином, швидкість поздовжніх хвиль визначається виразом

Оскільки значення σ лежить між 0 і ¹/₂, то модуль зсуву μ менший за модуль Юнга Y, а Y′, крім того, більший за Y, так що

Це означає, що поздовжні хвилі поширюються швидше, ніж хвилі зсуву. Один із найточніших способів визначення пружних сталих речовини дає вимірювання густини матеріалу і швидкостей двох сортів хвиль. З цієї інформації можна отримати як Y, так і σ. До речі, саме вимірюючи різницю в часі приходу двох сортів хвиль від землетрусу, сейсмологи лише за сигналами, прийнятими однією станцією, здатні встановити відстань до епіцентру.