Перш ніж розпрощатися з питанням про обертання в тривимірному просторі, обговоримо ще, хоча б якісно, деякі неочевидні явища, що виникають при тривимірних обертаннях.
Головне з них: момент кількості руху твердого тіла не обов'язково спрямований у той самий бік, що й кутова швидкість. Розглянемо колесо, прикріплене похило до осі, однак вісь як і раніше проходить через його центр ваги (фіг. 20.6). Якщо обертати колесо навколо осі, то всім відомо, що через похилу посадку воно буде трясти підшипники. Якісно ми знаємо, що при обертанні на колесо повинна діяти відцентрова сила, яка намагається відтягнути його масу далі від осі. Вона намагається вирівняти площину колеса так, щоб воно було перпендикулярним до осі. Щоб урівноважити це прагнення, у підшипниках повинен виникнути момент сили. Але якщо в підшипниках виникає момент сили, то повинна бути якась швидкість зміни моменту кількості руху. Як може змінюватися момент кількості руху, якщо колесо просто обертається навколо осі? Припустимо, що ми розбили кутову швидкість ω на компоненти ω1 і ω2 — перпендикулярну і паралельну площині колеса. Чому при цьому дорівнюватиме момент кількості руху? Оскільки моменти інерції відносно цих двох осей різні, то відношення компонент моменту кількості руху, які (за такого окремого вибору осей) дорівнюють добуткам моментів інерції на відповідні компоненти кутових швидкостей, відрізняється від відношення компонент кутової швидкості. Тому вектор моменту кількості руху не спрямований уздовж осі. Повертаючи вал, ми повинні повертати і вектор моменту кількості руху, що призводить до виникнення моменту сили, що діє на вісь.
Момент інерції має ще одну дуже важливу і цікаву властивість (я не буду доводити її тут, оскільки це дуже складно), яку легко описати й використати. Наш попередній розгляд ґрунтується саме на цій властивості. Вона полягає в такому: будь-яке тверде тіло, навіть неправильної форми, як, наприклад, картопля, має такі три взаємно перпендикулярні осі, що проходять через центр мас, що момент інерції відносно однієї з них має найбільшу можливу величину з усіх осей, що проходять через центр мас, а момент інерції відносно іншої осі має найменшу величину. Момент інерції відносно третьої має якусь проміжну величину між двома першими або рівну одній з них. Ці осі, які називаються головними осями тіла, мають ту важливу властивість, що, якщо тіло обертається навколо однієї з них, його момент кількості руху має той самий напрямок, що й кутова швидкість. Якщо тіло має осі симетрії, то напрямок головних осей збігається з осями симетрії.
Головне з них: момент кількості руху твердого тіла не обов'язково спрямований у той самий бік, що й кутова швидкість. Розглянемо колесо, прикріплене похило до осі, однак вісь як і раніше проходить через його центр ваги (фіг. 20.6). Якщо обертати колесо навколо осі, то всім відомо, що через похилу посадку воно буде трясти підшипники. Якісно ми знаємо, що при обертанні на колесо повинна діяти відцентрова сила, яка намагається відтягнути його масу далі від осі. Вона намагається вирівняти площину колеса так, щоб воно було перпендикулярним до осі. Щоб урівноважити це прагнення, у підшипниках повинен виникнути момент сили. Але якщо в підшипниках виникає момент сили, то повинна бути якась швидкість зміни моменту кількості руху. Як може змінюватися момент кількості руху, якщо колесо просто обертається навколо осі? Припустимо, що ми розбили кутову швидкість ω на компоненти ω1 і ω2 — перпендикулярну і паралельну площині колеса. Чому при цьому дорівнюватиме момент кількості руху? Оскільки моменти інерції відносно цих двох осей різні, то відношення компонент моменту кількості руху, які (за такого окремого вибору осей) дорівнюють добуткам моментів інерції на відповідні компоненти кутових швидкостей, відрізняється від відношення компонент кутової швидкості. Тому вектор моменту кількості руху не спрямований уздовж осі. Повертаючи вал, ми повинні повертати і вектор моменту кількості руху, що призводить до виникнення моменту сили, що діє на вісь.
Момент інерції має ще одну дуже важливу і цікаву властивість (я не буду доводити її тут, оскільки це дуже складно), яку легко описати й використати. Наш попередній розгляд ґрунтується саме на цій властивості. Вона полягає в такому: будь-яке тверде тіло, навіть неправильної форми, як, наприклад, картопля, має такі три взаємно перпендикулярні осі, що проходять через центр мас, що момент інерції відносно однієї з них має найбільшу можливу величину з усіх осей, що проходять через центр мас, а момент інерції відносно іншої осі має найменшу величину. Момент інерції відносно третьої має якусь проміжну величину між двома першими або рівну одній з них. Ці осі, які називаються головними осями тіла, мають ту важливу властивість, що, якщо тіло обертається навколо однієї з них, його момент кількості руху має той самий напрямок, що й кутова швидкість. Якщо тіло має осі симетрії, то напрямок головних осей збігається з осями симетрії.
Зображення
Якщо як осі х, у і z вибрати головні осі тіла і назвати відповідні моменти інерції через А, В і С, то неважко підрахувати момент кількості руху і кінетичну енергію обертання тіла при будь-якій кутовій швидкості ω (фіг. 20.7). Розкладаючи ω на компоненти ωx, ωy і ωz по осях х, у і z і використовуючи спрямовані вздовж цих осей одиничні вектори i, j, k, можна записати момент кількості руху у вигляді
Зображення
