Рівняння обертання у векторній формі

Виникає запитання: чи можна за допомогою векторного добутку записати якесь рівняння фізики? Так, звісно, з його допомогою записується дуже багато рівнянь. Відразу видно, наприклад, що момент сили дорівнює векторному добутку радіус-вектора на силу

Це просто короткий запис трьох рівнянь: τ_x=yF_z—zF_y і т. д. За допомогою того самого символу можна подати момент кількості руху однієї частинки у вигляді векторного добутку вектора відстані від початку координат (радіус-вектора) на вектор імпульсу

Векторна форма динамічного закону обертання в тривимірному просторі нагадує рівняння Ньютона F=dp/dt; а саме, вектор моменту сили дорівнює швидкості зміни з часом вектора моменту кількості руху

Якщо ми складемо (20.13) для багатьох частинок, то отримаємо, що зовнішній момент сил, який діє на систему, дорівнює швидкості зміни повного моменту кількості руху

Ще одна теорема: якщо повний момент зовнішніх сил дорівнює нулю, то вектор повного моменту кількості руху системи залишається постійним. Ця теорема називається законом збереження моменту кількості руху. Якщо на дану систему не діють жодні моменти сил, то її момент кількості руху не змінюється. А що можна сказати про кутову швидкість? Чи вектор вона? Ми вже розглядали обертання твердого тіла навколо якоїсь фіксованої осі, а тепер давайте на хвилину припустимо, що воно одночасно обертається навколо двох осей. Тіло може перебувати, наприклад, у коробці й обертатися там навколо якоїсь осі, а сама коробка в свою чергу обертається навколо якоїсь іншої осі. Результатом же такого складного руху буде обертання тіла навколо якоїсь нової осі. Найдивовижніше тут те, що цю нову вісь можна знайти таким чином. Якщо обертання у площині ху уявити як вектор, спрямований уздовж осі z, довжина якого дорівнює швидкості обертання, а у вигляді іншого вектора, спрямованого вздовж осі у, зобразити швидкість обертання в площині, то, склавши їх за правилом паралелограма, отримаємо результат, величина якого говорить про швидкість обертання тіла, а напрямок визначає площину обертання. Простіше кажучи, кутова швидкість і справді є вектором, для якого швидкість обертання в трьох площинах становить прямокутні проєкції на ці площини Як простий приклад із використанням вектора кутової швидкості обчислимо потужність, яку витрачає момент сили, що діє на тверде тіло. Оскільки потужність — це швидкість зміни роботи з часом, то в тривимірному просторі вона виявляється рівною Р=τ·ω. Усі формули, які ми писали для плоского обертання, можна узагальнити на три виміри. Якщо взяти, наприклад, тверде тіло, що обертається навколо якоїсь осі з кутовою швидкістю ω, то можна запитати: «Чому дорівнює швидкість точки з радіус-вектором r?» Як вправу спробуйте довести, що швидкість частинки твердого тіла задається виразом v=ω × r, де ω — кутова швидкість, а r— положення частинки. Іншим прикладом векторного добутку служить формула для коріолісової сили, яку можна записати як F_K=2mv × ω. Іншими словами, якщо в системі координат, що обертається зі швидкістю ю, частинка рухається зі швидкістю v і ми все хочемо описати через величини цієї обертової системи, то необхідно додавати ще псевдосилу F_K.