Повернемося тепер знову до закону збереження моменту кількості руху. Його можна продемонструвати за допомогою швидко обертового колеса, або гіроскопа (фіг. 20.1). Якщо стати на стілець, що крутиться, і тримати обертове колесо в горизонтальному положенні, то його момент кількості руху буде спрямований горизонтально. Момент кількості руху відносно вертикальної осі не можна змінити через фіксований напрямок осі стільця (тертям нехтуємо). Якщо тепер повернути вісь із колесом вертикально, то колесо набуде моменту кількості руху відносно вертикальної осі. Однак система в цілому (колесо, ви самі і стілець) не може мати вертикальної компоненти, тому ви разом зі стільцем повинні крутитися в напрямку, протилежному обертанню колеса, щоб скомпенсувати його.
Зображення
Перш за все давайте докладніше проаналізуємо явище, яке ми тільки що описали. Найдивовижніше, у чому нам слід розібратися, — це звідки беруться сили, що розкручують нас разом зі стільцем, коли ми повертаємо вісь гіроскопа вертикально. На фіг. 20.2 показано колесо, що швидко обертається навколо осі у, тобто його кутова швидкість спрямована вздовж цієї осі. У той самий бік спрямований і момент кількості руху. Припустимо тепер, що ми хочемо обертати колесо відносно осі х з малою кутовою швидкістю Ω; яка сила для цього потрібна? Через малий проміжок часу Δt вісь займе нове положення, відхилившись від горизонтального положення на кут Δθ. Оскільки основна частина моменту кількості руху походить від обертання колеса (повільне обертання навколо осі х дає дуже малий внесок), ми бачимо, що вектор моменту кількості руху змінюється. Яка ж зміна цього вектора? Він залишається тим самим за величиною, однак напрямок його змінюється на кут Δθ. Величина вектора ΔL тому дорівнює ΔL=L0Δθ; у результаті виникає момент сили, що дорівнює швидкості зміни моменту кількості руху τ = ΔL/Δt=L0(Δθ/Δt) = L0Ω. Враховуючи напрямок різних величин, ми бачимо, що Зображення
Таким чином, якщо Ω і L0 спрямовані горизонтально, як це показано на фігурі, то τ спрямований вертикально. Щоб урівноважити такий момент, до кінців осі в горизонтальному напрямку мають бути прикладені сили F і —F. Звідки беруться ці сили, хто їх прикладає? Та ми самі, власними руками, коли намагаємося повернути вісь колеса у вертикальне положення. Але третій закон Ньютона вимагає, щоб рівні й протилежно спрямовані сили (і рівний, але протилежно спрямований момент) діяли на нас. Вони і змушують нас крутитися навколо вертикальної осі z у протилежному напрямку.
Цей результат можна узагальнити на швидко обертову дзиґу. У звичайній обертовій дзизі сила тяжіння, що діє на її центр мас (ц. м.), створює момент відносно точки дотику дзиґи з підлогою (фіг. 20.3). Цей момент діє в горизонтальному напрямку і змушує дзиґу прецесувати, тобто вісь її описуватиме круговий конус навколо вертикальної осі. Якщо Ω — кутова швидкість прецесії (спрямована вертикально), то ми знову знаходимо
Цей результат можна узагальнити на швидко обертову дзиґу. У звичайній обертовій дзизі сила тяжіння, що діє на її центр мас (ц. м.), створює момент відносно точки дотику дзиґи з підлогою (фіг. 20.3). Цей момент діє в горизонтальному напрямку і змушує дзиґу прецесувати, тобто вісь її описуватиме круговий конус навколо вертикальної осі. Якщо Ω — кутова швидкість прецесії (спрямована вертикально), то ми знову знаходимо
Зображення
Таким чином, якщо до швидко обертової дзиґи прикласти момент сили, то виникне прецесія в напрямку цього моменту, тобто під прямим кутом до сил, що створюють момент.
Отже, тепер ми можемо стверджувати, що зрозуміли прецесію гіроскопа, і математично ми справді зрозуміли її. Однак уся ця математика може здатися нам якоюсь мірою «чаклунством». Між іншим, у міру заглиблення у все складнішу фізику багато простих речей легше вивести математично, ніж справді зрозуміти їхній фундаментальний чи простий сенс. У міру того, як ви переходитимете до все більш і більш сучасних робіт з фізики, ви виявите одну дивну обставину: математика дає результати, які ніхто не може зрозуміти безпосередньо. Як приклад можна взяти рівняння Дірака, яке виходить дуже просто і красиво, але зрозуміти його наслідки доволі важко. У нашому частковому випадку прецесія дзиґи здається чудом, якоюсь таємничою дією з прямими кутами, колами, силами, що крутять, і правовинтовими болтами. Але спробуймо все-таки зрозуміти її фізичну сутність.
Як можна пояснити цей момент сили за допомогою реально діючих сил і прискорень? Зауважте, що, коли колесо прецесує, частинки колеса насправді вже не рухаються в одній площині (фіг. 20.4). Ми показали раніше (див. фіг. 19.4, стор. 80), що частинка, яка перетинає вісь прецесії, рухається по кривому шляху. Але для цього потрібна якась бокова сила, яка виникає завдяки тиску, що ми чинимо на вісь колеса. Цей тиск через спиці передається частинкам обода. «Стривайте,— скажете ви,— а як щодо частинок на іншій стороні колеса, які рухаються у зворотному напрямку?» Неважко здогадатися, що сили, які діють на них, мають бути спрямовані в протилежну сторону, тому повна сила має дорівнювати нулю. Таким чином, сили врівноважуються, але одна з них прикладена на одній стороні колеса, а інша — на іншій. Ці сили можна було би прикласти безпосередньо до колеса, однак через те, що колесо тверде, їх можна прикласти до осі, а через спиці вони передаються на колесо.
До сих пір ми довели, що, якщо колесо прецесує, воно може скомпенсувати моменти сил, викликані силою притягання чи якоюсь іншою причиною. Однак ми лише показали, що прецесія є одним із можливих розв'язків рівняння. Іншими словами, лише за тієї умови, що діє момент і колесо запущене правильно, ми отримаємо чисту прецесію. Але ми не довели (і це взагалі неправильно), що чиста прецесія — найзагальніший рух обертового тіла під дією моменту сили. Загальний рух включає, крім того, якісь коливання і відхилення від головної прецесії. Ці коливання називаються нутацією. Хтось любить говорити, що коли на гіроскоп діє момент, то він повертається і прецесує, що момент сили призводить до прецесії. Здається дуже дивним, що, будучи запущеним, гіроскоп не падає під дією сили тяжіння, а рухається вбік! Як це може статися, що спрямована вниз сила тяжіння, яку ми добре знаємо і відчуваємо, змушує його рухатися вбік? Жодна з формул у світі, подібна до (20.15), не скаже нам цього, тому що формула (20.15) — це особливий випадок, правильний тільки тоді, коли прецесія гіроскопа вже встановилася. Якщо ж говорити про деталі, то насправді відбувається таке. Коли ми тримаємо гіроскоп за вісь так, що він жодним чином не може прецесувати (але зберігає своє обертання), то на нього не діють жодні моменти сил, навіть момент сили тяжіння, оскільки своїми пальцями ми компенсуємо його. Але щойно вісь звільниться, як тієї ж миті на неї подіє момент сили тяжіння. За простотою душевною кожен вирішить, що кінець осі повинен при цьому падати, і він справді починає падати. Це можна просто побачити, якщо гіроскоп обертається не надто швидко.
Отже, як і очікується, кінець осі гіроскопа справді починає падати. Але оскільки він падає, то, значить, він обертається і тим самим створює момент сили. Це надає осі гіроскопа рух навколо вертикальної осі такий самий, як і при постійній прецесії. Однак незабаром швидкість починає перевищувати швидкість при постійній прецесії, тому вісь починає підніматися вгору до попереднього рівня. У результаті кінець осі описує циклоїду (криву, яку описує камінь, що застряг у шині автомобіля). Зазвичай це дуже швидкий, непомітний для очей рух, до того ж він швидко згасає завдяки тертю в підшипниках, а виживає тільки «чиста» прецесія (фіг. 20.5). Однак чим повільніше крутиться колесо, тим нутація помітніша.
Після того як рух встановлюється, вісь гіроскопа опиняється трохи нижче, ніж вона була спочатку. Чому? (Це складніша деталь, і ми згадуємо про неї лише для того, щоб не залишати в читача враження, що гіроскоп — це чудо. Він справді дивовижна штука, але все ж не чудо.) Якщо ми тримали вісь абсолютно горизонтально, а потім раптово відпустили її, то за допомогою рівняння прецесії ми можемо встановити, що вісь починає прецесувати, тобто рухатися по колу в горизонтальній площині. Але це неможливо! Хоча ми й не звертали на це уваги раніше, колесо має якийсь момент інерції відносно прецесуючої осі, і якщо воно навіть повільно обертається навколо цієї осі, то воно має слабкий момент кількості руху. Чому це відбувається? Адже якщо опора ідеальна (тобто якщо немає жодного тертя), то відносно вертикальної осі жодний момент сили не може виникнути. Тоді яким же чином прецесія все-таки виникає, якщо немає жодних моментів? Відповідь: рух по циклоїді кінця осі прямує до середнього стаціонарного руху, який еквівалентний руху центра колеса, що котиться, тобто він встановлюється трохи нижче горизонталі. З цієї причини власний кутовий момент гіроскопа має невелику вертикальну компоненту, яка точно компенсує момент кількості руху прецесії. Як бачите, вісь повинна трохи опуститися, трохи поступитися силі тяжіння, щоб мати можливість крутитися навколо вертикальної осі. Так працює гіроскоп.
Як можна пояснити цей момент сили за допомогою реально діючих сил і прискорень? Зауважте, що, коли колесо прецесує, частинки колеса насправді вже не рухаються в одній площині (фіг. 20.4). Ми показали раніше (див. фіг. 19.4, стор. 80), що частинка, яка перетинає вісь прецесії, рухається по кривому шляху. Але для цього потрібна якась бокова сила, яка виникає завдяки тиску, що ми чинимо на вісь колеса. Цей тиск через спиці передається частинкам обода. «Стривайте,— скажете ви,— а як щодо частинок на іншій стороні колеса, які рухаються у зворотному напрямку?» Неважко здогадатися, що сили, які діють на них, мають бути спрямовані в протилежну сторону, тому повна сила має дорівнювати нулю. Таким чином, сили врівноважуються, але одна з них прикладена на одній стороні колеса, а інша — на іншій. Ці сили можна було би прикласти безпосередньо до колеса, однак через те, що колесо тверде, їх можна прикласти до осі, а через спиці вони передаються на колесо.До сих пір ми довели, що, якщо колесо прецесує, воно може скомпенсувати моменти сил, викликані силою притягання чи якоюсь іншою причиною. Однак ми лише показали, що прецесія є одним із можливих розв'язків рівняння. Іншими словами, лише за тієї умови, що діє момент і колесо запущене правильно, ми отримаємо чисту прецесію. Але ми не довели (і це взагалі неправильно), що чиста прецесія — найзагальніший рух обертового тіла під дією моменту сили. Загальний рух включає, крім того, якісь коливання і відхилення від головної прецесії. Ці коливання називаються нутацією. Хтось любить говорити, що коли на гіроскоп діє момент, то він повертається і прецесує, що момент сили призводить до прецесії. Здається дуже дивним, що, будучи запущеним, гіроскоп не падає під дією сили тяжіння, а рухається вбік! Як це може статися, що спрямована вниз сила тяжіння, яку ми добре знаємо і відчуваємо, змушує його рухатися вбік? Жодна з формул у світі, подібна до (20.15), не скаже нам цього, тому що формула (20.15) — це особливий випадок, правильний тільки тоді, коли прецесія гіроскопа вже встановилася. Якщо ж говорити про деталі, то насправді відбувається таке. Коли ми тримаємо гіроскоп за вісь так, що він жодним чином не може прецесувати (але зберігає своє обертання), то на нього не діють жодні моменти сил, навіть момент сили тяжіння, оскільки своїми пальцями ми компенсуємо його. Але щойно вісь звільниться, як тієї ж миті на неї подіє момент сили тяжіння. За простотою душевною кожен вирішить, що кінець осі повинен при цьому падати, і він справді починає падати. Це можна просто побачити, якщо гіроскоп обертається не надто швидко.
Отже, як і очікується, кінець осі гіроскопа справді починає падати. Але оскільки він падає, то, значить, він обертається і тим самим створює момент сили. Це надає осі гіроскопа рух навколо вертикальної осі такий самий, як і при постійній прецесії. Однак незабаром швидкість починає перевищувати швидкість при постійній прецесії, тому вісь починає підніматися вгору до попереднього рівня. У результаті кінець осі описує циклоїду (криву, яку описує камінь, що застряг у шині автомобіля). Зазвичай це дуже швидкий, непомітний для очей рух, до того ж він швидко згасає завдяки тертю в підшипниках, а виживає тільки «чиста» прецесія (фіг. 20.5). Однак чим повільніше крутиться колесо, тим нутація помітніша.
Після того як рух встановлюється, вісь гіроскопа опиняється трохи нижче, ніж вона була спочатку. Чому? (Це складніша деталь, і ми згадуємо про неї лише для того, щоб не залишати в читача враження, що гіроскоп — це чудо. Він справді дивовижна штука, але все ж не чудо.) Якщо ми тримали вісь абсолютно горизонтально, а потім раптово відпустили її, то за допомогою рівняння прецесії ми можемо встановити, що вісь починає прецесувати, тобто рухатися по колу в горизонтальній площині. Але це неможливо! Хоча ми й не звертали на це уваги раніше, колесо має якийсь момент інерції відносно прецесуючої осі, і якщо воно навіть повільно обертається навколо цієї осі, то воно має слабкий момент кількості руху. Чому це відбувається? Адже якщо опора ідеальна (тобто якщо немає жодного тертя), то відносно вертикальної осі жодний момент сили не може виникнути. Тоді яким же чином прецесія все-таки виникає, якщо немає жодних моментів? Відповідь: рух по циклоїді кінця осі прямує до середнього стаціонарного руху, який еквівалентний руху центра колеса, що котиться, тобто він встановлюється трохи нижче горизонталі. З цієї причини власний кутовий момент гіроскопа має невелику вертикальну компоненту, яка точно компенсує момент кількості руху прецесії. Як бачите, вісь повинна трохи опуститися, трохи поступитися силі тяжіння, щоб мати можливість крутитися навколо вертикальної осі. Так працює гіроскоп.